Peut in prouver que Z=(i+2)/(i-2) n'est pas une racine n-iéme de l'unité !

[Manef]

Bonjour à tous,
Pour les gens chauds, Pouvez vous prouver que Z=(i+2/(i-2) n'admet pas des racine niéme de l'unité !
Bonne Journée,
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[Resartus]

Bonjour,
Quel est le contexte, et quel est votre niveau d'étude?
Car ce n'est pas très facile de nos jours où l'arithmétique modulaire n'est pratiquement plus enseignée au lycée
Une piste possible :
D'abord se ramener à un problème entier en écrivant Z sous la forme (a+ib)/5
Ensuite, si Z était une racine de l'unité, il existerait des n t.q. la partie réelle de (a+ib)^n est une puissance de 5.
Un calcul modulo 5 prouvera que c'est impossible (par exemple, on peut vérifier par récurrence que le reste modulo 5 est toujours égal à 3)

[jacknicklaus]

Bonjour,

pour qu'il existe un n tel que Z^n = 1, il faut un n > 0 tel que 4/5 = sin(2.pi/n).
Or cette fonction est décroissante avec n, et .... (etc) ...

[Resartus]

Bonjour,
Euh, non Jacknicklauss, cela ne marchera pas comme cela, car on ne peut pas simplement inverser la fonction arcsin...

Pour reprendre ton équation, il faut prouver qu'il n'existe aucun k et n t.q. sin(2pi.k/n)=4/5

Et on peut trouver des k et n qui s'approchent aussi prés que l'on veut, mais aucun qui donne un sinus exactement égal à 4/5

et le calcul modulaire me semble la démonstration la plus accessible, un peu comme dans la fameuse preuve de l'irrationnalité de racine(2))

[A voir en vidéo sur Futura]