Bonjour,
Je vais bientôt passer des examens en Algèbre linéaire et il y a encore quelques questions que je ne sais pas faire. Pourriez-vous m'expliquer comment dois-je répondre à ces 3 questions ?
1) Soit M ∈ Mn(R) une matrice diagonalisable. Montrer qu’il existe une matrice complexe N tel que N^2 = M. Ce résultat est-il encore vrai si on impose N réelle ?
Pour la suite f appartient à L(E) avec E un R espace vectoriel de dimension n et f est nilpotent d'ordre p>=2 et f^(p)=0
2) Soit u ∈ R^n tel que f^(p−1) de (u) soit différent de 0. Montrer que la famille (u, f(u), . . . , f(p−1) de (u)) est libre. En déduire que p ≤ n.
3) Démontrer que f nilpotent d’ordre n si et seulement si il existe une base C de R^n telle que la matrice f dans la base C, notée M, s’écrit
M= Matrice avec que des 0 sauf sur la diagonale à droite de la diagonale principale qui contient que des 1.
Merci pour votre aide.
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