Somme infinie de zéro donne t'elle zero?

[Euler niemet]

Bonjour
Je me pose une question tellement bête que suis arrivé a un résultat intéressant
Que donne la somme infinie de zéro
Est ce zéro ou non
Il est claire de dire zéro parceque c'est du niveau élémentaire
Montrons que sa donne 0
0+0+0+0+0+0...............=0
=0+0+0+0+0+0............
=1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+...-.. .........
=1+1+1+1+1+1+......... -1-1-1-1-1-1-.............
=(1+1+1+1+1+1+......)-(1+1+1+1+1+1+......)
=(+oo)-(+oo)
=+oo-oo. Impossible cette réponse n'existe pas c'est absurde le calcule
Si on suppose que
0+0+0+0+0+........=0. Implique
=0=(+oo-oo) or ce faux
D'où j en conclut que la somme infinie de zéro n'existe
S'il ya un problème n'hésitez pas me rappelle svp
-----

[danyvio]

Infini n'est PAS un nombre, et des formules telles que infini - infini =0 n'ont pas de sens.

[Euler niemet]

Oui on sais ce n'est pas un nombre
Mais au moins on aboutit a une indétermination
Car nous savons que la somme infinie de 1 donne +l'infini

[Deedee81]

Salut,

EDIT croisement, mais voilà, tu as ta réponse

=(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+...-.. .........
=(1+1+1+1+1+1+......)-(1+1+1+1+1+1+......)

C'est là que tu commets une erreur. La première est une somme de zéros, pas la deuxième. Le passage de l'une à l'autre est fautif. Il faut être prudent avec les sommes infinies car elles ne sont pas définies en tant que telles, tout se fait via les notions de limites par exemple et on ne peut pas faire ce qu'on veut.

En particulier la série 1-1+1-1... etc... n'est pas absolument convergente.
Et voir https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...ent_de_Riemann
et https://fr.wikipedia.org/wiki/Convergence_absolue
En fait cette série n'est même pas convergente du tout car si on regarde les sommes partielles :
1 = 1
1-1 = 0
1-1+1 = 1
etc...
Elle oscille continuellement entre 0 et 1 et donc n'est même pas convergente.
Donc a fortiori elle n'est pas absolument convergente.
Et tout réarrangement des termes et égalisation est fautif.

Ce n'est pas une question si bête car elle n'a trouvé réellement de solution qu'au XIXe siècle quand les fondations des mathématiques sont devenues beaucoup plus rigoureuses.

EDIT note que la question a déjà été abordée plusieurs fois sur le forum mais... retrouver les discussions n'est pas trivial

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour.

La notion de somme infinie, comme toute manipulation sans précaution de l'infini amène à des absurdités. Comme tu l'as fait. C'est d'ailleurs pourquoi les mathématiciens n'ont pas considéré que c'était des maths, jusqu'au dix-septième siècle. Puis les bénéfices des manipulations de séries (sommes infinies) ont montré qu'on avait intérêt à donner un sens à certaines de ces sommes, bien utilisées entre autres par Euler, malgré les risques. C'est la notion de limite qui a permis de tout changer, de manipuler des séries sans risque.
Les mathématiques définissent la somme infinie comme la limite de la même somme finie quand le nombre de termes tend vers l'infini. Comme une somme de 0 vaut 0, et que la limite de 0 quand quelque chose tend vers l'infini est 0, ta première ligne :
0+0+0+0+0+0...............=0
est correcte ! Et donc ta conclusion est fausse (ou tu parles d'autre chose, qui est dans ta tête, mais qui n'est pas des mathématiques).
Quelques endroits où il y a des erreurs :
* Le passage :
"1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+...-.. .........
=1+1+1+1+1+1+......... -1-1-1-1-1-1-............."
Tu as fait une infinité d'opérations d'un coup. Comme tu n'as pas défini ce que signifient tes sommes, cette égalité est un jeu d'écriture (au sens de "jeu de mots", une blague. Et bien évidemment, comme ce n'est pas sérieux, le résultat est ... contradictoire. Tu le dis toi-même :
"=+oo-oo. Impossible cette réponse n'existe pas c'est absurde le calcule "
Mais bizarrement, tu ne remets pas en cause le calcul, tu remets en cause un calcul différent, évident, celui de la première ligne.
* le passage
"=0+0+0+0+0+0............
=1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+...-.. ........."
bizarrement écrit, et qui devrait s'écrire
"=0+0+0+0+0+0............
=(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+..........." (et pas de - rajouté subrepticement).
On sait enlever des parenthèses dans les sommes finies, mais pas comme ça dans les séries (sommes infinies)

Voilà, tu viens de rencontrer la vraie difficulté des maths : On ne peut appliquer les règles que si on sait démontrer qu'elles sont cohérentes. Les règles des sommes finies ne sont pas utilisables sur les sommes infinies, car elles deviennent parfois incohérente.

Tu trouveras dans les cours de première année d'université la façon dont les mathématiques règlent ce problème (séries).

Cordialement.

[Médiat]

Somme infinie = n'existe pas (ce ne peut pas être l'addition usuelle) donc l'étape 1 obligatoire doit être de définir ce que l'on veut dire !

[mach3]

Salut,

3 vidéos de science4all sur le sujet, la 3e étant très technique :

https://www.youtube.com/watch?v=Ap10Gb2_wcc
https://www.youtube.com/watch?v=vMnkmBCvGQc
https://www.youtube.com/watch?v=IghfFlXK__U

m@ch3

[Médiat]

Salut,

La vidéo N°3 est très intéressante (elle voue aux gémonies ceux qui prétendent sans précautions que 1 + 2 + ... = -1/12, ce que j'ai dû faire ici plusieurs fois), néanmoins il y a quelques affirmations (péremptoires) non justifiées qui me gênent.

[stefjm]

et https://fr.wikipedia.org/wiki/Sommation_de_Ces%C3%A0ro
et https://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A...ion_d'Abel