Théorème de Bayes

[leroisinge]

Bonjour,

Je ne comprends pas bien le théorème de Bayes.
Je vais vous expliquer ce qui me pose problème.

En pièce jointe, je vous ai fait un arbre.

Je sais par exemple calculer la proba de A sachant B : P (A/B) = P (A union B) / P (B)

D'après mon cours, le théorème de Bayes permet de calculer P (B/A).
Maos cela n'est pas cencé pouvoir etre calculé avec un arbre ? Mon B en jaune de la pièce jointe n'est pas censé représenter P (B/A) ?
Si oui, pourquoi ne pouvons nous pas calculer P (B/A) = P(A) × P(B) ?

Merci de votre attention

1 pièces jointes :
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[gg0]

Bonjour.

"Je sais par exemple calculer la proba de A sachant B : P (A/B) = P (A union B) / P (B)" Non, c'est P (A/B) = P (A inter B) / P (B). A inter B, noté aussi A et B est l'événement A et B se sont tous les deux produits; A union B, noté aussi A ou B, est l'événement A s'est produit, ou bien B s'est produit, ou bien ils se sont produits tous les deux.

Ton arbre est bizarre, car par exemple, l'événement au bout de la première branche en haut n'est pas B (On sait que A s'est produit !! Donc ce n'est pas seulement B). Si A et B sont indépendants (la réalisation de A ne change rien à la probabilité que B se produise, et vice versa), l'événement final sera A inter B. S'ils ne sont pas indépendants, cet arbre ne traduit rien. En général, les branches secondaires correspondent à des probabilités conditionnelles. Donc, toujours pour la première branche, en haut, c e qui doit figurer sur le trait de droite, c'est P(B/A). Et a&u bout de la branche on marque la probabilité finale, produit de celles qu'il y a au long de la branche, par exemple P(B) (P(B)=P(A)*P(B/A) ).

Cordialement.

[leroisinge]

Merci de votre réponse.

Non, c'est P (A/B) = P (A inter B) / P (B)

Oui, c'est une faite d'inattention, pardon.

Donc, toujours pour la première branche, en haut, c e qui doit figurer sur le trait de droite, c'est P(B/A)

Justement, c'est ce que je me demande.
L'arbre indique P (B/A). Donc pourquoi utiliser la loi de Bayes pour calculer P (B/A) ? Pourquoi ne pas multiplier les chemins entre eux ? Cest a dire comme on le faisait au lycée ?
(Je me suis mal exprimé dans mon premier message, prenons en compte plutot celui ci

[gg0]

Si on connaît P(B/A), on n'a pas besoin de le calculer. Si on ne le connaît pas, ton arbre ne sert à rien, puisqu'on ne peut pas le remplir. Donc tu te trompes en disant "D'après mon cours, le théorème de Bayes permet de calculer P (B/A)." Tu te trompes en n'ayant pris qu'un morceau de phrase, dans une situation particulière.
Mais avant de pouvoir dire cela, il fallait débroussailler les choses bien plus élémentaires que le théorème de Bayes sur lesquelles tu avais des erreurs.

Donc reprenons : Que dit le théorème de Bayes (*) ?

Cordialement.

(*) celui de ton cours, parce que sous ce nom de théorème de Bayes, je connais plusieurs formules différentes

[A voir en vidéo sur Futura]

[leroisinge]

Si on connaît P(B/A), on n'a pas besoin de le calculer. Si on ne le connaît pas, ton arbre ne sert à rien, puisqu'on ne peut pas le remplir.

D'accord, merci, c'est plus clair sur ce point là !

Donc reprenons : Que dit le théorème de Bayes (*) ?
(*) celui de ton cours, parce que sous ce nom de théorème de Bayes, je connais plusieurs formules différentes

Si j'ai bien compris, je dois repondre a votre question.
Le théorème sert à calculer la probabilité de B sachant A en connaissant la probabilité de A sachant B, en connaissant celle de A et celle de B.
On l'utilise lorsqu'on ne sait pas faire d'arbres.

(Comme vous dites connaitre plusieurs théorème, je vous joint celui de mon cours).

1 PJ
Edit : pardon, je ne sais pas pourquoi il est dans le mauvais sens.

[gg0]

Voilà !

Tu as dans ce que tu as dit, la réponse à tes interrogations. La forme la plus utilisée est la généralisation qui arrive ensuite, lorsque l'événement A est le résultat d'un certain nombre de possibilités, ou même qu'on a tous les cas possibles.
L'idée derrière est simplement d'inverser l'ordre des conditions : on connaît A sachant B, on veut trouver B sachant A. Et au fond, c'est seulement l'égalité évidente P(A)*P(B/A) = P(B)*P(A/B) (évidente, car les deux valent P(A et B).

Cordialement.

[leroisinge]

Merci beaucoup gg0, j'ai compris maintenant le Théorème !

Si j'ai bien compris, vous dites que cette formule est la plus utilisée, c'est ca ?

P(A)*P(B/A) = P(B)*P(A/B)

[gg0]

Non, pas celle-ci; celle avec les A_i.

[leroisinge]

C'est noté !