Topologie dans l'ensemble des nombres complexes C

[Itachi11]

Bonsoir,
S'il vous plaît j'ai besoin d'une indication pour montrer que tout anneau A(z0,r,R)={z€C: r<|z-z0|<R} est connexe dans C muni de la topologie induite par la distance usuelle dans C. J'ai beau me creuser la tête je n'ai aucune piste.
-----

[Anonyme007]

Salut,

Essaye la connexité par arcs.
Si une partie d'un espace topologique est connexe par arcs, elle et connexe.
Voir ici, https://fr.wikipedia.org/wiki/Connexit%C3%A9_par_arcs

[Deedee81]

Salut,

Prend deux points quelconque de l'anneau. Il est assez facile de construire un chemin continu (au sens de la topologie induite bien sûr) dans A qui joint les deux points. L'ensemble A est donc connexe par arc. Et donc connexe.
Quand on peut faire comme ça ce n'est généralement pas trop difficile (ce n'est pas toujours le cas un espace topologique connexe peut ne pas l'être par arc).
Je te laisse remplir les détails.

[Itachi11]

Bonjour,
Merci beaucoup pour cette indication mais j'ai encore du mal. Sur un schéma j'arrive bien à construire un arc un arc reliant 2 poitnts quelconques. Mais comment donner l'équation de cet arc? Sachant que cet arc doit être polygonal et ses segments parallèles aux axes.
Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[MissJenny]

l'arc n'a pas besoin d'être polygonal. Un segment radial suivi d'un arc de cercle fait l'affaire.

[Médiat]

Bonjour,

A noter que la structure de corps de C n'a rien à voir avec la question qui aurait pu être posée dans IR²

[Itachi11]

Dois je comprendre que la définition 1.11 sur l'image n'est pas juste ?

[gg0]

Oui, cette définition est fautive. Voir par exemple Wikipédia.

Cordialement.

[Médiat]

C'est la 1.10 et non la 1.11 qui est fausse

2 remarques :

1) Comment on fait quand il n'y a pas d'axe ? (bref, c'et faux)
2) Le point 4 de la définition 1.12 devrait être "à valeur dans {0, 1} muni de la topologie discrète"

Je ne sais pas ce qu'est ce livre, mais je ne lui ferais pas confiance

[MissJenny]

il y a moyen d'utiliser la proposition 1.13(2) pour montrer que la couronne est connexe, tout en prenant la définition donnée en 1.11 (qui n'est pas la définition standard), et sans s'embêter à écrire l'équation d'un arc polygonal.

[Itachi11]

Ok merci beaucoup c'est le cours donné par le professeur dans le cadre de l'ue variable complexe. Nous lui avons demandé pourquoi cette définition de connexité par arcs était differentes de celle qu'on a vu en topologie générale et il a répondu que c'était parceque là nous sommes dans et que celle ci ne marche que dans C.

[Médiat]

celle ci ne marche que dans C.

Encore faux !

[Itachi11]

Dans ce cas à quoi sert la notion d'arc polygonal ?

[pm42]

Dans ce cas à quoi sert la notion d'arc polygonal ?

Et parallèle aux axes comme dans ta définition ? A rien du tout à part à compliquer le travail.
En gros, tu vas chercher une courbe continue qui lie les 2 points tout en restant dans l'espace connexe. Si le plus pratique, c'est un arc polygonal parallèle aux axes de coordonnées, tu le prends.
Si c'est un arc polygonal non parallèle, tu le prends.
Si c'est autre chose, un arc de cercle par exemple, tu le prends.

Te restreindre à un seul type de courbe est ridicule. On notera également que "parallèle aux axes de coordonnées" est impressionnant : si j'exhibe une solution qui ne marche que dans un seul référentiel, l'ensemble est connexe dans celui là mais ne l'est plus si je prend des axes tournés de 45° ?

[Itachi11]

Ok merci pour les réponses.

[MissJenny]

Dans ce cas à quoi sert la notion d'arc polygonal ?

ton prof a peut-être en tête la théorie de l'intégration des fonctions d'une variable complexe. Dans ce cadre on utilise des chemins polygonaux, quoique pas spécialement à segments parallèles aux axes.