Résolution d'une EDP

[invite1681de5a]

Bonsoir à tous,

N'ayant pas les compétences en mathématiques je me tourne vers vous pour vous proposer ce petit problème.

Est-ce que quelqu'un serait en mesure de trouver (si elles existes) les solutions de l'EDP suivante : df/dx+(df/dy)*a*f=0

Etant donné la forme je ne suis pas sur qu'il y ait des solutions mais sait-on jamais

a est un nombre réel positif et disons que pour x,y=0, f(x,y)=0 et pour x->infini, f(x,y)->0 et pour y->infini, f(x,y)->infini.

Merci et n'hésitez pas à me dire s'il faut plus de précision ou autre !
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[JJacquelin]

Pour les personnes intéressées, voir ma réponse dans http://www.les-mathematiques.net/pho....php?4,2246894

[invite1681de5a]

Je modifie un peu mes conditions, je voudrais trouver (si elle existe) une fonction f solution de l'EDP que j'ai proposée et qui respecte les conditions suivantes avec a et b deux nombres réels positifs :

x=0 => f(x,y)=0
y=0 => f(x,y)=0
x=y=0 => f(x,y)=0
x->+infini => f(x,y)->0
y-> +infini => f(x,y)-> b

[Aftersmill]

Salut à toi ! Alors premièrement je suis loin d'être super à l'aise avec les EDP mais je pense avoir trouvé une solution en séparant les variables
Alors on pose donc f(x,y) = h(x)*g(y) et donc df/dx = h'(x)*g(y) et df/dy = h(x)*g'(y)
En remplaçant dans l'EDP de bases on obtient h'(x)*g(y) + a*h(x)*g(y)*h(x)*g'(y) = 0 qu'on peut réécrire comme (-1/a)*h'(x)/(h(x)^2) = g'(y)
On se retrouve avec, a gauche, une fonction ne dépendant que de x (en supposant que a est une constante) et a droite, une fonction ne dépendant que de y, le tout est donc forcément égal à une constante que nous allons noter K
En prenant le terme en y, on a donc g'(y) = K et donc g(y) = Kx+p avec p la constante d'intégration
En prenant le terme en x et en remarquant que -h'(x)/h(x)^2 est en faites la dérivée de 1/h(x) on se retrouve avec (1/a) * (1/h(x))' = K ce qui donne (1/h(x))' = a*K ce qui donne 1/h(x) = a*Kx + m et donc h(x) = 1/(a*Kx+m)
Au final on a f(x,y) = (Ky+p)/(a*Kx +m)
Ta première condition initiale nous indique que p = 0, la deuxième est validée par la forme générale de la solution et ne nous indique donc rien sur la valeur des constantes.
Quand à la dernière j'imagine que tu souhaites que f tende vers l'infini positif quand y tend vers l'infini positif, dans ce cas ta fonction n'est défini que pour des valeurs de x qui rendent le dénominateur positif.

Au final on a donc f(x,y) = Ky/(a*Kx+m) et il faudrait d'autre CI pour déterminer la valeur des constantes K et m
Je te laisse vérifier en calculant les dérivées partielles de f et en injectant ce que tu trouves dans l'EDP mais normalement c'est correct, cependant je n'ai aucune idée si cette solution est unique, l'hypothèse de départ étant assez restrictive (poser que f(x,y) est séparable en un produit de fonction à une variable)

Voilà en espérant avoir pu t'aider !
Cordialement
Sacha

[A voir en vidéo sur Futura]

[Aftersmill]

Du coup j'étais en train d'écrire mon message quand tu as rectifié tes CI. Mais du coup la première de ta nouvelle liste nous donne K=0 et donc f(x,y) = 0 ce qui ne nous intéresse pas ici.
Les 3 suivantes sont bien respecté avec la forme générale de ma solution (et je vois qu'il y en a une pléthore d'autres en suivant le lien de Jacquelin) mais la dernière ne me semble pas consistante avec la solution que j'ai proposé donc malheureusement cela ne convient pas à ce que tu recherches. En espérant que tu finiras par trouver ce que tu cherches
Juste une petite question : pourquoi as tu besoin d'une telle fonction ?

[JJacquelin]

Bonjour Aftersmill,
La solution que tu proposes f(x,y)=Ky/(aKx+m) ne satisfait pas la condition y-> +infini => f(x,y)-> b
Cordialement, JJ.

Désolé, je n'avais pas vu le message précédent.

[invite1681de5a]

Merci beaucoup pour la réponse en effet ça pourrait me donner quelque chose, je vais voir ce que je peux en faire