compréhension solution Ax = b

[invite344599c9]

Bonjour,

Je sollicite votre aide pour comprendre une notion d'algèbre linéaire. Il s'agit de la solution générale de Ax = b, avec A une matrice, x le vecteur à trouver, et b un vecteur.

Je suis actuellement un cours qui explique la méthode pour trouver la solution générale, pour tout b, et je ne comprends pas ce qu'on cherche à faire. J'ai regardé d'autres cours, je ne comprends pas plus. Voici ce que disent les cours que j'ai vu :

résumé du raisonnement des cours :

solution générale X = Xp + cXn, avec Xp une solution particulière, c un scalaire, et Xn la solution nulle (pour b = vecteur 0).

Pour trouver Xn, j'ai bien compris, pas de soucis. C'est plus Xp qui me pose problème.

Pour le trouver, les cours disent d'augmenter A avec des bi, exemple :
[ 1 4 0 b1 ]
[ -1 2 6 b2 ]
[ 0 -3 -5 b3 ]

Puis de passer la matrice augmentée en RREF. On obtient alors quelque chose du type (au pif, j'ai pas calculé, c'est juste pour avoir un exemple) :
[ 1 0 0 2b1-b3 ]
[ 0 1 2 4b2 ]
[ 0 0 0 b1-4b2+b3 ]

grâce à la ligne pleine de 0, on peut choisir un ensemble de bi qui satisfasse l'équation, avec l'exemple ci-dessus : b1=2, b2=1, b3=2.

On remplace alors les bi par les valeurs choisies dans la matrice, avec notre exemple on obtient ça :
[ 1 0 0 2 ]
[ 0 1 2 4 ]
[ 0 0 0 0 ]

Ensuite, on écrit les équations obtenues :
x1 = 2
x2 + 2x3 = 4

on annule les variables libres (x3 en l'occurrence) : x2 = 4
notre solution particulière est donc Xp = (2, 4, 0)

Puis on calcule notre X avec Xp + cXn

Mon incompréhension :

J'ai bien compris la méthode, et j'arrive à résoudre les exercices. Ce qui me tracasse... Je ne comprends pas ce que je fais concrètement. Je ne comprends ni le sens, ni l'utilité, et je n'ai pas d'idée d'application concrète. Vous trouverez peut être que je chipote, mais je ne trouve plus aucun intérêt à l'apprentissage de la science quand je me contente de l'apprendre sans en comprendre le sens, c'est donc important pour moi que ça ait du sens.

Quel est le but de la manoeuvre ? J'ai formulé quelques hypothèses, mais aucune ne me semble cohérente :
- est ce que, dans un cas concret, on connait déjà le b "visé", et on utilise cette méthode si on remarque qu'on a une variable libre, et donc une infinité de solution ? Mais si oui... Pourquoi s'embêter à apprendre avec des bi génériques, puis à choisir un bi au pif qui satisfasse l'équation avec la ligne de "0", si dans les faits on remplacera les bi par des nombres ?
- est ce qu'il s'agit de chercher l'espace contenant tous les vecteurs x pouvant atteindre n'importe quel b ? Si oui... Je ne comprends pas non plus : si le b n'est pas spécifié et qu'il s'agit d'atteindre n'importe quel vecteur b, alors n'importe quel vecteur x de l'entièreté de Rn peut satisfaire une équation Ax = b, si le choix du "b" en question est laissé libre... Donc X = Rn...

Bref, je ne comprends vraiment pas ce que je fais, je ne comprends pas le but.

Quelqu'un peut m'expliquer SVP ? Dans tous les cours que je trouve, on explique la méthode, mais jamais le sens.

Merci d'avance.
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[GBZM]

Bonjour,

J'ai l'impression que tu es bien perdu, et tu interprètes ton cours de travers.
D'après ce que je crois comprendre à partir de ce que tu décris, il s'agit, étant donné , de décrire l'ensemble des vecteurs tels que admet au moins une solution, autrement dit de déterminer l'image de la matrice . On sait que la dimension de ce sous espace est égale au rang de la matrice , c.-à-d. au nombre de ligne non nulles dans la forme échelonnée réduite selon les lignes de la matrice .
On cherche donc les tels que le système ait au moins une solution. Le procédé de calcul indiqué dans ton cours pour calculer l'image de consiste à mettre sous forme échelonnée réduite suivant les lignes la matrice augmentée avec la colonne . Le système mis sous forme échelonnée se termine alors par un certain nombre d'équation de la forme une combinaison linéaire des . Ces équations sont des conditions nécessaires et suffisantes pour l'existence de solutions, ce sont donc des équations du sous-espace image de .

Peut-être suis-je à côté de la plaque dans la compréhension de ce que tu racontes, mais alors il me faudrait le contenu exact de ton cours, pas déformé par ton interprétation.

[invite344599c9]

Merci pour ta réponse.

il s'agit, étant donné A, de décrire l'ensemble des vecteurs b tels que Ax=b admet au moins une solution

On cherche donc les b=(b1,...,bn) tels que le système Ax=b ait au moins une solution

Tu es sur que c'est ce qu'on cherche ? C'est pas l'espace colonne ça ? Qui, lui, est étendu par les vecteurs pivots de la matrice ?

Oui, j'ai conscience que c'est pas le top désolé. En fait, c'est un peu compliqué pour moi de fournir le contenu exact du cours : il s'agit de cours vidéos payants, accessibles seulement si on a payé justement. ils fournissent bien une version écrite, mais ce sont des cours en anglais. Je poste quand même (j'espère que ça pose pas de problèmes) :

Solving+Ax=b.pdf

Je cite le début qui explique le but :

We know that the null space of a matrix is any vector x ⃗ that satisfies ⃗
A x ⃗ = O. But now we want the complete solution to the system represented by A. In other words, we don’t just want to know which vectors x ⃗ will give the zero vector as a result; now we want to know which vectors x ⃗ will give any vector as a result.

Il s'agit donc bien de trouver tous les x qui donnent n'importe quel vecteur b comme résultat. Or, tout vecteur x donne un vecteur b en résultat, c'est ça que je ne comprends pas...

In other words, instead of limiting ourselves to only the zero vector, now we want a way to find every x ⃗ that will satisfy A x ⃗ = b ⃗ when we choose any particular b .

Là, elle parle de choisir un b en particulier. Mais si c'est le cas, je ne comprends pas pourquoi s'entrainer avec de faux b génériques et se rajouter tant d'étapes, plutot que de s'entrainer avec des nombres à la place de "b" génériques.

Bref... Autant la trentaine d'heures de cours sur les autres chapitres est claire, autant celui là... Soit il n'est pas clair, soit c'est moi qui n'y comprends rien.

[GBZM]

J'espère que tu n'as pas payé trop cher, parce que c'est vraiment de mauvaise qualité.

[A voir en vidéo sur Futura]

[obi76]

J'espère que tu n'as pas payé trop cher, parce que c'est vraiment de mauvaise qualité.

Plutôt d'accord avec cette remarque. Des cours gratuits, très bien faits sur ce sujet, ça se trouve à la pelle...

[invite344599c9]

GBZM et obi76 :

c'est vraiment de mauvaise qualité

Vous avez raison, c'est de mauvaise qualité, c'est bien ce qu'il me semblait, mais uniquement pour ce chapitre. Ca correspond à environ une demi heure de vidéo sur les 30 heures, et les autres sont très bien expliqués, mais je ne sais pas ce qui s'est passé avec ce chapitre là...

J'espère que tu n'as pas payé trop cher

Non, j'ai payé 10€

Des cours gratuits, très bien faits sur ce sujet, ça se trouve à la pelle...

C'est vrai, mais ce sont soit des cours écrits souvent assez complets, soit des cours vidéos, mais pas aussi complets. Et personnellement, j'ai une grande préférence pour les cours vidéos. J'ai des problèmes de lecture, je lis avec une lenteur extrême, j'ai la concentration extrêmement volatile quand je lis, et en vidéo, la personne explique en même temps que de montrer en temps réel. C'est beaucoup plus fournit en exemples que la majorité des cours écrits, plus facilement concret, etc. Les pdf sont juste donnés en bonus, 99% de l'effort est mit sur les vidéos. Juste que ce chapitre est vraiment mauvais pour une raison qui m'échappe.

[MissJenny]

en gros l'idée est que pour trouver toutes les solutions x de Ax=b il faut en trouver une, disons x0 (la "solution particulière") et lui ajouter n'importe quel élément y du noyau de A (qui est donc solution de Ay=0). C'est évident que si y est dans le noyau alors x0+y vérifie A(x0+y)=Ax0+Ay=b+0=b, et réciproquement, si x1 est une autre solution, alors on a A(x1-x0)=Ax1-Ax0=b-b=0 donc x1-x0 est dans le noyau de A.

[invite344599c9]

Merci pour la réponse. En fait, j'ai compris la méthode, et l'idée derrière la méthode (la solution particulière à laquelle on ajoute n'importe quel élément du noyau), et je comprends en quoi un élément du noyau n'éloigne pas de b, mais je ne comprends toujours pas le but.

trouver toutes les solutions x de Ax=b

est-ce qu'on parle d'un b en particulier, ou de tous les b en général ? Si on parle d'un b en particulier, pourquoi présenter tout un calcul avec des b génériques ? Et si on parle de tous les b en général, alors n'importe quel x de l'espace Rn est solution, quelque soit A : pour tout A, et pour tout x, l'opération Ax donne un vecteur b en résultat... C'est vraiment là que ce situe mon problème de compréhension : je n'arrive pas à comprendre si on parle d'un b en particulier, ou de n'importe quel b, et aucune des deux hypothèses ne me semble cohérente.

Ce que j'ai du mal à comprendre, c'est que :
- on part d'un b complètement générique, sous la forme b = (b1, ..., bn)
- on met en forme échelonnée réduite, pour trouver une ligne de la forme 0 = (...)
- pour pouvoir choisir au hasard un b qui satisfasse cette équation et ait une infinité de solutions
- pour trouver une solution particulière à ce b précis qu'on a choisit au hasard
- pour ensuite trouver la solution générale de ce b précis qu'on a choisit au hasard (tous les x qui tombent sur ce b en question, construits par la solution particulière Xp à laquelle on ajoute n'importe quel élément du noyau de A)

Et... Vraiment, ça me parait insensé ! Pourquoi choisir sois même au hasard un b, pour ensuite trouver toutes ses solutions ? Quel est l'intérêt de trouver une méthode qui permette de choisir un vecteur au hasard pour ensuite donner toutes ses solutions ? A quel moment on a besoin de trouver toutes les solutions d'un vecteur qu'on prend au hasard en plein milieu de la méthode ?

Je veux dire, dans les faits en mathématiques appliquées par exemple, je peux concevoir qu'on puisse avoir besoin de trouver toutes les solutions possibles pour un vecteur b bien précis, mais à ce moment là, toutes les étapes de la méthode qui permettent de choisir au hasard un vecteur b parmi ceux qui ont une infinité de solutions ne servent plus à rien ! Je ne comprends pas à quel moment on peut bien avoir besoin de tirer ce b au sort...

Bref, le but de la manoeuvre m'échappe, je comprends la méthode, je comprends son fonctionnement et je sais l'appliquer, mais j'ai vraiment l'impression dans casse tête sans aucun but

[MissJenny]

On suppose A et b donnés et on cherche tous les x tels que Ax=b. Evidemment, dans un exercice pratique A et b seront donnés de façon explicite (numérique).

[invite344599c9]

Ah, d'accord. Je ne comprends toujours pas pourquoi tous les cours que j'ai trouvé apprennent plein d'étapes pour choisir ce b au hasard, et nous entrainent à en choisir un au hasard dans tout un tas d'exercices plutôt que de nous entrainer avec un b en particulier, mais j'imagine que ces cours ne sont pas terribles alors effectivement.

Merci pour la réponse, c'est plus clair pour moi maintenant.

[MissJenny]

on fait toujours comme ça en maths : on ne prend des valeurs particulières que quand on sait résoudre le problème en général. Quand au collège on apprend à résoudre l'équation du second degré : ax^2+bx+c=0, on apprend qu'il faut calculer le discriminant b^2-4ac, sans prendre des valeurs numériques particulières pour a,b,c.

[invite344599c9]

D'accord, mais au collège justement, les exemples et exercices te donnent des valeurs numériques particulières ! La partie avec valeurs génériques n'est présente que pendant l'explication. Ici, toutes les batteries d'exercice que je trouve ne le font qu'avec des valeurs génériques. Puis pour l'équation du second degré, on ne t'apprends pas plein d'étapes pour commencer avec des valeurs génériques, puis ensuite choisir des valeurs numériques précises au pif

[MissJenny]

ah ok. si tu veux mon avis: comprendre le principe de la recherche des solutions du système (que j'ai exposé plus haut) est intéressant mais résoudre effectivement des systèmes linéaires n'a aucun intérêt: les ordinateurs font ça très bien pour nous. Donc sauf si tu as un examen à passer, à ta place je laisserais tomber ces exercices.

[invite344599c9]

C'est pas faux, je crois que je vais les laisser tomber, en effet !

[GBZM]

Ce que tu écris sur les exercices que tu trouves m'étonne beaucoup. Pourrais-tu donner un exemple ?
Souvent, on rencontre des exercices où le système d'équations linéaires dépend de paramètres. On demande alors de spécifier les paramètres pour lesquels ce système a des solutions, et de donner la forme des solutions pour ces paramètres (on appelle ça discuter le système).
On peut concevoir des exercices où les coordonnées du second membre b sont des paramètres. On discute alors le nombre et la forme des olutions en fonction de ces paramètres. Ça peut même être utile dans certains modèles pour des applications.
Je reprends ton exemple, supposons qu'après mise sous forme échelonnée réduite du système on arrive à

On conclut que les paramètres pour lesquels ce système à des solutions sont ceux qui vérifient , et que pour de tels paramètres il y a une infinité de solutions dépendant de la variable libre z qui s'écrivent .

[invite344599c9]

GBZM merci d'avoir pris le temps pour la réponse. Ah d'accord, ça ressemble un peu à mes exercices. J'ai découpé un PDF, voici un exemple d'exercice (avec le début d'un exercice suivant sur la dernière page, désolé je vois pas comment le virer) :

solution_ax_b_futura.pdf

Tel quel, cet exercice semble n'avoir aucun sens pour moi. Mais, à la lumière de ce que tu dis, je commence peut être à percevoir l'intérêt de la méthode que j'apprends... Si je comprends bien :

(1) on part avec une matrice A, dans l'exercice :
Capture d’écran 2021-08-13 à 15.57.25.png

(2) On trouve la solution nulle :
Capture d’écran 2021-08-13 à 16.00.15.png

(3) On augmente A avec un b générique, et on passe en forme développée réduite :
Capture d’écran 2021-08-13 à 16.01.12.png

(4) ... Et c'est là que la méthode du cours, et la correction de l'exercice, disent de choisir un b au hasard qui satisfasse l'équation 0 = 0 en dernière ligne (et pour lequel il existe donc une solution) :
Capture d’écran 2021-08-13 à 16.03.24.jpg
on a choisit (1, 2, 3) comme on aurait pu choisir n'importe quel autre qui donne aussi 0 = 0 en dernière ligne. Et je ne comprenais pas l'intérêt de prendre un b au pif, je ne voyais pas l'application concrète qu'on pouvait y faire.

(5) et en suite, on calcule la solution particulière après avoir injecté le b choisit, puis on a notre solution avec X = Xp + c Xn.

... Mais si je comprends bien, dans un cas concret, on pourrait augmenter la matrice avec un b générique, pour se trouver à l'état indiqué en (3), pour ainsi avoir un travail prémaché, lorsqu'on aura à calculer les solutions de b concrets ? Si par exemple, par la suite, on nous dit, qu'il faut trouver les solutions pour b = (1, 2, 3), puis pour b = (3/5, 3/2, -2), puis pour encore plein d'autres b qui ont une infinité de solutions, on a plus qu'à injecter les valeurs numériques des b demandés, directement dans la matrice augmentée indiquée en (3) ?

Désolé si ma question parait bête, mais c'est juste que, tel quel, tel que je vous l'envoie, la procédure me semble dénuée de sens. Dans votre explication, je comprends pourquoi augmenter avec des b génériques, mais c'est l'enchainement "augmenter avec des b génériques et passer en développé réduite, puis désigner un b au hasard, puis calculer la solution générale pour ce b" qui me semble insensée.

Edit : désolé pour la mise en forme, je pensais que mes captures d'écran allaient s'afficher telles quelles au milieu de la page. Je cherche un moyen d'y remédier, je ne connais pas trop l'interface encore.

[GBZM]

Apparemment, il s'agit d'exercices associés à ton cours ?
Vraiment, c'est une honte de faire payer pour quelque chose d'aussi nul !

Essayons de tirer quelque chose de cet exercice.
Ma matrice A est donnée. On cherche à discuter, suivant , le système .
On peut passer directement à l'échelonnement de la matrice augmentée. Ceci revient à échelonner le système, j'ai la flemme de l'écrire sous forme échelonnée mais on peut conclure que
1°) Le système admet au moins une solution si et seulement si
2°) dans ce cas il y a une infinité de solutions dépendant des deux variables libres qui s'écrivent
soit encore

.

Voila, c'est tout.

[invite344599c9]

D'accord, ben je pense que malgré mes soucis de lecture, je vais revoir ce chapitre au travers du livre "algèbre linéaire" de Lay, que j'ai aussi, et qui m'a l'air excellent au vu des premiers chapitres ^^

Merci pour l'analyse.

[GBZM]

Oyui, j'avais eu ce bouquin sous les yeux, il me semblait correct (et bien dans l'esprit anglo-saxon).
Quand je faisais cours, j'utilisais plutôt le Grifone. Mais il est peut-être plus adapté à des étudiants "normaux" qu'à ta situation.

[invite344599c9]

Ah, tu as été prof ?
D'accord, la couverture du Grifone me dit quelque chose, mais je ne l'ai jamais essayé.

[GBZM]

Ben oui, j'ai été prof d'université pendant une trentaine d'années ...