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Géométrie à la règle et au compas



  1. #1
    Arthur20

    Géométrie à la règle et au compas


    ------

    Bonjour, dans le cadre d'un projet de recherche, je dois essayer de démonter la constructibilité à la règle et au compas d'une conique. Malheureusement, je ne parviens pas à trouver d'informations de qualités suffisantes.
    Aussi je me demandais si l'un d'entre vous pourrait m'aider en m'indiquant une piste me permettant d'avancer.
    Merci d'avance

    -----

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  4. #2
    mach3
    Modérateur

    Re : Géométrie à la règle et au compas

    Je n'y connais pas grand chose en géométrie à la règle et au compas, mais il y a quelques semaines, j'ai vu ces trois vidéos de Think Twice, "Generating conic sections with circles" :

    ellipse : https://www.youtube.com/watch?v=s4HhukRHe8U
    parabole : https://www.youtube.com/watch?v=26AgYXWKJtc
    hyperbole : https://www.youtube.com/watch?v=7siAmCV0Fiw

    Ca pourra peut-être aider.

    m@ch3
    Never feed the troll after midnight!

  5. #3
    jall2

    Re : Géométrie à la règle et au compas

    Il faudrait préciser la question car à la règle et au compas on peut construire des points, des segments de droite, des arcs de cercle, des polygones bien sur, mais pas des courbes quelconques comme des coniques.
    Dernière modification par jall2 ; 14/09/2021 à 12h58.

  6. #4
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Géométrie à la règle et au compas

    Il serait bon aussi de nous dire ce que tu sais sur la question.

    Cordialement.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    Anonyme007

    Re : Géométrie à la règle et au compas

    Bonjour,
    Voir ici : http://www.les-mathematiques.net/pho...78#msg-2216078 si ça peut t'aider.
    Cordialement.

  9. #6
    Arthur20

    Re : Géométrie à la règle et au compas

    Je vous donne le sujet tel que je l'ai reçu

    "Il s'agit de tracer simplement (règle et compas ), les paraboles, ellipses et hyperboles
    Indications: on pourra utiliser les différentes définitions des coniques : monofocale, bifocales ainsi que les cercles directeurs. Application directe ?"

    C'est on ne peut plus clair je trouve. Il s'agit de démontrer la constructibilité d'une conique à la règle et au compas en partant des axiomes de base d'Euclide. Je pense devoir m'appuyer sur les indications.
    Concernant ce que je sais du sujet, eh bien pas grand chose. J'ai évidemment les connaissances suffisantes sur les notions de coniques, de géométrie à la règle et au compas, géométrie euclidienne.. Mon vrai problème, c'est que je ne vois pas comment arriver au résultat voulu, comme l'indique jall2, construire une courbe au compas et à a la règle, ce n'est pas évident. Je pense que je dois réussir à placer les foyers et à démontrer que ce sont ceux d'une ellipse par exemple.

    Après, le lien d'Anonyme007 parle de polynômes constructibles même si tout ça me parait fort compliqué

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  11. #7
    Paraboloide_Hyperbolique

    Re : Géométrie à la règle et au compas

    Bonjour Arthur20

    Je pense que la manière la plus sûre pour démontrer (ou pas) si toutes les coniques sont traçables à la règle et au compas est bien de passer par la notion de "nombres constructibles" tels que signalé par Anonyme007.

    Voici ci-joint deux documents avec des exemples sur le sujet:

    http://www.ms.uky.edu/~droyster/cour.../Chapter03.pdf
    http://www2.math.uu.se/~thomase/GeometryoverFields.pdf

  12. #8
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Géométrie à la règle et au compas

    Il y a un problème de signification de l'énoncé : Les règles tracent des segments, les compas des cercles ou arcs de cercles. Donc on ne peut tracer avec règle et compas que des segments (même pas des droites), des arcs de cercles et des combinaisons de ceux-ci. Pas des coniques, sauf les cercles.
    J'imagine qu'il faut montrer que n'importe quel point d'une conique (disons parabole, ellipse et hyperbole) est constructible à la règle et au compas. Ce qui est un problème différent. La possibilité de le faire se démontre avec la notion de nombre constructible, et peut donner une idée de la construction effective. Dans les cas simples, on peut voir une preuve directe. Par exemple soit une parabole, donnée par son foyer F et sa directrice D. Chacun des points M est déterminé de façon unique par son projeté m sur la directrice. Comment construis-tu M connaissant m ?

    Cordialement.

    NB : On va utiliser la géométrie euclidienne plutôt que les axiomes d'Euclide (déjà incomplets !), on ne va pas tout redémontrer.

  13. #9
    Arthur20

    Re : Géométrie à la règle et au compas

    Effectivement, je n'avais pas vu le sujet comme ça mais c'est beaucoup plus clair et logique.
    Merci pour les documents joints, je vais explorer tout ça et je reviendrais vers vous si j'ai des questions auxquels vous pourriez répondre

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