Différentielle

[Antharess]

Bonjour,
Je suis en 2e année de prépa intégrée en école d’ingénieur, et on nous a introduit la différentielle. Je l’avais déjà vu, mais la prof n’a pas été capable de nous expliquer ce que c’était réellement.
Je connais la formule mathématique :
df= (drondf /drondx)dx…
Mais concrètement, c’est quoi ? Une petite variation de f ?
Elle nous a dit que c’est une fonction linéaire, mais ça ne répond pas à la question…
Merci d’avance
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[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonjour,

Je pense que la définition donnée au message #2 du lien https://forums.futura-sciences.com/m...e-derivee.html devrait satisfaire votre curiosité. Elle a le mérite d'être claire et succincte, sans passer par des détails techniques inutiles ici.

[mach3]

Les fils suivants peuvent peut-être aussi aider :

https://forums.futura-sciences.com/p...artielles.html

https://forums.futura-sciences.com/p...dynamique.html

m@ch3

[Antharess]

Bonjour,
je pense avoir compris, et en même temps... pas vraiment.
Le lien que vous avez envoyé est très bien, mais du coup je me pose la même question que Karim35...
En fait la formule de la différentielle est :

Sauf que la formule parle de dx, et non de h qui est un scalaire. Que "devient" dx ?

Ensuite, cela concerne la partie physique. En physique, on peut écrire : dU= TdS -pdV, et ensuite intégrer :
U=TS-pV (sous certaines conditions physiques que l'on passera ici)
Donc c'est une différentielle on ne crée pas de fonctions linéaires définies sur R..? Je crois que je m'embrouille là... Je mélange maths et physique...


edit modération : LaTeX
(mettre toute l'expression df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy entre les balises TeX)

[A voir en vidéo sur Futura]

[Antharess]

Bon ce sont des d rond mais je galère un peu à les afficher... En espérant que vous comprendrez quand même.

[gg0]

On obtient en écrivant \partial. Et un seul couple [ TEX ] [ \TEX ] suffit pour toute la formule (j'ai rajouté des espaces pour faire apparaître les tex.
Ce que tu as écrit est illisible, et comme tu peux vérifier ("Prévisualisation du message") avant d'envoyer, tu n'es pas excusable de produire ce genre de message.

Utilise "Répondre" et la balise TeX (à gauche dans la dernière zone, invisible chez moi, mais qui existe bien).

[mach3]

En fait la formule de la différentielle est :
Sauf que la formule parle de dx, et non de h qui est un scalaire. Que "devient" dx ?

La question n'est pas claire... dx et dy apparaissent parce qu'on écrit la différentielle df comme une combinaison linéaire d'autres différentielles dx et dy. Le h dans le message de Romain des bois dans le fil cité est un vecteur, pas un scalaire (ce n'est un scalaire que si on considère une fonction d'une seule variable), qui lui aussi peut se décomposer en une combinaison linéaire d'un vecteur unitaire suivant x et un suivant y dans le cas à deux variables. La gymnastique pour faire correspondre les deux semble un peu compliquée (je n'y suis pas encore parvenu), je préfère travailler avec les opérateurs de dérivée directionnelle qui sont aussi des vecteurs.

Ensuite, cela concerne la partie physique. En physique, on peut écrire : dU= TdS -pdV, et ensuite intégrer :
U=TS-pV (sous certaines conditions physiques que l'on passera ici)
Donc c'est une différentielle on ne crée pas de fonctions linéaires définies sur R..? Je crois que je m'embrouille là... Je mélange maths et physique...

D'abord, attention, U = TS - PV + G, car on a d'une part dU= TdS -pdV et d'autre part dG=-SdT+PdV, donc dU - dG = TdS+SdT-PdV-VdP = d(TS) - d(PV), ce donne simplement U-G =TS-PV en intégrant (à une constante près). On n'obtient U=TS-PV qu'aux points ou G s'annule (s'il y en a).
Ensuite si on intègre dU, c'est le long d'un chemin. Le mieux pour bien rendre tout visible est de paramétrer le chemin, par exemple avec , qui va évoluer de à entre le début et la fin du chemin, chemin décrit par le couple de fonctions et .
On va avoir :
, T et P étant des fonctions de .

m@ch3

[jall2]

J'ai toujours pensé que les dx, dy que l'on trouve dans l'expression des différentielles étaient les 2 variables de la fonction différentielle.

Or en relisant le vieux fil de 2008 conseillé par paraboloide_hyperbolique https://forums.futura-sciences.com/m...e-derivee.html message 25 je vois:

df(3,2) = 12 dx(3,2) + 96 dy(3,2) pour la différentielle de f au point (3, 2) comme si dx et dy étaient elles même les différentielles des fonctions x et y.

Que sont ces "fonctions" x et y ?

Moi j'écrirais plutôt df(3,2)(dx, dy) = 12 dx + 96 dy pour l'image de (dx, dy) par la différentielle de f au point (3,2)

[gg0]

Bonjour.

Dans une définition élémentaire, si u=f(x), alors du=f'(x)dx. Pour u=x on obtient du = dx. dx est la différentielle de la fonction x-->x.

Cordialement.

[mach3]

On a une variété à deux dimensions. On a trois champs scalaires dessus, x, y et f (en chaque point de la variété, x, y et f ont une valeur). Cela permet, si ces champs sont dérivables, de définir trois champs de 1-forme, df, dx et dy, en appliquant l'opérateur de dérivée extérieure aux trois champs scalaires. En chaque point, ces 1-formes sont des éléments du dual de l'espace tangent en ce point, c'est à dire des applications linéaires qui transforment les vecteurs de l'espace tangent en scalaires. Le scalaire obtenu quand on applique df, dx ou dy sur un vecteur de l'espace tangent est la dérivée directionnelle de f, de x ou de y suivant ce vecteur.
Pour la dérivée directionnelle voir ici : https://forums.futura-sciences.com/m...ml#post6682596
(j'aurais bien voulu recopier, mais comme c'est dans des citations, je ne peux récupérer le code latex et je n'ai pas le temps de le refaire...)

f, x et y sont sur un pied d'égalité, elles peuvent (au moins sur des domaines) chacune être une fonction des deux autres, ou dit autrement, chacune des 1-formes df, dx et dy peut s'écrire comme combinaison linéaire des deux autres (car les 1-formes sont des éléments d'un espace vectoriel). Autant on peut écrire :



que



m@ch3