Exercice matrice diagonalisable

[math47]

Edit : la mise en page était ratée quand je postais donc je poste la capture d'écran de celui-ci avant qu'il ne soit posté...



Edit 2 : je me rends compte que c'est très petit mais qu'on arrive à lire en zoomant beaucoup... désolé
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[gg0]

Attention,

pour n=1 il n'y a qu'une seule valeur propre.
Par contre, dès que le noyau d'une matrice (d'un endomorphisme) n'est pas nul, 0 est valeur propre par définition.

[math47]

Merci je n'étais pas sûr de ça.

Pour la 4 : le polynôme caractéristique est le suivant : (-1)n (X-n)Xn-1 car f est diagonalisable ssi son polynôme est scindé et dim(Eλ) = αλ, αλ étant la multiplicité et λ la valeur propre. Or on a prouvé à la question précédente que A est diagonalisable et dim(E0) = n-1 donc la multiplicité de 0 est n-1. Même raisonnement pour la valeur propre n.

Le polynôme minimal est le suivant : X²-nX il est du second degré car il y a deux valeurs propres et les racines du polynôme minimal de A sont ses valeurs propres.

Qu'en pensez-vous ?

[gg0]

" (-1)n (X-n)Xn-1 " inacceptable !
Tu demandes de l'aide et tu n'es même pas capable d'écrire des puissances après que je t'aies dit comment faire ! C'est nul !!

[CARAC8B10]

Réponse à ton message n°31 :
En dimension 3 :
Calcul du vecteur propre associé à la valeur propre : 3



On porte dans la première équation :





Donc vecteur propre :

[math47]

Je refais pardon : (-1)ⁿ (X-n)X^n-1

[math47]

Merci CARAC8B10, mais qui est T ?

[CARAC8B10]

C'est pour matrice transposée. Un vecteur propre est un vecteur colonne mais comme je l’écris en ligne, je transpose.

[math47]

Ah oui d'accord pas de soucis, merci

[math47]

Pour la 5 : Il existe un polynôme Q(X) tel qu'on ait : (X²-nX)Q(X) mais je dois avouer que je ne vois pas le reste là...

[math47]

Je reviens sur ce que j'ai dit : Comme le polynôme minimal est du second degré, il existe un polynôme Q(X) tel qu'on ait : (X²-nX)Q(X) + bX + c
et donc il faut trouver les coefficients b et c mais comment puis-je faire ?

[CARAC8B10]

avec de degré

[math47]

0 = b
a = n^k-1

on a alors (X²-nX)Q(X) + n^k-1X
donc le reste de la division euclidienne c'est n^k-1X, c'est ça ?

[math47]

et du coup pour la 6 : A_n^k = n^k-1A, c'est ça ?

[CARAC8B10]

Non.

[math47]

Aïe, où me suis-je trompé ?

[CARAC8B10]

Au temps pour moi j'ai confondu et ! je fatigue !

Le reste est bien
Et donc

On aurait pu faire plus court.
Du polynôme minimal , on tire et par une récurrence sur k :

[math47]

Merci beaucoup ! Donner les alternatives à chaque fois c'est une super idée d'ailleurs c'est très intéressant !!