Ensemble borné

**NoAddedSugar** · 03/03/2022, 11h05

Bonjour,

On note $\text{[math]}$ .
Pour tout $\text{[math]}$ , on pose $\text{[math]}$ définie par $\text{[math]}$ si $\text{[math]}$ n et $\text{[math]}$ si $\text{[math]}$ .

On considère enfin $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

Je souhaite montrer que pour chaque $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ est borné dans $\text{[math]}$ .

Bon, j'ai essayé de décortiquer cette histoire de $\text{[math]}$ ...

Soit donc $\text{[math]}$ . Alors $\text{[math]}$ . Je comprends que x est une suite de suites. Donc je préfère l'écrire sous la forme $\text{[math]}$ avec donc $\text{[math]}$ .

Puisque $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ .

Je regarde maintenant ce que vaut $\text{[math]}$ autrement dit $\text{[math]}$

On a que : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ si $\text{[math]}$ .

Cela revient alors à montrer que $\text{[math]}$ est borné pour tout $\text{[math]}$ revient à montrer que $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ .

Egalement, comme $\text{[math]}$ est une application linéaire, et que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont deux espaces de Banach, alors si je montre que $\text{[math]}$ est continue, alors cela équivaut à dire que $\text{[math]}$ est bornée sur les bornés.
Pour cela, je peux montrer qu'il existe $\text{[math]}$ telle que pour tout $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ .

Voilà. Est-ce que ce que je raconte dans le premier paragraphe est correct et cohérent (les notations sur les suites de suites est quelque chose de difficile pour moi) ?
Et êtes-vous d'accord avec mon second raisonnement ?

Merci d'avance pour vos retours et indications.

**gg0** · 03/03/2022, 13h56

Bonjour.

Difficile de t'aider car l'énoncé est confus : Il y a d'abord un $\text{[math]}$ qui est défini (*), puis n'intervient plus, puis un $\text{[math]}$ non défini. Au passage, le $\text{[math]}$ pourrait parfaitement être le $\text{[math]}$ , mais qui sait ? Dans ce cas, $\text{[math]}$ est une suite, un élément de $\text{[math]}$ , pas une suite de suites et alors $\text{[math]}$ est la même suite, annulée partout sauf pour le terme d'indice $\text{[math]}$ qui est multiplié par $\text{[math]}$ .
Peux-tu donner un énoncé correct ?

Cordialement.

(*) l'ensemble des suites presque partout nulles. Qui sert à définir les polynômes.

**NoAddedSugar** · 03/03/2022, 18h07

Bonjour gg0,
Merci de ta réponse.
Effectivement, mon énoncé laisse à désirer.
On définit en fait $\text{[math]}$ .

**gg0** · 03/03/2022, 18h11

Donc x est bien un élément de $\text{[math]}$ 2, comme tous les éléments de $\text{[math]}$ .

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**gg0** · 03/03/2022, 20h14

La suite n'est pas mieux. Tu définis $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , puis tu n'en parles plus, et tu te poses des questions sur $\text{[math]}$ qui n'est pas défini. Il y a aussi des $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , bizarre, bizarre !

**NoAddedSugar** · 04/03/2022, 01h12

Décidemment !

On définit $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

**NoAddedSugar** · 04/03/2022, 01h23

Décidemment !

On définit $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

**NoAddedSugar** · 04/03/2022, 01h39

Entre temps, j'ai avancé.
On a donc que $\text{[math]}$ .

De plus, $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$

Or, $\text{[math]}$ si $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ si $\text{[math]}$ .

On peut donc déjà remarquer que $\text{[math]}$ .

C'est cela qui m'a fait penser à considérer la continuité de $\text{[math]}$ .

En effet, on a $\text{[math]}$
De plus, l'application $\text{[math]}$ est linéaire.

Ainsi, $\text{[math]}$ est une application linéaire et continue sur $\text{[math]}$ espace de Banach, elle est donc bornée sur les bornés, d'où le résultat.

Qu'en penses-tu ?

Merci gg0.

**gg0** · 04/03/2022, 08h17

Tu n'as toujours pas dit qui est le $\text{[math]}$ de ton énoncé. Donc " d'où le résultat' n'a aucun sens pour moi.

"On peut donc déjà remarquer que $\text{[math]}$ ." Une preuve est toujours mieux. Idem ensuite pour la linéarité.

"En effet, on a $\text{[math]}$ " Faux.

Il serait peut-être temps pour toi de commencer à regarder sur des exemples ce qui se passe. Prends a=(1,0,0,...), b=(0,1,0,...), c=(1,0,1,0 ...) des éléments de $\text{[math]}$ (les ... veulent dire que tous les termes suivants sont des 0), et regarde leurs images par $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

Cordialement.

**NoAddedSugar** · 06/03/2022, 06h23

Bonjour gg0,

Merci tout d'abord pour ton suivi, j'apprécie vraiment. Et désolé pour ma réponse tardive.
Ce n'est pas $\text{[math]}$ mais bien $\text{[math]}$ dans tout le problème.
J'essaye donc de comprendre pourquoi pour tout $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ est borné.

Je vais faire ce que tu proposes, et je reposte dans la journée.

Merci encore.

**gg0** · 06/03/2022, 08h01

J'ai toujours un doute sur ce qu'est $\text{[math]}$ .

Au message #1, tu écris $\text{[math]}$ , ce qui n'est pas clair ! Je ne sais pas multiplier à droite un élément de $\text{[math]}$ par un élément de $\text{[math]}$ . A moins qu'il s'agisse de $\text{[math]}$ (1). Je t'en parlais au message #5, je n'ai pas eu de réponse satisfaisante.
Au message #7 (identique au précédent), c'est pire, $\text{[math]}$ ne dépend pas de $\text{[math]}$ , mais $\text{[math]}$ en dépend !! C'est absurde.
S'il s'agit bien de mon interprétation (1), c'est assez trivial puisque, tu le verras, $\text{[math]}$ est un ensemble fini !!
Si ce n'est pas ça, à toi de me dire ce que signifie $\text{[math]}$

**NoAddedSugar** · 06/03/2022, 09h31

Le problème gg0 est que l'ensemble $\text{[math]}$ est défini ainsi, mot pour mot, dans mon exercice.

Je le comprends ainsi : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

**gg0** · 06/03/2022, 11h33

Et comme il n'y a pas d'autre lecture possible, tu peux continuer ainsi. Après tout, on écrit bien ln x pour ln(x).

Bon travail !

**NoAddedSugar** · 06/03/2022, 15h53

Bonjour gg0,

Alors, si je prends $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ . En effet, $\text{[math]}$ , et $\text{[math]}$ pour tout $\text{[math]}$ .

Puis, de la même façon, $\text{[math]}$ .

Et enfin $\text{[math]}$ .

De même, j'obtiens que $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , et $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

**gg0** · 06/03/2022, 16h31

Si tu as bien compris ce qui se passe, la suite est facile. La seule difficulté est de bien rédiger, en prouvant ce qu'on a vu.

**NoAddedSugar** · 07/03/2022, 11h46

Bonjour gg0,

Finalement, si pour $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ a tous ses termes nuls, sauf celui pour lequel $\text{[math]}$ .

De plus, si pour $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ est la suite nulle.

Donc l'application $\text{[math]}$ annule tous les termes de la suite, sauf le terme de rang $\text{[math]}$ .

J'essaye de voir maintenant pourquoi cela implique que B_x est borné.

En fait, pour tout suite x, et pour chaque n, on peut associer à chaque suite un entier égal au rang i.

J'ai envie de dire que l'ensemb le $\text{[math]}$ est en bijection avec $\text{[math]}$ .

Ou alors, une autre idée, toujours pour montrer que $\text{[math]}$ est fini, serait de montrer que la mesure de $\text{[math]}$ est minorée et majorée.

**gg0** · 07/03/2022, 12h40

Il serait peut-être temps de te rappeler l'énoncé. Le x est une suite dont seul un nombre fini de termes sont non nuls. J'ai l'impression que tu n'es pas allé très loin dans l'étude des cas particuliers que je t'avais proposé. Manifestement, vu ce que tu écris (et qui est en partie faux), tu n'as même pas essayé de regarder ce qu'est $\text{[math]}$ dans ces cas !!

Il serait temps de te mettre sérieusement au travail sur ce sujet, sans a-priori sur ce que tu dois trouver. Et sans attendre que je fasse la travail à ta place ...

**NoAddedSugar** · 07/03/2022, 14h04

C'est dommage de voir à quel point les jugements sont totalement biasés quand on communique virtuellement.
J'ai 35 ans, je suis prof en lycée et je revois des notions de Master, juste comme ça.

Merci beaucoup en tout cas gg0 pour tes conseils et indications bienveillantes !

Au revoir.

**gg0** · 07/03/2022, 15h38

"J'ai 35 ans, je suis prof en lycée " Alors je n'aurais pas dû avoir à te dire de prendre des exemples pour comprendre de quoi il s'agit. Depuis le début, tu mélanges les notations, tu ne lis pas vraiment les définitions, ...
Ton $\text{[math]}$ est isomorphe (*) à l'ensemble des polynômes réels et $\text{[math]}$ devient par isomorphie l'application qui à $\text{[math]}$ associe le polynôme (monôme) $\text{[math]}$ qui est évidemment nul si le degré de $\text{[math]}$ est strictement inférieur à n. Donc l'essentiel des $\text{[math]}$ est nul.

Le premier travail, face à un énoncé, est de le décoder. Je tente de te le faire faire depuis 4 jours.

NB : Je suis aussi un ancien prof de lycée.

Cordialement.

(*) et même mieux, pour certains c'est la définition des polynômes.

**NoAddedSugar** · 08/03/2022, 03h21

Bonjour gg0,

Merci pour tes explications.
C'est de ma faute : je n'aurai pas dû poster pendant cette période de conseils de classe et de correction...
Je n'ai pas pu proposer une réflexion régulière sur mon problème. Tout simplement pas dedans.

Merci encore pour la qualité de tes explications gg0.
Je reposterai sous peu, en étant impliqué cette fois ci.

**gg0** · 08/03/2022, 06h45

Oui, je comprends mieux ! A une prochaine fois !

**NoAddedSugar** · 12/03/2022, 19h11

Bonsoir gg0,

J'ai une autre question concernant cet exercice.
Il est écrit que $\text{[math]}$ n'est pas borné dans l'espace $\text{[math]}$ des applications linéaires de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ .
Est-ce que c'est évident ?!

Je pense tout de suite au théorème de Banach-Steinhaus, puisque que l'on a démontré auparavant que $\text{[math]}$ était un ensemble borné.

Si je reprends ce théorème dans son énoncé général, on doit considérer une famille d'applications linéaires continues d'un espace de Banach $\text{[math]}$ dans un espace vectoriel normé $\text{[math]}$ .

Dans l'exercice, on a $\text{[math]}$ une famille d'applications linéaires (continues ?) de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ .

Or, $\text{[math]}$ est isomorphe à l'ensemble des polynômes réels, qui n'est pas un espace de Banach (je crois me souvenir qu'il faut utiliser le théorème de Baire pour montrer qu'aucune norme ne rend $\text{[math]}$ complet), et $\text{[math]}$ est un espace de Banach.

Du coup, $\text{[math]}$ n'est pas borné sur $\text{[math]}$ car $\text{[math]}$ n'est pas un Banach. Est-ce correct ?

Merci

**gg0** · 12/03/2022, 19h49

Bizarrement, moi je ne pense pas spontanément à ces gros théorèmes (que je connais très mal, je n'ai jamais vraiment fait de l'analyse fonctionnelle), mais à quelque chose de tout simple : Quelle est la norme de $\text{[math]}$ ?
Comme il est facile de regarder les éléments de $\text{[math]}$ , je ne vois pas l'intérêt de regarder les $\text{[math]}$ qui parlent d'autre chose. Mais si tu es capable de construire une preuve solide (chaque étape est basée sur l'application stricte d'un théorème), pourquoi pas ?
Mais faute de connaissances, je ne te suivrai pas.

Cordialement.

**NoAddedSugar** · 13/03/2022, 09h51

Bonjour gg0,

Je manque terriblement d'automatismes.

Soit $\text{[math]}$ et soit $\text{[math]}$ , on a :

$\text{[math]}$ , et donc $\text{[math]}$ n'est pas borné dans $\text{[math]}$

**NoAddedSugar** · 13/03/2022, 11h30

Je suis allé trop vite.

On a $\text{[math]}$ car $\text{[math]}$ .

Mais la conclusion ne change pas.

**gg0** · 13/03/2022, 13h11

Bizarre !

Tu as démontré que l'ensemble des $\text{[math]}$ , noté $\text{[math]}$ est borné, et maintenant tu dis que la norme de $\text{[math]}$ tend vers l'infini. Il faudrait savoir !
De plus, le problème n'est pas $\text{[math]}$ ) mais $\text{[math]}$ lui-même.

Cordialement.

**NoAddedSugar** · 14/03/2022, 11h53

Effectivement.

Il faut bien considérer la norme subordonnée...

On a : $\text{[math]}$ d'où le résultat.

**gg0** · 14/03/2022, 13h03

Je ne comprends pas ton $\text{[math]}$ . Quelle norme utilises-tu ? Et comment obtiens-tu ce $\text{[math]}$ ?

Cordialement.

NB : J'ai un peu peur que tu utilises encore $\text{[math]}$ qui est généralement faux.

**NoAddedSugar** · 14/03/2022, 14h38

Alors pour moi, pour tout x dans $\text{[math]}$ et pour tout $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ .

Donc chaque composante de $\text{[math]}$ est une suite, dont tous les termes sont nuls, saut un qui vaut 1.

Ensuite, pour déterminer la norme subordonnée, je reviens à sa déifnition, et j'essaye de calculer $\text{[math]}$ (numérateur du sup)

Est-ce que jusque là, c'est correct ?
Si non, c'est que je n'ai rien compris à cette application.

**NoAddedSugar** · 14/03/2022, 15h01

sauf un qui vaut n pardon

Ensemble borné

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