égalité intégrale et somme

[invitee9a1c16f]

Bonsoir,
Je dois établir que l'intégrale de ∫f(t)dt avec f(t)=(1-t^n)/1-t avec comme borne de l'intégrale [0,x]

∫f(t)dt=la somme de 1 à n de x^k/k

Je ne comprends pas comment commencer.
Merci de votre aide, bonne soirée.
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[Black Jack 2]

Bonjour,

En divisant (1-t^n) par (1-t), on trouve :

(1-t^n)/(1-t) = t^(n-1) + (1-t^(n-1))/(1-t)

Intègre cela entre 0 et X et vois ce qui se passe ...

[invitee9a1c16f]

Merci beaucoup !

J'ai intégré t^(n-1) et j'ai trouvé x^n/n
et après en divisant à nouveau (1-t^(n-1)) par (1-t) je trouve t^(n-2) + (1-t^(n-2))/(1-t)
en intégrant t^(n-2) j'ai x^(n-1)/(n-1) donc j'en déduis que l'intégrale de ∫f(t)dt avec f(t)=(1-t^n)/1-t avec comme borne de l'intégrale [0,x] est égale à la somme de 1 à n de x^k/k.
Il y a-t-il une manière plus rigoureuse de le rédiger ?
Merci, bonne journée.

[gg0]

Bonjour.

"Il y a-t-il (sic) une manière plus rigoureuse de le rédiger ?" Oui, sûrement, car là c'est assez flou, en particulier le "j'en déduis" n'est pas, apparemment, l'application d'une règle logique ou mathématique, mais plus probablement l'expression de ta conviction que la formule est juste.

Une méthode classique, quand une propriété dépend d'un entier n est de faire une preuve par récurrence.
Une autre est d'utiliser la factorisation connue de 1-t^n.

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee9a1c16f]

Bonjour,
Merci beaucoup, j'ai compris je vais faire par récurrence.
Bonne fin de journée