soit l'équation différentielle du second ordre: d²y/dx²=0 (y et x adimensionnels) . Si il existe une fonction escalier ESC(y) sur un intervalle de x fini, et telle que dy/dx= ESC(y), est-ce que l'on peut conclure que l'intégrale de la fonction escalier est une solution de l'équation différentielle ? Est-ce que ce problème a quelque chose à voir avec les solutions de Stieltjes des équations différentielles? Merci d'avance pour les réponses.
Bonjour.
une fonction en escalier n'est pas continue. Comment pourrait-elle être solution de d²y/dx² = 0 qui implique que y est deux fois dérivable ?
There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.
L'intégrale de l'escalier est une rampe causale, continue en 0 et dérivable à droite en 0.
Et c'est effectivement une solution de l'EDO de départ.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
C'est la raison pour laquelle j'ai posé la question: la fonction escalier est dérivable presque partout et donc à dérivée nulle presque partout. Donc d²y/dx²=0 presque partout, excepté pour une suite de valeurs de x dénombrable, pour lesquelles la dérivée seconde n'est pas définie.
Bonjour Markusbloch.
Tout dépend de ce qu'on appelle "solution". Ta fonction, si elle n'est pas affine, n'est pas une solution de l'équation différentielle, puisqu'elle n'est pas deux fois dérivable partout. Par contre, elle vérifie l'équation sur tout intervalle ouvert où dy/dx est constant.
En maths, les solutions sont toutes les fonctions affines et elles seules.
Cordialement.
Bonjour à tous, et merci de vos réponses.
Je voudrais reposer le problème mathématique sous un angle plus physique : on a deux variables adimensionnelles x et y, et on a observé physiquement la relation : dy/dx= ESC(y) ( mettons de côté le problème des erreurs de mesure, et supposons que nous avons une raison théorique pour pouvoir faire l'hypothèse que la dérivée est vraiment une fonction en escalier). D'autre part, on a un raisonnement théorique différent qui conduit au résultat: d²y/dx²=0. Est-ce que les deux raisonnements sont en accord ou en désaccord?
Si on parle d'échelon, on peut être tenté par sa dérivée sous forme de distribution et à dériver des fonctions discontinues.
Si f est une fonction dérivable partout sauf aux point de discontinuité (saut fini), la dérivée généralisée de f est égale à la dérivée ajoutée des dirac aux points de discontinuité et dont le poids correspond à la discontinuité.
Exemple pour l'échelon unitaire h(t)
dh/dt = 0+delta(t)
https://claude-gimenes.fr/mathematiq...-distributions
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Il y a bien une discordance entre les deux méthodes. Et le vrai problème du physicien est de comprendre où se passe la discordance. C'est très classique en sciences dures.
En général, si un modèle ne donne pas le bon résultat expérimental, c'est au modèle de changer. Mais parfois, le modèle permet d'éliminer des artéfacts et d'avoir des mesures cohérentes avec lui.
Bonne chance !
Oui, ce n'est effectivement pas aussi simple qu'il n'y parait.
1) Si on cherche les solutions sur tout R
Comme déjà dit par gg0 et jacknicklaus, les solutions sont de la forme
y(x) = y(0)+y'(0).x
y'(x) = y'(0) = cte , ce qui interdit toute discontinuité à la fonction y'(x).
En physique, il est courant de choisir nulles les conditions initiale. Dans ce cas, cette solution mathématique classique conduit à
y(x) = 0 , ce qui est particulièrement inintéressant, autant d'un point de vu mathématique (solution triviale) que physique (on ne décrit pas grand chose).
Pour trouver les solutions intéressantes physiquement, une possibilité est d'utiliser les fonction de Green. https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_de_Green
On cherche y telle que
avecla distribution de Dirac, dérivée de l'échelon de Heaviside
Cela permet d'autoriser des sauts pour les fonctions y et y' en 0.
Pour votre exemple, la fonction de Green est facile à obtenir.
On dit alors que y(x) est la réponse à une distribution (impulsion) de Dirac du système.
On peut voir que cette réponse impulsionnelle est intéressante, même avec des conditions initiales nulles. C'est la solution que j'avais donné au départ.
https://www.wolframalpha.com/input?i=x*theta%28x%29
Elle caractérise le système étudié, indépendamment des entrées (second membre de l'EDO) qu'on peut mettre dessus.
Quand on dérive y, on obtient bien pour y', l'échelon de Heaviside.
https://www.wolframalpha.com/input?i...x*theta%28x%29
Comme la résolution des EDO est un enfer, c'est plus cool de passer au point 2 si linéarité.
2) Si on cherche les solution sur R+ seul
On peut alors s'autoriser une discontinuité des fonctions en 0, en ne considérant que R+*.
La solution y(x) = y(0)+y'(0).x reprend alors un intérêt puisque y(0) et y'(0) peuvent être non nuls en 0. Les fonctions y et y' peuvent donc sauter en 0.
On peut utiliser la transformée de Laplace monolatérale (sur R+) pour trouver les solutions.
D'un point de vu mathématique qui aime bien la généricité, les fonctions peuvent faire ce qu'elles veulent sur R-. On s'en fout car l'intégration ne porte que sur R+.
Les physiciens automaticiens préfèrent en général considérer que les fonctions sont strictement nulles sur R-.
La dérivée dy/dx se transforme en p.Y(p)-y(0)
On a alors dans le domaine transformé l'équation :
Très facile à résoudre puisqu'on transforme la résolution d'une EDO de variable x, en résolution d'une équation polynomiale en p.
Il suffit alors de remonter à l'original :
https://www.wolframalpha.com/input?i...5E2%2Cp%2Cx%5D
Si on veut la fonction de Green, la TL du dirac valant 1, c'est facile aussi :
On peut noter dans l'équation du dessus que le 1 qu'apporte le dirac a le même rôle que la condition initiale y(0) et fait sauter la fonction y.
Cela se voit également sur l'original en x.
https://www.wolframalpha.com/input?i...5E2%2Cp%2Cx%5D
Si les CI sont nulles, on retrouve très facilement la réponse au dirac.
https://www.wolframalpha.com/input?i...5E2%2Cp%2Cx%5D
Disclaimers : Tout ceci avec les mains, je ne suis pas mathématicien. Il peut subsister des coquilles de typo, voir plus gênant de principe.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
J'ai consulté des documents concernant les équations différentielles au sens de Stieltjes; hélas, j'ai beaucoup de mal à bien comprendre le contenu. Cependant, j'entrevois une solution simple au problème ( en espérant qu'elle ne soit pas simpliste). Voici mon raisonnement: la difficulté vient (hypothèse que je fais, bien sûr!) du fait que j'ai mal défini la fonction escalier telle qu'elle doit l'être pour pouvoir résoudre mon problème. Maintenant, définissons la fonction escalier ESC*(z), telle que , sur l'intervalle (k) de définition [z(k), z(k+1)] : ESC*( z ) = ak si z= z(k) et z(k) < z < z(k+1), ak étant la constante imposée sur l'intervalle (k). Avec cette définition, la fonction ESC* est définie strictement en tout point, et sa dérivée est strictement nulle en tout point, ce qui résoudrait mon problème. Est-ce que ça pourrait convenir, ou est-ce que j'ai triché en tirant le lapin du chapeau ?
Bonjour.
"ESC*( z ) = ak si z= z(k) et z(k) < z < z(k+1)" ?? Tu veux dire "ESC*( z ) = ak si z(k) <= z < z(k+1)" ? dans ce cas, il y a toujours discontinuité en z(k+1) si a(k+1) est différent de a(k).
Donc au sens de EDO, l'équation différentielle ne peut être résolue que sur un [a(k),a(k+1)[ ou une de ses parties.
Cordialement.
Bonjour.
Il y a bien discontinuité de z, mais la dérivée est définie et strictement nulle dans tout le domaine de définition; il n'y a plus de discontinuité de la dérivée, et il me semble (à vérifier) que les équations de Stieltjes sont basées sur une idée de ce genre. Voir la pièce jointe.
Cordialement
Désolé,
mais je ne comprends pas ce que tu dis : " mais la dérivée est définie et strictement nulle dans tout le domaine de définition;" ?? La dérivée de quoi ? En tout cas pas d'une fonction discontinue, puisque discontinue implique non dérivable.
J'arrête là ce dialogue de sourd.
Je pense qu'il s'agit de la dérivée de la partie régulière de l'escalier ?
Donc la fonction nulle.
Je ne connais pas Stieltjes.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Bonjour gg0Envoyé par gg0
Je n'ai jamais trouver de cours où serait notifiée cette discordance.
Il m'arrive parfois de me mélanger les pinceaux quand je ne fais pas assez attention.
Exemple :
Méthode classique sur R
La solution est de la forme
Méthode distribution sur R+ et fonction nulle sur R-
C'est aussi la solution de l'équation différentielle
La condition initiale est dans l'équation.
Le saut de la fonction y résulte de l'intégration du dirac.
Je vois delta comme un opérateur qu'on écrit sous forme d'intégration (avec les réserves d'usages!), qui est
autrement dit l'opérateur qui à une fonction f de R vers R et un réel x associe la valeur de f en x. C'est très lié aux notions d’échantillonnage et d'intégration.
J'imagine qu'on doit pouvoir écrire cela mieux avec les distributions...
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Heu ... tu ne résous pas la même équation différentielle !! Le cadre distribution étant le plus large, tu vois bien que tu as changé d'équation, tu as changé de second membre.
Par contre, si on veut résoudre l'équa diff y' = U(x) où u est la fonction de Heaviside, la méthode ordinaire donne des solutions sur ]-oo,0[ ou [0,+oo[, alors qu'avec des fonctions généralisées, il y a des solutions sur R entier.
Les distributions sont un outil efficace, très utile en physique, mais rarement bien enseigné (Schwartz a pourtant rédigé un excellent bouquin sur le sujet, il a d'ailleurs été un des premiers à en faire un enseignement universitaire pour les physiciens).
Cordialement.
Ce n'est pas la même équation mathématique mais elle décrit la même chose physique.
Je crois que je suis pire qu'un physicien!
Un ingénieur qui se pose beaucoup trop de questions...
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
"... mais elle décrit la même chose physique." Pas vraiment !
correspond à) l'idée "pas de variation", rien ne se passe; vitesse nulle, donc position constante. La distribution de Dirac est tout sauf nulle, la représenter par une fonction nulle est la plus mauvaise représentation intuitive.
Cordialement.
NB : Il m'a fallu beaucoup réfléchir à cette question, quand j'enseignais en IUT, avec des étudiants qui n'avaient pas mon niveau de connaissances mathématique.
Dernière modification par gg0 ; 28/04/2022 à 11h41.
Bonjour,
Il n'y a pas de dialogue de sourd. Je comprend bien tes raisonnements ; je ne songe nullement à les contester (ou alors je me suis mal exprimé). Mais j'observe que des raisonnements (voir le document pdf que j'ai joint) utilisent la notion de dérivée sur un intervalle avec deux formules, l'une classique, et l'autre utilisant la notion de dérivée à droite sur la (ou au voisinage de) la discontinuité. Je tente donc d'utiliser cette notion pour résoudre mon problème.
Cordialement
@gg0
On est un peu pareil, mais on ne voit pas tout à fait les choses de la même façon, même si je suis complètement d'accord avec vous.
En commande automatique de procédé (ou en traitement du signal), on caractérise les systèmes par leur réponse impulsionnelle, dont la transformée de Laplace (p) ou Fourier (i.w) donne la fonction de transfert.
Le système décrit par dy/dx=e(x), a pour entrée e et sortie y. C'est un intégrateur dont la réponse impulsionnelle est un échelon.
Ce qui change entre les deux équations, est juste l'excitation d'entrée :
1) 0 : On laisse le système se relaxer.
2) delta(x) : on le percute.
On constate que la sortie y de ce système vaut une constante y(0) sur R+ dans les deux cas, suite à :
1) Un réglage de la condition initiale à y(0), dy/dx=0 et cela ne bouge plus, entrée nulle, sortie constante : C'est bien le comportement d'un intégrateur. Peut importe comment on a fait pour régler cette constante.
2) Une réponse à l'impulsion y(0).delta(x) , dy/dx=y(0).delta(x), donc un échelon de y(0), saut instantané, puis constante.
Dans les deux cas, on décrit bien un intégrateur, dont on obtient la réponse en convoluant l'entrée avec la réponse impulsionnelle.
(plus sympa en fonction de transfert : Y=[1.y(0)].(1/p)=y(0)/p : échelon)
Je n'ai jamais voulu laisser entendre qu'un dirac est représenté par une fonction nulle. Son intégration donne un échelon.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Bonjour,
J'ai l'impression que tu as eu la réponse à ta première question : Oui ou Non, selon le domaine souhaité R ou un intervalle ouvert.
Qu'est ce qui t'embête?
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
J'observe que des documents utilisant la notion de dérivée de Stieltjes semblent généraliser la notion de dérivée en utilisant une notion de dérivée à droite sur la discontinuité; je crois donc comprendre que cette notion permet de définir d²y/dx² sur R, en étendant la dérivation à la zone de discontinuité; c'est là dessus que je bloque. Est-ce que l'introduction de ce formalisme permet ou non de conclure : d²y/dx² = 0 sur R ? Évidemment, si ce n'est pas le cas, on retombe sur le résultat classique.
