démonstration dérivée (1/u)

[Telog]

Bonjour, je cherche à démontrer la dérivée de (1/u) par un développement limité mais je n'y arrive pas.


Voilà le début:
soit u une fonction définit sur I et dérivable en a de I.
D'après la définition de la dérivation, il existe u'(a) et E(h) tendant vers 0 en 0 tel que:
Quelque soit (a+h) appartenant à I: u(a+h) = u(a)+hu'(a)+hE(h).

J'ai comme idée calculé 1/u(a+h) en remplaçant u(a+h) par sont expression précédente mais j'ai l'impression que ca me mène nul part.

Merci d'avance pour votre aide!
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[gg0]

Bonjour.

II me semble que calculer 1/u(a+h)-1/u(a) mène au résultat. L'utilisation d'un DL n'apportant pas grand chose.
Montre tes calculs.

Cordialement.

[Telog]

Ce que j'ai:
1/u(a+h) - 1/u(a) = 1/(u(a)+hu'(a)+hE(h))-1/u(a)
=(u(a)-u(a)-hu'(a)-hE(h))/(u^2(a)-hu'(a)u(a)-hu(a)E(h))
=-(hu'(a)+hE(h))/(u^2(a)-hu'(a)u(a)-hu(a)E(h))

Je ne sais pas comment faire après ca.

[gg0]

Fait ainsi, ça n'apporte pas grand chose. Connais tu les règles des DL ? En particulier celle de 1/(1+x)?
Dans cette preuve, la définition par quotient est plus simple.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Telog]

non je ne connais pas

[gg0]

Alors je crains que tu ne puisses pas aboutir...
Et il est facile de passer de f'(a) exprimé par une limite à l'écriture en DL.