Longueur d'une courbe fermée sur une sphère

[curiossss]

Bonjour,

Tout le monde sait que le périmètre P d'un cercle est P = 2Pi.r

Mais existe-t-il une formule toute faite si la courbe dessine un cercle sur un plan passant par le centre d'une sphère et en même temps dessine un cercle sur un plan perpendiculaire au premier et passant aussi par le centre de la sphère ?

C'est à dire : cette courbe projetée sur le premier plan donne un cercle et projetée sur le second plan (perpendiculaire) donne aussi un cercle de même rayon (le rayon de la sphère).

Quelle est sa longueur ?


Même question pour une courbe qui en plus fait aussi un cercle d'égal rayon sur un 3eme plan perpendiculaire aux 2 premiers et passant aussi par le centre de la sphère.

Merci à ceux qui pourraient m'aider, soit parce qu'il existe déjà une formule toute faite, soit en me montrant le calcul pour y parvenir.

Merci.
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[GBZM]

Bonsoir,
Si je comprends bien tu cherche une courbe qui se projette orthogonalement selon un cercle de rayon de centre O sur un plan passant par O et qui se projette orthogonalement selon un autre cercle de rayon de centre O sur un plan perpendiculaire passant par O ?
C'est l'intersection de deux cylindres droits de bases ces deux cercles, qui est donc une ellipse de demi-petit axe et de demi-grand axe . Pas de jolie formule pour le périmètre de cette ellipse.
Si tu veux passer à trois cylindres, plus de courbe !

Mais pourquoi parles-tu de courbe sur une sphère ???

[MissJenny]

Pour visualiser l'intersection de 3 cylindres : https://www.sbpm.be/wp-content/uploa...-cylindres.pdf

effectivement les trois projections sont bien des cercles mais ce sont des arêtes différentes du "dodécaèdre courbe" qui interviennent pour chaque plan (chaque paire de cylindres) : il n'y a pas de courbe unique dont les trois projections sur des plans orthogonaux deux à deux soient des cercles.

[Ernum]

Salut,

peut-être attendre la réaction de curiosss, parce que bien que visualisant parfaitement les deux plans coupant la sphère orthogonalement par son centre, je n'ai pas vraiment compris de quelle courbe il parlait (si ce n'est les deux "grands cercles"), il n'est nul question de cylindre dans l'énoncé.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonsoir Ernum.

Le cylindre est caché dans l'énoncé : Une courbe qui se projette orthogonalement sur un cercle (C) d'un plan est entièrement située sur le cylindre droit de base (C) et de directrices perpendiculaires au plan.

Cordialement.

NB : On attend effectivement une réaction de Curiossss.

[curiossss]

Bonjour,

Merci à tous pour vos réponses. Je n'avais pas eu l'idée de faire une intersection de cylindre + sphère.

Mais effectivement depuis hier j'étais arrivé à la conclusion qu'il n'existait pas de courbe fermée sur la sphère dont la projection sur les 3 axes soit un cercle. Mais sur 2 axes oui.

En fait je m'intéressais à la trajectoire d'un point soumis à 2 (puis 3) rotations simultanées autour d'axes perpendiculaires entre eux.
La conclusion est donc qu'avec 2 rotations simultanées la trajectoire est sur la surface d'une sphère, mais avec 3 rotations simultanées ce n'est pas possible.

C'est compliqué de raisonner en termes de rotations simultanées, alors qu'on est habitués à raisonner en termes de rotations successives. C'est là tout le problème, et je me pose un tas d'autres questions sur les rotations 'simultanées' dans l'espace ! Je reviendrai peut-être vous questionner à ce sujet.
Pour me faire gagner du temps de réflexion et de l'énergie mentale : si on ajoute terme à terme les indices de 2 matrices de rotation, on obtient quoi ?

[Ernum]

Salut gg0,

merci, je ne suis pas sûr de bien capter (et pourtant les intersections de cylindre je connais, c'est mon métier), mais je viens à l'instant de me rendre compte que j'ai mal lu ceci (lu à l'envers si j'ose dire):

C'est à dire : cette courbe projetée sur le premier plan donne un cercle et projetée sur le second plan (perpendiculaire) donne aussi un cercle de même rayon (le rayon de la sphère).

je voyais sur le premier plan un cercle et une droite de centre cercle (le diamètre: la projection orthogonale au premier plan de l'autre cercle), hors ça n'est pas ça qu'il dit, je vois mon erreur. J'y réfléchis.

[GBZM]

"Je n'avais pas eu l'idée de faire une intersection de cylindre + sphère."
Il n'y a pas d'intersection de cylendre avec une sphère, mais l'intersection de DEUX CYLINDRES.

Qu'est-ce que tu entends par "rotations simultanées" ? Ça n'a pas grand sens, peux-tu préciser ?
Si on ajoute deux matrices de rotation, on obtient du n'importe quoi (pas une isométrie, en tout cas !)

[GBZM]

Ce qui peut se faire par contre, c'est ajouter deux vecteurs de rotation instantanée. un porté par un axe et l'autre par un axe orthogonal. À savoir si c'est ce que tu entends par "rotation simultanée" ? Mais ça ne correspond pas à ce dont tu parlais au début, par exemple les projections de la trajectoire sur les plans de coordonnées ne sont certainement pas des cercles !

[curiossss]

Mais ça ne correspond pas à ce dont tu parlais au début, par exemple les projections de la trajectoire sur les plans de coordonnées ne sont certainement pas des cercles !

Tu es sûr ? Pourtant, par définition, si on projette la ligne d'intersection des deux cylindres sur un plan perpendiculaire à un des cylindres j'obtiens un cercle. Idem pour l'autre cylindre...

ce que tu entends par "rotation simultanée" ?

Un exemple :
Imagine une sonde spatiale avec des réacteurs de propulsion orientables. Elle dispose aussi de deux gyroscopes orientés perpendiculairement l'un à l'autre. Chaque gyroscope pilote un ensemble de réacteurs.
Les réacteurs pilotés par le premier gyroscope font tourner la sonde suivant un cercle parfait sur le plan perpendiculaire à l'axe d'orientation de ce gyroscope.
Idem pour l'autre gyroscope.
On peut considérer que la sonde effectue alors 2 rotations simultanées autour de deux axes perpendiculaires entre eux, définis par les 2 gyroscopes.

[GBZM]

Oui, je suis sûr que ce que tu racontes ne va pas.
Juste une question : tu dis avoir une "rotation simultanée" de ton solide autour de deux axes orthogonaux. Le point du solide à l'intersection de ces deux axes est donc fixe dans cette "rotation simultanée" ?

[Deedee81]

Salut,

Comment la rotation instantanée pourrait-elle avoir deux axes de rotation différents ???? Il y a quelque chose de pas clair du tout !!!!

[curiossss]

Revenons à mon exemple de la sonde avec 2 gyroscopes :
On est d'accord que les axes de rotation des 2 gyroscopes restent constants.
Plusieurs cas peuvent se présenter :
-Les deux axes de rotation ne s'intersectent pas (de par la disposition des gyroscopes). On ne s'intéressera pas à ce cas.
-Les deux axes de rotation s'intersectent :
Dans le cas de la sonde le point d'intersection est distinct de la position des gyroscopes : ce n'est pas le cas idéal à cause des contraintes physiques (2 gyroscopes superposés au même endroit c'est impossible)
Mais imaginons qu'on puisse avoir 2 gyroscopes superposés au même endroit, avec 2 axes de rotation perpendiculaires entre eux : dans ce cas la réponse à la question de GBZM est "Oui le point du solide à l'intersection des deux axes est fixe (par rapport à un observateur immobile par rapport à la sonde)".
=> Puisque ce point est immobile, et que les axes de rotation ne varient pas, est-ce que chaque point de la sonde va décrire, par rapport à chacun des axes de rotation, une trajectoire qui projetée sur un plan perpendiculaire à l'axe de rotation en formant un cercle ?
Je ne suis plus sûr... Je vois bien une trajectoire courbe ondulant en 3D mais dont les projections sur 2D seraient des cercles. Mais j'ai comme un doute...

Pour répondre à Deedee : 2 axes de rotation simultanés sont chose courante : la lune tourne autour de la terre tout en étant entraînée dans un mouvement de rotation autour du soleil... 2 axes de rotation complètement différents et qui ne s'intersectent même pas..., mais là on s'écarte de notre exemple de la sonde spatiale.

[GBZM]

Puisque le solide a un point fixe, tout point du solide restera sur une sphère de centre ce point fixe. Et il n'y a aucune courbe sur une sphère qui se projette selon des cercles sur deux plans othogonaux.
Ça confirme que ce que tu écris ne va pas.

[GBZM]

Dans le cas de la lune, il s'agit de composition de mouvements. Ce n'est pas l'histoire que tu racontes avec tes "rotations simultanées".

[curiossss]

Ok j'ai intégré depuis un moment que l'intersection de deux cylindres ne suit pas la surface d'une sphère.
Comme c'est difficile à visualiser je me demandais si même si la ligne d'intersection n'était pas sur une sphère les projections sur deux plans perpendiculaires pouvaient toujours former des cercles.
Effectivement la réponse est non et puis de toutes façons je me suis rendu compte que mon exemple de sonde avec deux gyroscopes était mauvais car s'ils sont solidaires de la sonde toute rotation suivant l'axe d'un des gyroscopes fait dévier l'axe de l'autre gyroscope, donc pourquoi introduire des gyroscopes dans la discussion...

Mais mon interrogation première subsiste : comment se comportent deux rotations 'simultanées' ? On a l'habitude de faire subir les rotations à un objet de façon séquentielle, c'est le côté 'simultané' qui est perturbant.

Alors prenons un autre exemple sans gyroscopes, qui a le mérite plus d'être facile à visualiser :
Soient deux grands cercles métalliques de même diamètre et soudés entre eux en 2 points de façon à ce que leurs plans soient perpendiculaires entre eux.
Sur chaque cercle on dispose des fusées, équidistantes et identiques, dirigées dans le même sens de rotation du cercle sur lequel elles sont fixées.
On lâche cet engin dans l'espace et on allume les fusées.

On est bien dans le cas que j'appelle 'rotations simultanées'. Peut-être que le terme est mal choisi.

Comme on a vu les axes de rotation des cercles basculent en permanence (chaque cercle faisant varier l'axe de rotation de l'autre). On va négliger l'inertie et les effets gyroscopiques, les cercles et les fusées 'ont' une masse nulle.

Question :
Quelle sera la trajectoire d'un des points de soudure des deux cercles ?

[curiossss]

J'y ai repensé pendant le film de la soirée

Chaque point de soudure est soumis, de par la disposition des fusées sur les cercles, à une accélération tangentielle à chacun des cercles.
Donc comme ils font un angle droit entre eux et que les accélérations ont la même intensité alors ont peut considérer par composition des vecteurs que chaque point de soudure subit une force orientée à 45° par rapport aux plans des cercles.

Sauf erreur de ma part, ces points de soudure vont simplement décrire un cercle autour du centre de gravité du système sur un plan médian entre les 2 plans perpendiculaires.
==> la composition des 2 mouvements circulaires aboutissent à un mouvement circulaire. Et si c'est vrai pour les points de sourde c'est vrai pour tout autre point de la structure (avec des cercles de rayons différents).

Je suis un peu déçu, je cherchais une configuration où l'ensemble s'éloignerait par rapport à sa place initiale après allumage des fusées... peut-être avec une autre répartition des fusées... (non symétriques par rapport au centre des cercles...) ou simplement en faisant en sorte que les deux cercles n'aient pas un centre commun...

[curiossss]

Bon, je modifie mon exemple :

Cette fois les deux cercles sont reliées à un axe passant en leur centre (comme un essieu de voiture est relié à la roue).
On a donc deux grandes roues chacune reliée en son centre à un segment de droite.
Les bouts de chaque barre de chaque roue sont soudés de façon à former un angle droit.
Comme dans l'autre exemple, sur chaque roue sont disposées des fusées qui les feront tourner.

La configuration finale de cet engin composite est facile à visualiser : 2 barres formant un V avec un angle de 90°, et au bout de chaque branche du V une roue avec des fusées qui induiront une force tangentielle tendant à la faire tourner autour de son axe.
L'ensemble est symétrique, et les fusées ont toutes la même poussée.
Les plans passant par chaque roue font donc aussi 90° entre eux.

Quelle sera la trajectoire de l'ensemble une fois les fusées allumées ? Merci.

[MissJenny]

je crois que je vois ce que tu veux dire par rotations simultanées. Je te propose un modèle peut-être plus parlant: considère un globe terrestre, c'est-à-dire une sphère montée sur un support et tournant autour d'un axe incliné par rapport à la verticale. Si tu fais tourner la sphère un point de sa surface décrit un cercle dans un plan perpendiculaire à l'axe de rotation. Si maintenant tu places le globe terrestre sur un plateau tournant, et que tu fais aussi tourner la sphère, un point de sa surface va décrire une courbe non plane et pas forcément fermée. Il me paraît possible que, selon les vitesses de rotation relatives et la position du globe terrestre par rapport au centre du plateau, certaines de ces courbes soient des cercles.

[curiossss]

Je crois que ton exemple est très bon pour ma question initiale
Si le ratio des deux vitesses de rotation est égal à un nombre entier alors la courbe sera fermée.

Pour ce qui concerne mon dernier exemple j'y ai repensé après avoir envoyé mon texte : il y a toujours un point fixe, le point de soudure des deux barres, donc l'ensemble de l'appareil va tourner autour de ce point fixe, il n'y a pas de translation. Raté :-/

Je chercherai d'autres configurations apportant une translation, mais déjà j'en vois une :
Si les deux cercles sont sur un même plan, reliés par une barre sur ce même plan, il peut y avoir une translation (sur le plan) qui éloignera l'appareil de son point de départ.

[GBZM]

L'exemple de MissJenny est un autre exemple de composition de mouvements. Ça ne me semble pas parler de "rotations simultanées", mais je ne comprends toujours pas ce que Curioss a en tête quand il utilise ce terme. Mais on dirait que ça n'a rien de clair pour lui non plus.

[curiossss]

Si tu veux savoir ce que j'ai en tête regarde l'exemple de MissJenny, elle a très bien compris.
J'appelle çà probablement à tort des rotations simultanées puisque tu sembles bloqué sur ce terme. Ce sont donc des compositions de mouvements circulaires.

Malgré tout cette discussion m'a aidé, en m'obligeant à aller plus loin dans la réflexion. Quand je réfléchis tout seul ça aboutit souvent à du travail bâclé.
Le sujet est vaste et intéressant lorsqu'on commence à composer des mouvements, mais je ne vais pas continuer à polluer cette discussion puisque la question initiale a été répondue.
Merci à tous.

[GBZM]

Dans une composition de mouvements tu as trois repères :
Un repère n° 1 fixe
Un repère n° 2 en mouvement par rapport au repère n° 1 (par exemple un repère solidaire du plateau tournant de MissJenny)
Un repère n° 3 en mouvement pas rapport au repère n° 2 (par exemple un repère solidaire du globe terrestre de MissJenny).
Le mouvement composé est le mouvement du repère n° 3 par rapport au repère n° 1. Parler de "rotation simultanées" pour cette situation me semble un contresens.

[Deedee81]

Salut,

Parler de "rotation simultanées" pour cette situation me semble un contresens.

Je me demande si la réflexion de curiosss ne vient pas de la physique (curiosss peux-tu confirmer/infirmer ?) car là on parle bien de rotations instantanées et simultanées. En référence au sens physique donné à une des variables (le temps, bien entendu). Mais en mathématiques c'est effectivement un contresens. On a des transformations, des variables, des compositions de transformations et cétou. Passer du langage de l'un à l'autre peut parfois un peu brouiller le problème (pas souvent mais ça arrive) ou poser des soucis de communication (plus fréquent, ce qui est probablement le cas ici).

[curiossss]

Bonjour Deedee,


Effectivement je m'intéresse aux maths pour répondre à des problèmes de Physique. Quoique parfois je me laisse aller à m'intéresser à des sujets sans rapport avec la physique

Lors de cette discussion j'ai été étonné que les termes que j'ai utilisés puissent poser autant de problème dans l'interprétation de la question posée. Comme si la réalité physique à laquelle je faisais référence était surprenante : au départ je m'étais dis que les rotations (matrices de rotation) que j'avais apprises à l'école ne s'appliquent que séquentiellement mais devaient avoir un équivalent lorsque les rotations se font 'en même temps'. J'imaginais que le formalisme mathématique pour mon problème devait être plus compliqué mais devait exister. Mais je suis resté sur ma faim. (ce qui m'a rappelé des conversations en privé avec des ingénieurs où on concluait souvent avec 'les maths c'est pour les problèmes simples, dès que ça se complique on est désarmés (et vive la modélisation informatique)', ce qui est un peu injuste car on ne peut qu'admirer la beauté du monde mathématique).

[gg0]

Le formalisme mathématique pour ton problème physique est ultra-connu, c'est la cinématique des corps matériels. Et pour tes histoires de fusées la dynamique des corps. On travaille avec des torseurs (un couple et un vecteur).
Ce qui choque est ta volonté de traduire par des termes géométriques inadaptés ("rotation") un mouvement complexe, alors qu'on te dit que cette expression est inadaptée. Un mouvement de rotation n'est pas une rotation mathématique, c'est un mouvement.

Cordialement.

[curiossss]

Oui j'ai bien compris que mes mots n'étaient pas appropriés. Mais j'avais espoir qu'on me comprenne (quand je parle anglais en Angleterre ils arrivent à me comprendre, et pourtant...! Ils doivent bien rigoler parfois)

Merci pour le Torseurs. Je vais aller voir ça.

[gg0]

Le torseur est un outil, la notion de base est cinématique (voire dynamique) des corps matériels. Une partie de la mécanique rationnelle.

[gg0]

En fait l'idée essentielle est que tu ne peux pas faire tourner un objet rigide autour de 2 axes distincts. Ça ne tourne pas. Maintenant, si c'est une tendance à tourner autour d'un axe et en même temps de tourner autour d'un autre, il y aura un mouvement résultant (mais pas deux rotations, deux mouvements tournants). C'est étudié en cinématique.

[Deedee81]

Salut,

Ca n'a pas été précisé mais au cas où : https://fr.wikipedia.org/wiki/Torseur

Ca a l'avantage d'être simple et c'est très utile en mécanique/cinématique. Je l'avais vu à la fac, c'est presque le b.a.ba de base pour les ingénieurs.