groupe multilplicatif et matrices

[werqulic]

Bonjour
J'ai besoin d' aide pour l'exo 2 et a partir de l'exo3
exo 2 dm1 M51.jpg
exo 3 dm1 M51.jpg
Merci beaucoup
Bonne nuit
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[gg0]

Bonjour.

Je ne connais pas ces exercices, alors je te pose les questions que je me poserais si je décidais de les faire (en fait, celles que tu aurais dû te poser)

Exercice 2 : En général, que désigne <A,B> quand A et B sont des matrices ? Quelle(s) propriété(s) est nécessaire pour que ce soit ce qui est demandé ?

Exercice 3 : quelle est la définition d'une action ? comment s'applique-t-elle ici ?

Bon travail !

NB : Si tu bloques sur un des exercices, reviens avec les réponses aux questions et on t'aidera à continuer ...

[MissJenny]

Si <A,B> désigne le sous-groupe engendré par A et B, la question revient à se demander si A et B commutent.

[gg0]

Pas seulement ! Mais Werqulic, en revenant à la définition le verra bien.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Rectification : Non pas besoin d'autre chose, j'avais lu trop vite l'énoncé.

[werqulic]

Bonjour,
Je ne pensais pas que <A,B> designeait <S> , voila pk je bloquait. Je connait la definition de <S>. Maintenat c'est bon je sais comment faire/
Pour la l'exo3 , ii) orb(h)={gh^-1, h appartenat a H} et je trouve que son cardinal est le cardinal de G et qu' il y a card(H) orbites; est ce bon?
iv) card(G/H)=[G:H] avec G=xiHxi^-1 et H={e} et [G:H]*card(H)=card(G) (d' apres le corollaire du th de Lagrange), donc card(G/H)=card(G) (dans ce cas) voila pk je bloque c' est bizarre ce que je trouve, du coup je suis coincée.
Merci beaucoup pour les reponses
Cordialement
Lise

[pachacamac]

Bonjour,

Sympa l'exercice n°2, j' ai essayé de le faire comme exercice de gymnastique neuronale mathématique mais je bloque.

groupe multiplicatif = groupe abélien ?
groupe GL2 = ?


Quelle est la signification du "ket" à droite de l'égalité contenant entre crochet l'expression A puissance m B puissance n ?


Aussi werqulic, pourrais tu préciser ce que tu entend par ton S entre crochet qui t'as fait résoudre le pb ?

" MissJenny - " Si <A,B> désigne le sous-groupe engendré par A et B, la question revient à se demander si A et B commutent."

Je suppose que pour le vérifier il faut calculer le produit scalaire A B puis lui retrancher le produit scalaire B A .
Si et seulement si c'est égal à 0 alors ils commutent.

Cependant, je comprend pas trop comment ou pourquoi ça répond à la question posée.

Merci

[MissJenny]

ii) orb(h)={gh^-1, h appartenat a H} et je trouve que son cardinal est le cardinal de G et qu' il y a card(H) orbites; est ce bon?

les orbites forment une partition de G, donc ça ne peut pas être bon.

[werqulic]

Coucou pachamac
Soit G un groupe, S ⊂ G une partie de G, on note <S > l’intersection de tous les sous-groupes de G contenant la partie S, c’est le sous-groupe de G engendré par la partie S. Dans le cas où S ={a}, on parle du groupe monogène engendré par l’élément a et on le note : <a>={a^n,n∈Z}.
Non le groupe multiplicatif Gl2 n'est pas abelien( normalement ABn'est pas egale a BA) Le groupe GL2 est les groupes des matrices 2*2 inversible
Ici si le sous groupe engendre par A et B existe alors c'est un groupe abelien donc si tous elements de <A,B> commutent alors A et B commutent aussi. Dans ce cas comme AB diffenrent de BA donc il n' existe pas de sous groupe deGL2 engendre par A et B, donc on n'a pas l' egalite au dessus

[werqulic]

C' est bon j'ai eu de l'aide de mes camarades de classes pour l'exo 3

[GBZM]

Bonsoir,

Ton raisonnement pour l'exercice 2 ne va pas.

[werqulic]

Bonsoir
Du coup comment raisonner?

[GBZM]

Un moyen simple est de calculer explicitement en fonction de et et de montrer que n'est égal à aucun .

[pachacamac]

Salut,

En attendant pourrais tu me préciser ce que tu entend par : le groupe multiplicatif (Gl2)?

Le fait d'être un groupe non abélien (non commutatif ) n' aurait' il pas pour conséquence qu'il faut utiliser de l'algèbre et/ou de la géométrie non-commutative pour étudier ce groupe ?

merci

[pachacamac]

"Un moyen simple est de calculer explicitement A puissance m et B puissance n en fonction de m et n "

Plus facile à dire qu' à faire

[gg0]

Pachacamac,

on apprend en première année de licence scientifique ou de prépa que GLn(A) est l'ensemble des matrices inversibles à coefficients dans A. Muni de l'habituelle multiplication des matrices ça donne un groupe. D'où ici l'expression "groupe multiplicatif". On y apprend aussi que "abélien" veut dire "commutatif", ce qui n'a rien à voir avec la notation de la loi de groupe.
Et au niveau où est Werqulic, on fait de l'algèbre générale, donc beaucoup de structures sont "non commutatives". Donc inutile de faire étalage de notions vues sans avoir été étudiées, algèbre non commutative, un lieu commun, encore moins "géométrie non commutative", qui n'a rien à voir ici.

Toutes ces notions d'immédiat post-bac peuvent être étudiées seul (je l'ai fait à 17 ans), puis on peut s'entrainer à des exercices avec l'aide des forums (ce qui m'a manqué à l'époque, j'ai dû attendre d'être à la fac) pour les maîtriser. Après, on peut donner des conseils et des avis sérieux.

Cordialement.

[MissJenny]

En attendant pourrais tu me préciser ce que tu entend par : le groupe multiplicatif (Gl2)?

c'est le groupe des automorphismes d'un R-espace vectoriel de dimension 2. En principe on ne précise pas "multiplicatif", la loi étant toujours la composition. Ici il est vu comme le groupe des matrices 2x2 à coefficients réels, avec effectivement la multiplication des matrices comme loi.

[GBZM]

Il est très facile de calculer , pareil pour (essaie !) et normalement une fois que tu as ça tu dois savoir calculer .

[werqulic]

Bonjour,
J'ai calculer A^mB^n , mais je ne vois pas en quoi que si BA egal a aucun des A^mB^n prouve qu' on a pas l'egalite?

[pachacamac]

Bonjour,

Moi aussi j'ai exprimé A en fonction de m et B en fonction de n puis calculé AB et BA.
Ils sont différents donc ne commutent pas et donc d'après le "théorème de MissJenny", la réponse à la question est non.

Note je suis pas trop sur de mes calculs car cela fait plusieurs décennies que je n'ai pas multiplié deux matrices.

Je vous donne le résultat sans utiliser Latex

AxB = première ligne (1 - 6mn 2m )
deuxième ligne (-n -6mn+1 )

BXA = première ligne ( 1 1 )
deuxième ligne (-n -6mn+1)



Aussi quelqu'un pourrait me donner une ligne de code LaTex pour les matrices 2X2 ça faciliterait mes échanges (et votre lecture)

\Large A=\( \array{a_1&a_2&a_3\\a_4&a_5&a_ 6\\a_7&a_8&a_9}\)

Merci

[GBZM]

ne serait-il pas un élément du sous-groupe multiplicatif engendré par et ?

[gg0]

Werqulic,

BA est un élément de <A,B>, qui n'est pas un A^nB^m, donc il n'y a pas égalité des ensembles.

Cordialement.

[GBZM]

Je ne suis pas d'accord avec MissJenny. On peut très bien avoir dans deux matrices et qui ne commutent pas et telles que .

Pour écrire des matrices en LaTeX : \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}

[MissJenny]

c'est l'idée que je me faisais des choses (parce que pensais en termes de groupe défini par générateurs et relations), mais en y repensant, est-ce qu'on ne peut pas avoir BA différent de AB mais néanmoins BA=A^nB^m pour certains entiers n et m ?

edit : pris de court par GBZM

[GBZM]

C'est ce que je viens d'écrire : penser par exemple aux groupes diédraux !

[pachacamac]

Perso, j'ai même pas compris les propriétés que doivent avoir les éléments pour appartenir au groupe <A,B > pas grave j'ai fait une bonne révision ( encore incomplète) sur les matrices

Merci

[MissJenny]

Si A et B sont deux symboles quelconques (c'est-à-dire sans propriétés particulières comme ici où ce sont des matrices données), alors le groupe libre engendré par A et B est l'ensemble des suites finies de symboles A,B, A^-1 (qui joue le rôle de l'inverse de A) et B^-1. Si on ajoute la relation AB=BA alors on tombe sur l'ensemble des A^nB^m (n et m pouvant être négatifs) comme dans l'exercice.

[pachacamac]

Merci MissJenny.


Merci GBZM mais si j’écris : \begin{pmatrix} 1 & -3n \\ 0 & 1 \end{pmatrix} , cela va apparaitre en clair comme dans ton message ci-dessus, donc il faut surement faire quelque chose pour préciser que la suite va être écrite en LaTex...

[werqulic]

Merci beaucoup tout le monde, je comprends mieux maintenant.

[GBZM]

Bien sûr MissJenny, mais le problème est avec la réciproque qui est fausse, comme le prouve le contrexemple que j'ai indiqué dans le groupe orthogonal en dimension 2.
C'est pourquoi le moyen le plus simple de traiter la question me semble être de déterminer explicitement les pour voir qu'on ne peut pas obtenir .