Vecteurs liées avec formes linéaires alternées ?

[max155]

Bonjour à tous,

Je bloque depuis plusieurs jours sur un exercice et je ne trouve pas beaucoup de ressources concernant les formes linéaires alternées sur internet.

Voici l'énoncé :


J'ai réussi la question a), mais la question b) je n'y arrive pas.

Je sais qu'il doit avoir quelque chose en lien avec le déterminant, et si ce dernier est nul, alors la famille est liée. Je sais aussi que si deux vecteurs sont liés dans une application multilinéaire alors l'application vaut 0. Autrement dit f(v1,v2)=0 ssi v1 et v2 sont liés.

Or c'est là que j'ai un problème :
Ici je n'ai pas l'expression de Beta1 ni de Beta2, et en plus, je peux même pas évaluer Beta1(u,v,w) car Beta1 est une forme linéaire de degré 2, donc ne prend que 2 vecteurs en entrée, pas 3...

Je dois passer à côté de quelque chose.


Est-ce-que quelqu'un peut m'éclairer s'il vous plaît ?

Merci
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[MissJenny]

je pense qu'il faut partir du fait que si u,v,w sont liés alors l'un des 3 peut s'écrire comme combinaison linéaire des deux autres. Si on suppose que c'est u, il existe donc a et b tels que u=av+bw. Alors par exemple beta1(u,av+bw)=0 et donc a*beta1(u,v)+b*beta1(u,w)=0. Tu as la même relation pour beta2, ça te fait un système linéaire et il faut voir s'il a des solutions.

enfin je n'ai pas regardé si ça marchait, mais je pense que c'est le genre de raisonnement qu'il faut faire.

[GBZM]

Bonjour,

Supposons tous contenus dans un plan vectoriel . Considérons alors les restrictions . Que peut-on dire de ces formes bilinéaires alternées sur un espace vectoriel de dimension 2 ?