Bonjour,
Soit la suite (un) définie par :
- Si
- Si
La suite s'arrête et on a une suite comportant un nombre fini de termes.
En fonction des valeurs de, déterminez si la suite admet un nombre fini de termes ou pas, et sinon, déterminez la limite de la suite, en démontrant vos résultats.
Quelle est la manière la plus élégante de résoudre cet exercice ?
J'ai hésité à le poster dans la rubrique "Maths du Lycée", mais je crois que c'est un peu plus dur.
Bonjour.
Si
Si
Si
Et tu dois voir se dessiner une méthode ...
Cordialement.
NB : Je ne sais pas ce qu'est une "méthode élégante", ni ce que peut vouloir dire "plus élégante".
Dernière modification par gg0 ; 16/01/2023 à 21h27.
En posant :
et
et en définissant la suite (xn) par l'équation :
On obtient les valeurs de u0 pour lesquelles la suite n'a qu'un nombre fini de termes.
Le tout est d'obtenir une expression des xn.
Puis de montrer que pour
la suite converge, ou pas, à déterminer
Dernière modification par ulyss ; 16/01/2023 à 22h14.
Autrement dit :
1) tu as un e idée, tu n'en as rien fait.
2) Tu ne lis pas les réponses qu'on te fait, ou seulement avec une idée préconçue, sans essayer.
Comment dire, gg0,...
Non seulement je ne présente pas encore mon travail pour l'instant, mais en plus je rajoute une question supplémentaire à l'exercice :
Montrer que la suite des xn est la suite des approximations en fractions continues d'un nombre irrationnel à déterminer.
Autrement dit, lorsque la suite (un) n'a qu'un nombre fini de termes, elle parcourt les approximations successives en fractions continues d'un certain irrationnel, ou plutôt une partie de ces fractions.
Dernière modification par ulyss ; 17/01/2023 à 13h56.
Alors je ne peux que te renvoyer aux règles du forum : EXERCICES ET FORUM.
Et on attendra que tu t'y conformes.
Ou pour être clair les xn sont les réduites d'indice n d'un nombre irrationnel à déterminer.
gg0, je ne suis pas un élève qui cherche une solution à son devoir à la maison, je suis quelqu'un qui s'est lui-même poser une question en apparence simple, mais qui mène à des développements intéressants. J'ai prouvé que j'avais réfléchi là-dessus car j'ai découvert moi-même qu'on a ici une succession de réduites d'une fraction continue.
Bonjour,Envoyé par ulyss
On ne peut pas le vérifier. Donc on ne fait pas d'exception. Ce sont les règles du forum, c'est tout.
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
En pièce jointe une approche de la détermination des nombres u0 tels que la suite (un) n'admet qu'un nombre fini de termes.
Exo_suite_et_fraction_continue_a.pdf
Pour continuer l'exercice, il faut maintenant étudier la convergence ou non de la suite (Un) lorsque celle-ci admet un nombre infini de termes, c'est-à-dire lorsque, pour tout n, U0 est différent de xn (avec les notations précédentes).
Voici en pièce jointe mon travail.
En gros on détermine les limites L possibles par f(L) = L , puis on étudie la suite "compagnon" Vn = Un - L
On cherche des intervalles I tels que Vn est "stable" et répond à un critère "contractant", ce qui veut dire : si Vn est dans I, alors V(n+1) aussi et il existe Q tel que V(n+1)<Q.Vn avec 0<Q<1
Je détaille dans mon doc pdf ci-après.
Le truc qui me "chagrine", c'est que je trouve que mon raisonnement est long, car il faut étudier tous les cas qui se présentent.
D'où ma question de mon premier message : existe-t-il une méthode plus élégante, c'est-à-dire plus rapide, plus simple, et moins calculatoire que la mienne (cf.pdf) ?
Peut-être en choisissant mieux la suite "compagnon" (Vn) ? (J'ai quand même fait plusieurs essais de définition de (Vn) )
Merci d'avance pour vos réponses.
Retour_etude_suite.pdf
L'étude des suites homographiques est un classique de L1/L2 et prépas.
Merci gg0 pour l'info.
En poursuivant l'étude sur dans un cas général, je tombe à un moment sur un expression du type :
Comment démontre-t-on qu'une telle suite diverge ?
Si on pose :
Cela se réécrit :
qui tend vers
ou qui tend vers
Mais ici on a
Comment conclure ?
J'ai essayé de calculer
pour montrer que çà ne tend pas vers 0 et je trouve :
Ce qui s'écrit aussi :
Bref, comment conclure sur la divergence de f(n) ?
Enfin que f(n) ne tend vers aucune limite.
D'ailleurs je crois qu'on peut borner |f(n)|
Merci d'avance pour vos indications
Dernière modification par ulyss ; 20/01/2023 à 13h52.
J'ai consulté en ligne des cours / des présentations à propos des suites homographiques.
C'est bizarre, dans ce que j'ai lu il n'est jamais fait mention du problème d'existence de (Un) pour tout n.
C'est-à-dire le cas où (Un) n'a qu'un nombre fini de termes comme stipulé dans mon premier message.
Qu'en pensez-vous ?
Exemples de cours :
https://homeomath2.imingo.net/suitehg.htm
https://fr.wikiversity.org/wiki/Appr...homographiques
https://progresser-en-maths.com/les-...-et-exercices/
