Question sur les probabilités avec un nombre d'essai infini

[Zoron]

Bonjour,

Lors d'une discussion avec un ami Polytechnicien (donc qui est plus calé que moi en maths), il m'a affirmé la chose suivante :
"Si on tire une infinité de fois au pile ou face , la probabilité que pile tombe 1 milliard de fois d'affilées est de 1 (donc en gros ça va forcément arriver) [ou bien 2 milliard (et c'est vrai pour tout nombres)] "
Je lui ai répondu que ça me faisait penser à la bibliothèque de babel, et je pense que ça suit le même principe mais ça me tracasse tout de même.
Lui il prétend que c'est logique, mais honnêtement j'ai du mal à le concevoir car pour moi ça va à l'encontre de la loi des grands nombres.

Alors certes je sais qu'au final, si on regarde la proportion de piles, et la proportion de faces, on aura obtenu 50% de fois piles et 50% de fois faces.
Mais à l'échelle statistique, tomber 1 milliard de fois sur pile d'affilées ça me paraît impossible.

Mais bon après tout l'infini c'est un concept avec lequel j'ai des difficultés, j'ai l'impression que ça me dépasse.
Si quelqu'un à une piste pour prouver l'affirmation de mon ami ça m'intéresse beaucoup !
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[gg0]

Bonjour.

Il y a effectivement un lien avec la bibliothèque de Babel et si tu as compris le principe du conte de Borges, tu sais que le "livre" composé de un milliard de "oui" y est présent (*), tout comme le "livre" composé de un milliard de "non".
Le fait que tu trouves que ça contredit la loi des grands nombres vient sans doute d'une erreur (classique) d'interprétation de cette loi, qui ne dit pas qu'il y a égalisation des nombres de piles et de faces, mais que leurs proportions relatives tendent vers 1/2. Or n+1000000000 est bien différent de n, mais si on a 2n tirages, avec n+1000000000 piles et n-1000000000 faces, la proportion de pile (**)tend bien vers 1/2 quand n tend vers l'infini, alors même qu'il y a 2 milliards de pile de plus que de face.

Enfin, considérons un tirage infini de pile ou face, par tranche de 1000000000 de tirages. A chaque tranche, la probabilité qu'il y ait 1000000000 de piles est p=(1/2)^1000000000, ce qui est très faible mais veut dire que en moyenne ça arrivera un fois sur 2^1000000000 de tranches, donc très souvent, si on répète très souvent les tirages de 2^1000000000 de tranches, or on les répète une infinité de fois ...

Dernière chose : Dire ici que la probabilité est 1 ne dit pas que cela "doit" se produire, il pourrait mathématiquement (***) se faire que cela ne se produise pas, mais c'est un événement possible mais totalement improbable (proba = 0).

Cordialement.

(*) en fait, une infinité de fois.
(**) (n+1000000000)/(2n) = 1/2 + 500000000/n
(***) "mathématiquement", car c'est de la théorie, n'importe comment, on ne sait pas réaliser un tirage infini (L'infini, c'est long, surtout vers la fin).

[Liet Kynes]

(proba = 0).

Bonjour,

Proche de 0, non ?

[albanxiii]

Proche de 0, non ?

Sur un autre exemple : quel est la probabilité de tirer un nombre exact, par exemple 0.5 en tirant un nombre réel au hasard entre 0 et 1 ?
La probabilité est le rapport entre la mesure (de Lebesgue) de l'ensemble des choix possibles et l'ensemble des possibles, donc 0.
Et pourtant en tirant un nombre au hasard entre 0 et 1 on obtient bien quelque chose, mais de probabilité 0.

(si je fais une erreur, merci de me corriger)

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Albanxiii : C'est tout à fait ça.
Liet Kynes : Si ça avait été "proche de" je n'aurais pas écrit =. Encore un domaine mathématique où tu as des présupposés sans l'avoir étudié.

[Liet Kynes]

On ne parle pas en terme de limite ? cf https://forums.futura-sciences.com/m...on-infini.html

C'est assez contre intuitif pour moi cette idée que c'est possible mathématiquement et improbable au point de rendre nulle la probabilité de réalisation.

[gg0]

Ben non, on ne parle pas de limite, et n'importe comment, la limite est égale à 0 ou pas.
Effectivement, les probas sur des univers non finis sont contre intuitives, et donc on évite de parler de ce qu'on ne connaît pas.

[Liet Kynes]

Et pourtant en tirant un nombre au hasard entre 0 et 1 on obtient bien quelque chose, mais de probabilité 0.

Dans un univers infini de possibles pour lequel la réalisation de chacun d'entre eux est équiprobable la probabilité de réalisation est 0 sinon il n'y aurait plus d'équiprobabilité, c'est correct ?

[MissJenny]

non. Il faut distinguer infini dénombrable et infini non dénombrable.

[gg0]

Plus exactement, la probabilité p de chacun ne peut être non nulle, puisque la proba d'un ensemble de n points est np et ne peut dépasser 1. L'expression des probas doit donc passer par une autre méthode (voir un cours de base de probas).

[Liet Kynes]

Dans ce cas précis c'est donc indénombrable, pour le tirage d'un réel dans l'intervalle entre 0 et 1 ou la réalisation de 1 milliard de fois pile d'affilées si je comprends bien.

Si je veux comprendre il faut que je comprenne cette phrase extraite de wikipedia ?

"Mais il arrive plus fréquemment que l'on évalue la probabilité de chaque éventualité à zéro, et que la seule chose que l'on puisse définir soit la probabilité de certains événements. Ainsi, quand on choisit un nombre réel « au hasard » entre 0 et 10, la probabilité de tomber exactement sur 2 est égale à 0. La seule chose que l'on puisse définir est la probabilité d'obtenir un nombre compris entre 1,4 et 1,5. Cette probabilité est prise égale à 0,01 : on compare la taille de l'intervalle souhaité à la taille de l'intervalle des possibles, en supposant l'équiprobabilité, cette probabilité s'appelle la loi uniforme continue."

[gg0]

Heu ... c'est à peine des maths, donc il suffit de lire, et de se rendre compte que [0,10] est composé de 100 intervalles de longueur 0,1 (raisonnement de niveau école primaire) et comme on veut qu'ils aient la même probabilité, chacun a une proba de 1/100.
Mais ce n'est qu'une introduction, pas la théorie.

[Liet Kynes]

La théorie n'est pas triviale à mon avis ou alors je me complique trop l'esprit ?

[MissJenny]

non, ça n'est pas trivial. Je crois que cette question (pourquoi on peut faire des sommes dénombrables mais pas des sommes non dénombrables) n'a été comprise qu'au vingtième siècle.

[Archi3]

Sur un autre exemple : quel est la probabilité de tirer un nombre exact, par exemple 0.5 en tirant un nombre réel au hasard entre 0 et 1 ?

une question est de comment tu fais pour tirer au hasard un nombre réel ?

[gg0]

Bonsoir Archi3.

Pour un nombre réel entre 0 et 1, la théorie montre qu'on peut "tirer au hasard"; c'est à dire obtenir une réalisation d'une loi uniforme sur [0,1]. Bien évidemment, c'est un résultat de théorie, les probabilités étant une théorie mathématique.
Par contre, tirer un réel au hasard n'est pas possible, même en théorie.

Cordialement.

NB : Pour les applications, les réalisations pratiques sont toujours approximatives pour les lois continues. Seuls les modèles sont parfaitement précis.

[albanxiii]

une question est de comment tu fais pour tirer au hasard un nombre réel ?

Évidemment, on ne peut pas, physiquement, c'est une sorte d'expérience de pensée mathématique.

[Liet Kynes]

Évidemment, on ne peut pas, physiquement, c'est une sorte d'expérience de pensée mathématique.

Remarque HS: quand tu dis 0,5 tu considères un nombre en particulier et tu ne sais pas à l'avance que tu vas le considérer mais ce n'est pas une forme de hasard dans l'intervalle choisi dans R puisque tu ne peux pas considérer tout les nombres de cet intervalle.

[stefjm]

Évidemment, on ne peut pas, physiquement, c'est une sorte d'expérience de pensée mathématique.

Bizarre, ce "physiquement" en mathématique.
Je croyais que toutes les mathématiques sont "une sorte d'expérience de pensée".
Du coup, je ne comprend pas trop ce que tu veux dire.

Jamais rien n'est évident pour moi...

[Archi3]

un "tirage au sort", pour moi ce n'est pas vraiment défini mathématiquement en théorie des probabilités. C'est un peu comme la mesure en mécanique quantique, c'est nécessaire pour donner un corps à la théorie, mais ce n'est pas proprement défini dans la théorie.

[Deedee81]

Salut,

ou alors je me complique trop l'esprit ?

Non, justement, tu ne te compliques pas assez l'esprit Le sujet n'est pas du tout trivial (c'est pas pour rien qu'il ait fallu le 20e siècle, Kolmogorov, la théorie de la mesure, etc... pour vraiment en faire une théorie moderne)
EDIT a tiens je viens de voir que MissJenny le disait aussi, désolé

Le soucis est que tu essaies de trouver des raisonnements et des réponses sans avoir les connaissances qui le permettent, ce qui donne des affirmations (ou assimilées) fautives et irrite gg0 à juste titre.
Donc, vas-y, complique toi la vie et étudie les sujets qui te passionnent (dans de vrais cours)

Je croyais que toutes les mathématiques sont "une sorte d'expérience de pensée".

Ben oui, c'est bien ce qu'il sous-entend.

Jamais rien n'est évident pour moi...

Même les évidences, c'est gênant
(je ne crois pas qu'on puisse t'aider sur ce point)

un "tirage au sort", pour moi ce n'est pas vraiment défini mathématiquement en théorie des probabilités.

Ah bon ? Mais si on définit la mesure, la distribution et la variable aléatoire, c'est pas ça ? Ou alors c'est juste l'expression "tirage au sort" qui te gêne ? (pour moi c'est juste synonyme de distribution uniforme sur un espace probabilisé .... du moins quand c'est possible, "tirer au sort" un entier nécessite forcément quelques infos de plus par exemple, mais c'est peut-être ça qui t'ennuie, ce que je comprendrais, j'ai déjà vu de grosses sottises dans des forums à cause de ça).

[albanxiii]

Du coup, je ne comprend pas trop ce que tu veux dire.

J'essayais juste de répondre à Archi3 qui posait une question piège, mais je suis d'accord avec l'ensemble de votre message.

[albanxiii]

Remarque HS: quand tu dis 0,5 tu considères un nombre en particulier et tu ne sais pas à l'avance que tu vas le considérer mais ce n'est pas une forme de hasard dans l'intervalle choisi dans R puisque tu ne peux pas considérer tout les nombres de cet intervalle.

Je crois comprendre, mais je ne suis pas sur, alors je ne vais pas tenter d'expliquer des choses que je ne maîtrise pas
Je crois qu'on sera d'accord pour dire que les questions abordées dans ce fil ne sont pas du tout triviales ni évidentes et qu'en tant que non mathématicien il faudrait prendre le temps de tout étudier sérieusement, ce que l'on ne fera vraisemblablement pas.

[Deedee81]

Je trouve que rien que la page wikipedia (sur la théorie des probabilités) est super bien faite, même si ça vaut la peine de consulter les références (mais c'est déjà une bonne base).

[MissJenny]

Bizarre, ce "physiquement" en mathématique.
Je croyais que toutes les mathématiques sont "une sorte d'expérience de pensée".
Du coup, je ne comprend pas trop ce que tu veux dire.

disons que dans les questions de probabilités élémentaires on peut imaginer une "expérience aléatoire" comme lancer un dé ou tirer une boule d'une urne, etc. Bien sûr les mathématiques n'en ont pas besoin mais ça aide les étudiants. Dans le cas d'une loi sur les réels on ne peut plus imaginer une telle expérience, je suppose que c'est ce que voulait dire Archi3.

[Deedee81]

Salut,

Dans le cas d'une loi sur les réels on ne peut plus imaginer une telle expérience

Même sur tout l'ensemble des nombres naturels ça pose des difficultés ! (à moins de préciser une manière de faire avec une distribution non uniforme et encore, si c'est bien tous les naturels il y a forcément une difficulté "physique")

[pm42]

Si c'est pour dire que des infinis en général et des réels en particulier on a des choses non intuitives c'est une banalité.
Il existe des réels qu'on sait définir mais dont on ne peut pas connaître les chiffres alors effectivement l'intuition des étudiants va être prise en défaut.

[Deedee81]

Si c'est pour dire que des infinis en général et des réels en particulier on a des choses non intuitives c'est une banalité.

Ca a même été dit plus haut

Il existe des réels qu'on sait définir mais dont on ne peut pas connaître les chiffres alors effectivement l'intuition des étudiants va être prise en défaut.

C'est un bel exemple. Et d'ailleurs cette difficulté n'est pas indépendante de l'indécidabilité de l'hypothèse du continu dans ZF

[Deedee81]

Et d'ailleurs cette difficulté n'est pas indépendante de l'indécidabilité de l'hypothèse du continu dans ZF

Non, grosse bêtise, faut aller plus loin que le "simple" problème de nombre définis mais non calculables.

[pm42]

Oui. Un de mes profs nous avait dit ça "donnez moi une méthode pour prendre un nombre une partie de N". Facile : le plus petit. Et on extrapole à S, Q, etc.

Maintenant faites la même chose avec une partie de R.
Oups.