Application linéaire noyau et espace image

[Telog]

Bonsoir,
J'ai du mal à comprendre un théorème qui figure dans mon cours: supposons f une application de E dans F.

Alors il existe un supplémentaire du noyau qui est isomorphe a l'espace image.

La manière dont je le comprend:
On prend une parti de E qui est en somme direct avec le noyau et dont cette somme direct défini E tout entier.(espace supplémentaire). On peut alors établir un relation de bijection entre tout les éléments de cette ensemble et l'espace image.

Mais du coup ce qui me dérange c'est que je ne vois pas bien a a quelle application correspond cette bijection.
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[GBZM]

Bonjour,

Essayons de décrire précisément ce qui se passe : soit une application linéaire. Notons , et soit un supplémentaire de dans : . On restreint alors en une application linéaire , définie simplement par pour tout . Alors est un isomorphisme linéaire.
Tu peux refaire la démonstration toi-même :
1) montrer que est injective : son noyau est réduit à ;
2) montrer que est surjective : tout élément de est l'image par d'un élément .

[Telog]

Bonsoir, merci de la réponse, on avait déjà fait la démonstration en cours mais je n'avais pas compris sur le coup.
Je crois maintenant avoir compris ce que ça signifie concrètement : déjà pour la bijection que je n'arrivais pas à identifié, il s'agissait de la fonction f elle même de S(supplémentaire de ker(f)) dans Im(f).
Je le comprend donc de la manière suivante: on prend l'ensemble de départ E et on retire ker(f) mais en gardant 0. Cette ensemble est S. La fonction f:S->Im(f) est bijective.

Cette bijection garantit que dim(im(f))=dim(s) (matrice de f de S dans Im(f) carré.

Or dim(E)=dim(s)+dim(ker(f)) d'où dim(E)=dim(im(f))+dim(ker(f))

Voilà j'espère avoir compris

[gg0]

Bonsoir.

"et on retire ker(f)". Oh non, ce n'est pas ça. On ne se contente pas de retirer le noyau. Il resterait de nombreux éléments de E qui ont la même image.

Mais as-tu étudié la notion de somme de sous-espaces vectoriels, de somme directe, de supplémentaires ? Car sans ça, on comprends que tu racontes ce genre d'énormité. Or tu as eu un cours, mais tu n'avais pas vraiment appris les cours précédents, ce qui fait que tu "n'avais pas compris sur le coup". Normal, le prof part du principe que tu as appris ce qui précède.

Bon travail pour reprendre les cours dès le début et les apprendre. !

[A voir en vidéo sur Futura]

[MissJenny]

Je le comprend donc de la manière suivante: on prend l'ensemble de départ E et on retire ker(f) mais en gardant 0.

il faut en enlever un peu plus tout de même... sauf si Ker f = {0} ou E

[Telog]

Merci, ne pas comprendre ne signifie pas ne pas connaître son cours, sinon la prépa serai facile.
Donc ce qui m'a fait dire ça c'est que ker(f) et s sont en somme direct (définition de sous espace vectoriels supplémentaire) donc leur intersection est {0}. Je ne vois donc pas comment s pourrait être autre chose que (E \ ker(f))U{0}.
Si vous voulez bien m'expliquer

[gg0]

On ne connaît pas son cours quand on confond somme de sev avec réunion ensembliste de sev.
Si A et B sont deux sev de E, A+B est l'ensemble des a+b avec a dans A et b dans B; rien à voir avec la réunion de A et B, qui ne contient que les a et les b.

Mais tout ça est du cours de base.

[GBZM]

Bonsoir,

Tu te fzis une idée complètement fausse de la somme directe.
Prenons comme exemple le plan vectoriel , et deux droites vectorielles distinctes, par exemple l'axe des abscisses (formé des vecteurs ) et l'axe des ordonnées (formé des vecteurs ).
On a bien , puisque tout vecteur du plan s'écrit de manière unique sous la forme .
Donc et sont bien supplémentaires dans le plan. Penses-tu vraiment que , c'est le plan privé de auquel on ajoute ?

[Telog]

Il y a une différence entre connaître son cours et maîtriser son cours...
Je connais la définition de somme d'espace vectoriel( pas la peine de la rappeler). Pour le maîtriser il faut passer par des applications, et je pense que cette démonstration en fait partie.



Pour en revenir au théorème je crois avoir compris mon erreur grâce à votre illustration. En effet j'ai considéré une réunion d'ensemble au lieux d'une somme direct:
Dans R2 par exemple, la somme de deux droites non parallèle définit tout le plan. Cependant la réunion ne correspond qu'au point appartenant à l'une où l'autre des droites.

Je retient donc que l'application bijective entre le supplémentaire du noyau et l'espace image est f. Difficile de se représenter s sauf dans des cas simple ou le noyau est {0}.

[albanxiii]

Pour l'algèbre linéaire en prépa, quand on a besoin de visualiser on peut souvent s'aider avec des petits dessins en dimension 2 ou 3 du style de celui décrit par GBZM

[gg0]

A priori, le théorème dont il est question n'est pas un exercice simple d'application du cours, mais un théorème compliqué du cours. On peut espérer qu'il a été fortement expliqué pendant le cours. La notion de somme de sous-espace se rencontre dans des exercices sur les sev d'espaces particuliers (les R^n, les espaces de polynômes ou de fonctions, ...). Elle prélude aussi souvent aux notions de base et de dimension.
Cependant, quand on fait cet apprentissage, il est fondamental de revenir sans arrêt sur les touts premiers chapitres, sur les bases de l'algèbre linéaire, dont la connaissance parfaite conditionne la compréhension des chapitres suivants. Par exemple ici, revoir la définition de la somme de deux sev (après avoir bien revu des exemples de sev) qui utilise l'addition (pas l'accumulation comme la notion de réunion) et se poser la question de "qu'est-ce que ça donne dans les exemples que je connais ?".

"Il y a une différence entre connaître son cours et maîtriser son cours..." Tout à fait d'accord; mais chaque fois qu'on passe à une nouvelle partie du cours, le début, les bases de cette partie , doivent être fortement étudiées pour être maîtrisées. Sinon, la différence entre connaissance et maîtrise devient tellement grande qu'on se met à raconter n'importe quoi. On le voit très fréquemment sur les forums. Et je l'ai vécu moi-même à une époque (un cours où le prof ne reprenait pas les bases, pensant qu'on les avait tous vues). Heureusement il y avait les bouquins de la BU (et maintenant la richesse d'Internet).

Cordialement.