dimension d'un sous ensemble

[Lilg]

Bonjour,
"Un sous ensemble d'un ensemble possède la meme dimension que l'ensemble dans lequel il est inclue, seulement s'il est l'ensemble lui-meme" Je ne suis pas d'accord avec cela, je peux très bien restreindre un ensemble et faire en sorte qu'il garde la meme dimension que l'ensemble de base non? Exemple, si je suis dans R⁴, je peux prendre un sous ensemble tel que tout element est sous la forme (x,y,z,2), dans ce cas, si je ne dis pas de betises, c'est un sous ensemble vect (x(1,0,0,0),y(0,1,0,0),z(0,0,1 ,0),(0,0,0,2)) , il a bien 4 dimensions non? Et de ce que j'ai compris, de manière générale, je peux très bien restreindre un ensemble en imposant une certaine forme à la base, tout en gardant la meme dimension de l'ensemble, comme dans mon exemple. Merci d'avance.
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[Deedee81]

Salut,

Ca vient d'où ? Il ne manque pas un contexte ?

Sinon pour un espace vectoriel (il faut forcément une définition de "dimension", tu sembles supposer la dimension d'un espace vectoriel. Et par sous-ensemble on suppose qu'il s'agit d'un sous-espace vectoriel. Et on va également supposer que la dimension est finie (pour des espaces de dimension infinie ce serait faux).

Alors un sous-espace vectoriel est de dimension inférieur ou égale à l'espace de base. Et il est de même dimension s'il est identique à l'espace initial.
Si tout élément est de la forme (x,y,z,2) alors il est de dimension 3. Une base étant par exemple (1,0,0,2), (0,1,0,2) et (0,0,1,2).
Dans ton exemple du donnes (1,0,0,0) mais c'est faux puisque tu viens de dire que tout élément est de la forme (x,y,z,2). On dirait que tu confonds x qui est ici un scalaire (une composante du vecteur) et un vecteur lui-même qui s'appellerait x.
Tu sembles aussi confondre le sous-ensemble et un ensemble de vecteurs de base.

Il faut être rigoureux (et dans les espaces vectoriels ce n'est pas trop difficile).

[Lilg]

Merci beaucoup pour votre réponse. Et effectivement je manque de rigueur mais ca s'apprend, puisque je ne suis qu'en première année, alors pour moi les espaces vectoriels C'EST difficile, ce n'est pas votre cas maintenant mais je suppose que vous n'etes pas nés avec votre connaissance.

[Deedee81]

Merci beaucoup pour votre réponse. Et effectivement je manque de rigueur mais ca s'apprend, puisque je ne suis qu'en première année, alors pour moi les espaces vectoriels C'EST difficile, ce n'est pas votre cas maintenant mais je suppose que vous n'etes pas nés avec votre connaissance.

Non, c'était juste à titre indicatif/conseil, ce n'était pas un reproche Désolé si tu l'as vu comme ça.
Oui la rigueur s'apprend autant que les espaces vectoriels

Et vu que tu es dedans au niveau scolaire, il n'est sans doute pas souhaitable de te surcharger encore plus, sinon il y a de très bons bouquins sur les EV. Et je peux en conseiller

[A voir en vidéo sur Futura]

[MissJenny]

Bonjour,
"Un sous ensemble d'un ensemble possède la meme dimension que l'ensemble dans lequel il est inclue, seulement s'il est l'ensemble lui-meme" Je ne suis pas d'accord avec cela, je peux très bien restreindre un ensemble et faire en sorte qu'il garde la meme dimension que l'ensemble de base non?

Ton point de vue est correct pour les variétés différentielles. Il l'est aussi pour les espaces vectoriels de dimension infinie.

[gg0]

Heu ... Deedee81, le sous-ensemble proposé par Lilg n'est pas un sous-espace vectoriel (il ne contient même pas (0,0,0,0) !) mais un sous-espace affine, de dimension 3 effectivement.

Lilg, tu vas trop vite ! Manifestement, tu es en train d'apprendre les bases de l'algèbre linéaire, mais tu n'as pas fini d'apprendre le vocabulaire.
Dans un espace vectoriel, par exemple (R^4,+,.), il y a un ensemble (R^4) et deux opérations. Certains sous-ensembles de l'ensemble, munis des même opérations, sont aussi des espaces vectoriels, les "sous-espaces vectoriels" (*) de l'espace vectoriel de départ. C'est du vocabulaire.
La phrase "Un sous ensemble d'un ensemble possède la même dimension que l'ensemble dans lequel il est inclus (pas de e), seulement s'il est l'ensemble lui-même"aurait dû te choquer, puisque un ensemble n'a pas de dimension. Ce sont les espaces vectoriel qui en ont. Donc déjà c'est mort.

Ensuite, tu parles de "un sous ensemble tel que tout élément est sous la forme (x,y,z,2)". Puis de "vect (x(1,0,0,0),y(0,1,0,0),z(0,0,1 ,0),(0,0,0,2))", qui n'est pas la même chose (oui, tu dis une bêtise !) puisqu'il contient 2.(0,0,0,2)=(0,0,0,4) qui n'est pas de la forme (0,0,0,2). Et effectivement, ce sous-espace vectoriel est de dimension 4, et est exactement R^4.

La bonne phrase, celle qui est dans ton cours sur les espaces vectoriels de dimension finie est "Un sous espace possède la même dimension que l'espace vectoriel dans lequel il est inclus, seulement s'il est l'espace lui-même". Comme elle mélange un peu l'espace vectoriel avec l'ensemble concerné (**), une notation est plus claire :
Soit (E,+,.) un espace vectoriel de dimension finie et F un sev. Dim(F)=Dim(E) si et seulement si F=E.

Cordialement.

(*) souvent abrégé en "sous-espace"
(**) Il faut vite s'y habituer, le sev est F, qui est seulement un ensemble, et, si les opérations sont bien connues, on appelle espace vectoriel aussi bien l'ensemble E que (E,+,.).

[Deedee81]

Heu ... Deedee81, le sous-ensemble proposé par Lilg n'est pas un sous-espace vectoriel (il ne contient même pas (0,0,0,0) !) mais un sous-espace affine, de dimension 3 effectivement.

Ah oui, zut, merci. Et dire que c'est moi qui parlait de rigueur

[Archi3]

Ah oui, zut, merci. Et dire que c'est moi qui parlait de rigueur

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qui parlaiS de rigueur

[Deedee81]

qui parlaiS de rigueur

Je parle de moi à la troisième personne du singulier

[Archi3]

alors il faut écrire "et dire que c'est Deedee qui parlait de rigueur"