les restes de la division par p étant 0,1,2.... p-1 , il n'y a que p entiers "modulo p" (c'est le cardinal de Z/pZ )Envoyé par pachacamac
@gg0 : la remarque que je t'ai adressée était probablement quelque peu incongrue
Néanmoins je persiste et signe pour dire que le mot"strictement" n'apporte strictement rien dans la phrase citée par wikipedia car le "plus d'une" équivalent à au moins deux ne peut être confondue avec "au moins une"
Merci Archi3 pour ton développement détaillé. Il va me falloir le relire encore et du temps pour y réfléchir et l'assimiler. Parce que pour l'instant je vois pas trop pourquoi dans la démonstration de wikipédia
Pour a et b parcourant les nombres entiers de 0 à (p – 1)/2 (inclus), les a2 sont incongrus deux à deux modulo p, et de même les –b2 – 1. Par le principe des tiroirs, il existe donc a et b dans ce domaine pour lesquels a2 et –b2 – 1 sont congrus modulo p, c'est-à-dire pour lesquels
a2 + b2 + 12 + 02 = np, avec 0 < n < p.
les a2 pour 0≤ a ≤ (p-1)/2 sont tous différents entre eux , ça fait donc (p-1)/2 +1 = (p+1)/2 valeurs différentes (dans mon exemple avec 11, on a trouvé 6 valeurs différentes 0, 1 , 4, 9, 5, et 3 ).
Les "-1-b2" sont aussi tous différents entre eux modulo p (parce que si 2 étaient congrus l'un à l'autre, on aurait aussi
Vérifions sur 11 , avec b=0, on obtient -1 , qui est congru à 10 modulo 11, qui est différent de toutes les valeurs précédentes. Mais avec b= 1 on obtient -1-1=-2 congru à 9 [11], qui est dans la liste précédente (c'est aussi 32 ) et donc effectivement 1+12+32 = 11 divise bien 11.
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. L'ensemble des multiples de p peut etre noté "pZ", c'est l'ensemble des nombres p.z où z est un entier relatif quelconque. La relation a-b appartient à pZ est une relation d'équivalence (réflexive, symétrique et transitive) et donc définit des "classes d'équivalence", une classe d'équivalence étant constitués de tous les entiers congrus entre eux modulo p . Par exemple modulo 5, l'ensemble {...-4, 1, 6, 11 etc ...}*est la classe d'équivalence de 1. L'ensemble de ces classes d'équivalence est appelé ensemble "quotient" Z/pZ : il y a p classes d'équivalences puisque le reste de la division par p ne peut être qu'un entier entre 0 et (p-1) donc card[Z/pZ] = p . Jusqu'ici, c'est vrai pour tout entier p pas forcément premier, mais quand p est premier, il y a des propriétés supplémentaires importantes (par exemple c'est un corps, tout élément non nul à un inverse, ce qui n'est pas vrai si p n'est pas premier).