Bonjour,
En suivant des liens à partir des grands mathématiciens du 18 et 19 siècle je suis arrivé sur le Théorème des quatre carrés de Lagrange
theo.jpg
Je trouve ce résultat bizarre car comment décompose t' on par exemple 3, 7, 11 ou 13 en somme de quatre carré de nombre entier...??
Merci pour tout éclairage
0 admet aussi un carré
Sans questions il n'y a que des problèmes sans réponses.
et 1 aussi
3 = 02 + 12 + 12 + 12
7 = 22 + 12 + 12 + 12
11 = 32+12+12+02
13 = 32+22+02+02
Le théorème s’énonce ainsi:
Tout entier positif peut s'exprimer comme la somme de quatre carrés
Des écritures comme celle ci le rendrait faux:
Tout entier positif peut s'exprimer comme la somme de quatre carrés d'entiers strictement positifs.
0 serait exclu mais pas 1
Tout entier positif peut s'exprimer comme la somme de quatre carrés d'entiers différents entre eux.
Dans ce cas 3,7,11 et 13 n'ont pas de solutions et cela pourrait être la lecture faite par pachacamac.
Sans questions il n'y a que des problèmes sans réponses.
ben pas que ces nombres alors , si tu ne veux que des entiers strictement positifs tous différents, le plus petit est 12+22+32+42 =30, tous ceux inférieurs à 30 ne peuvent pas être écrits comme ça ...si tu inclus 0 le plus petit est 14.
Je ne sais pas d’où tu sors cela mais certainement pas de mes propos.Envoyé par Archi3
Sans questions il n'y a que des problèmes sans réponses.
si tu interprètes la remarque de Pachacamac par le fait que "entier" signifie "entier différent de zéro", c'est comme ça qu'on peut comprendre ta phrase
sinon si tu inclus zéro comme j'ai dit alors qu'aucun entier strictement inférieur à 14 ne marche, pas seulement 3, 7 , 11 et 13.Tout entier positif peut s'exprimer comme la somme de quatre carrés d'entiers différents entre eux.
C'est très fatiguant et pénible à lire toutes ces prises de tête sur "ce que machin a bien pu vouloir dire". Merci de vous en tenir au sujet, et posez la question directement à Pachacamac au lieu d'interpréter ses propos en son absence. Et surtout, ATTENDEZ sa réponse. Merci.
Dernière modification par albanxiii ; 24/05/2023 à 13h24.
Not only is it not right, it's not even wrong!
oui on va attendre que Pachacamac explique mieux la nature de son incompréhension, xxxx les discussions sur la modération doivent se faire en privé xxxx, il n'a peut être simplement pas encore eu l'occasion de se reconnecter.
Dernière modification par albanxiii ; 24/05/2023 à 11h08.
une représentation des nombres entre 0 et 1000 qui sont des carrés, ou la somme de deux, puis trois puis quatre, carrés. On voit qu'avec 3 carrés il reste encore pas mal de "trous".
Merci.
Si effectivement on peut mettre pour a b c d , les valeurs 0 et 1 et si plusieurs de ses lettres peuvent représenter le même chiffre alors j'ai vérifié sur un certain nombre de nombres que ça fonctionne et donc je ne suis plus étonné que ce théorème soit vrai.
A retenir : Les théorèmes mathématiques s'expriment de façon très simple, sans rien sous-entendre. 4 carrés d'entiers ça veut bien dire 4 carrés d'entiers, donc 0 et 1 étant des entiers, 0² et 1² sont des carrés d'entiers. (-1)² aussi d'ailleurs (le théorème ne dit pas "entiers positifs" ou "entiers naturels", ce n'est pas nécessaire). Et le théorème ne parle pas d'entiers différents, donc chacun des nombres a, b, c et d peut être n'importe quel entier.
Cordialement.
Salut,
Notons que dans le lien wikipedia, dans la démonstration classique (fort simple) on voit bien qu'on peut utiliser 0 et 1
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
merci gg0 pour ton conseil pertinent.
@Deedee : quand j'ai vu le lemme préliminaire pour la démonstration qui pour moi n'est pas intuitif j'ai pas lu la suite:
Lemme préliminaire — Pour tout nombre premier impair p, il existe des entiers naturels a et b tels que p divise 1 + a2 + b2.
non c'est pas aussi simple que Pythagore, d'ailleurs ça n'était pas connu des Grecs
Il y a une démonstration très rapide qui fait usage de la densité de Schnirelmann.
A tes souhaits. Non je rigole, il y a une présentation de ça quelque part ?
En tout cas comprendre la densité de Schirelmann est beaucoup moins simple et intuitif que comprendre le principe des tiroirs de Dirichlet
En mathématiques, le principe des tiroirs de Dirichlet, affirme que si n chaussettes occupent m tiroirs, et si n > m, alors au moins un tiroir doit contenir strictement plus d'une chaussette.
@gg0 : ici je vois pas ce qu'apporte le mot strictement
Dernière modification par pachacamac ; 24/05/2023 à 16h39.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Densit...e_SchnirelmannA tes souhaits
https://fr.wikipedia.org/wiki/Densit%C3%A9_asymptotique
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Bonjour Pachacamac.
"@gg0 : ici je vois pas ce qu'apporte le mot strictement" ??? Je n'ai pas utilisé ce mot dans ce fil de conversations. Peux-tu expliquer pourquoi tu dis ça ?
Cordialement.
Aurais-tu mélangé avec cet autre fil ? J'y ai bien utilisé le mot "strictement", et en gras. Mais rien à voir avec le sujet de celui-ci.
Tu as dis un peu plus haut que les théorèmes mathématiques s'expriment de façon simple sans rien sous entendre (et sans rien de trop )
Dans le principe des tiroirs (attribué a Dirichlet ) mais qu'à mon avis tous les gens qui ont utilisés des tiroirs connaissent, wikipedia dit :
"au moins un tiroir doit contenir strictement plus d'une chaussette."
Je ne vois pas ce qu'apporte le "strictement"
Dans la démonstration du théorème des quatre carrés, il est dit :
Pour a et b parcourant les nombres entiers de 0 à (p – 1)/2 (inclus), les a2 sont incongrus deux à deux modulo p
...
a2 et –b2 – 1 sont congrus modulo p
Pourriez vous me préciser ce que signifie être congru ou incongru modulo p
Merci
Pour le sujet de ce fil wikipedia dit "Tout entier positif peut s'exprimer comme la somme de quatre carrés"
Et gg0 dit avec force de raison "le théorème ne dit pas "entiers positifs" ou "entiers naturels", ce n'est pas nécessaire", énoncer ce qui n'est pas nécessaire est inutile et possiblement source de confusion.
Sans questions il n'y a que des problèmes sans réponses.
a et b congrus modulo p signifie que p divise a-b
Tu es un peu spécial, Pachacamac ! Finalement, tu me demandais des précisions à propos d'un mot (" ici je vois pas...") qui n'est pas ici, ni de moi !!
Mais je suis gentil : Dans le texte de Wikipédia, le "strictement" est mis pour éviter un risque d'erreur d'interprétation, le "plus d'une" pouvant être compris comme "au moins une". C'est un des cas où on utilise une formulation en partie redondante, car le français est parfois imprécis.
Autre chose : "congru" est un mot du vocabulaire mathématique, incongru non. On utilise "non congru" si on a vraiment besoin de nier une congruence.
Salut,
Pour Schirelmann j'avais vu aussi la page wikipedia mais même si on voit bien que ça peut être lié à des trucs comme le théorème de Lagrange, le lien exact n'est pas donné.
Bon, ce n'est probablement pas le plus important. Ici la démonstration de base est simple et comme pachacamac galère un tantinet avec la terminologies déjà à ce niveau, mieux vaux d'abord préciser tout ça.
Ah oui, cette utilisation était strictement incongrue
Dernière modification par Deedee81 ; 25/05/2023 à 08h23.
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
C'est presque mignon et compréhensible.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
donc que a et b ont le même reste quand on les divise par p , par exemple 7 est congru à 2 modulo 5 (il est "égal à 2 à un multiple de 5 près" en quelque sorte), noté. Par exemple concrètement deux temps qui arrivent à la même heure mais à deux jours différents sont congrus modulo 24 h.
Les congruences ont des propriétés analogues à l'arithmétique ordinaire (stables par addition et multiplication par exemple) mais pas identiques. Par exemple un produit peut etre congru à zéro sans qu'un des facteurs le soit
Par exemple pour prouver "Pour a et b parcourant les nombres entiers de 0 à (p – 1)/2 (inclus), les a2 sont incongrus deux à deux modulo p" , prenons a et b compris entre 0 et p-1/2, p premier.
donc il faut que a=b ou que a+b soit multiple de p, mais comme a et b sont inférieurs à (p-1)/2 leur somme est forcément inférieure à p-1 donc elle ne peut pas être égale à p.
Vérification sur un exemple (mais ça marche forcément), pour p= 11 par exemple, les carrés jusqu'à 5 sont 0, 1, 4, 9, 16, 25 , qui sont respectivement congrus à 0, 1 , 4, 9, 5, et 3 modulo 11, donc bien tous différents.
@gg0 : la remarque que je t'ai adressée était probablement quelque peu incongrue
Néanmoins je persiste et signe pour dire que le mot"strictement" n'apporte strictement rien dans la phrase citée par wikipedia car le "plus d'une" équivalent à au moins deux ne peut être confondue avec "au moins une"
Merci Archi3 pour ton développement détaillé. Il va me falloir le relire encore et du temps pour y réfléchir et l'assimiler. Parce que pour l'instant je vois pas trop pourquoi dans la démonstration de wikipédia
[QUOTE]Pour a et b parcourant les nombres entiers de 0 à (p – 1)/2 (inclus), les a2 sont incongrus deux à deux modulo p, et de même les –b2 – 1. Par le principe des tiroirs, il existe donc a et b dans ce domaine pour lesquels a2 et –b2 – 1 sont congrus modulo p, c'est-à-dire pour lesquels
a2 + b2 + 12 + 02 = np, avec 0 < n < p.[/QUOTE
a2 et –b2 – 1 sont congrus modulo p,
Pas grave, j'ai vu aussi qu'il existe un [URL="http://villemin.gerard.free.fr/Referenc/Prof/APROF/SomCa3ca.htm"]théorème des trois carrés/URL] auquel ont participé Diophante, Fermat Descartes , Legendre , Dirichlet et Gauss
Note : Pour la somme des quatre carrés Jacobi a été plus loin son théorème montre le nombre de façons de décomposer les entiers en somme de quatre carré et le théorème de Lagrange peut s'en déduire.
En fait il me semble que c'est la première fois que j'aborde consciemment et concrètement la théorie des nombres
"La mathématique est la reine des sciences et la théorie des nombres est la reine des mathématiques. " Gauss
Dernière modification par pachacamac ; 25/05/2023 à 14h19.
