Equation différentielle et physique

[julian13]

Bonjour, pouvez-vous m'aider s'il vous plaît ?

Enoncé :

Un cube de masse m (1kg) est suspendu à l'extrémité d'un ressort de constante de raideur k (104 N/m) et de constante d'amortissement c (4kg/s). On note y(t) l'écart en mètre entre le centre de gravité de la masse m et la position d'équilibre.

D'après le PFD, la fonction y vérifie l'équation différentielle suivante :

y"(t)+4y'(t)+104y(t) = 0 (équation E)

A)Résoudre l'équation différentielle (E) avec les conditions initiales y(0) = 0,25 et y'(0) = 0

- J'ai trouvé l'équation caractéristique en déterminant le delta : delta = 4^2-4*1*104 = 16-416 = (20i)^2
Il y a donc deux racines x1 = -2-10i et x2 = -2+10i
La solution de (E) est yh(t)= e^(-2t)(Acos(10t)+Bsin(10t))
Je bloque pour trouver la solution particulière de E car nous n'avons pas de second membre ..

B)Ecrire la fonction y quoi la forme suivante : y(t) = acos(10t-lambda)e^(-2t). Préciser les valeurs de lambda et a.$
C) Vérifier que la dérivée s'écrit bien de la forme suivante : y'(t) = basin(10t-lambda+gamma)e^(-2t). Préciser les valeurs de b et gamma. Tracer l'allure de la fonction y
D) L'énergie cinétique et potentielle du système à l'instant t sont défini par : Ec(t) = 1/2my'(t)^2 et Ep(t) = 1/2ky(t)^2. L'énergie mécanique du système est la somme des énergies récemment citées, montrer que E'm(t) = -cy'(t)^2
Déduire que Em décroit au cours du temps et déterminer et justifier la limite de Em(t) lorsque t->+infini.

Merci d'avance
-----

[gg0]

Bonsoir.

"Je bloque pour trouver la solution particulière de E car nous n'avons pas de second membre .." Ben si ! Tu as bien le second membre, c'est 0. Et tu n'as pas besoin de solution particulière puisque tu viens de résoudre cette équation particulière ("équation homogène" ou "équation sans second membre"). Relis ton cours !

Bon travail pour la suite ...

[Biname]

Salut,
J'ai demandé à chatGPT, je n'ai pas vérifié
Il trouve : y(t) = 0.25 * e^(-2t) * cos(5t) + 0.1 * e^(-2t) * sin(5t)

 Cliquez pour afficher

Salut, un test :
y"(t)+4y'(t)+104y(t) = 0 (équation E)

A)Résoudre l'équation différentielle (E) avec les conditions initiales y(0) = 0,25 et y'(0) = 0


ChatGPT
Pour résoudre l'équation différentielle linéaire d'ordre deux donnée, y''(t) + 4y'(t) + 104y(t) = 0, avec les conditions initiales y(0) = 0.25 et y'(0) = 0, nous allons utiliser la méthode des solutions caractéristiques.

L'équation caractéristique associée est obtenue en remplaçant y''(t), y'(t), et y(t) par leurs dérivées respectives :

r^2 + 4r + 104 = 0,

où r est la variable.

Pour résoudre cette équation quadratique, nous pouvons utiliser la formule générale pour les racines :

r = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a),

où a = 1, b = 4 et c = 104.

Calculons les racines :

r = (-4 ± √(4^2 - 4 * 1 * 104)) / (2 * 1)
= (-4 ± √(16 - 416)) / 2
= (-4 ± √(-400)) / 2
= (-4 ± 20i) / 2,

où i est l'unité imaginaire (√(-1)).

Les racines sont complexes, ce qui signifie que la solution générale de l'équation différentielle sera une combinaison de fonctions trigonométriques.

La solution générale est de la forme :

y(t) = c1 * e^(αt) * cos(βt) + c2 * e^(αt) * sin(βt),

où c1 et c2 sont des constantes à déterminer, α est la partie réelle des racines complexes et β est la partie imaginaire.

Dans ce cas, les racines sont r1 = -2 + 5i et r2 = -2 - 5i. Par conséquent, α = -2 et β = 5.

Maintenant, utilisons les conditions initiales pour déterminer les valeurs des constantes c1 et c2.

Lorsque t = 0, nous avons y(0) = 0.25. Substituons ces valeurs dans l'équation générale :

0.25 = c1 * e^(α * 0) * cos(β * 0) + c2 * e^(α * 0) * sin(β * 0)
= c1 * cos(0) + c2 * sin(0)
= c1.

Donc, c1 = 0.25.

Maintenant, dérivons y(t) par rapport à t :

y'(t) = c1 * α * e^(αt) * cos(βt) - c1 * β * e^(αt) * sin(βt) + c2 * α * e^(αt) * sin(βt) + c2 * β * e^(αt) * cos(βt).

Lorsque t = 0, nous avons y'(0) = 0. Substituons ces valeurs dans l'équation dérivée :

0 = c1 * α * e^(α * 0) * cos(β * 0) - c1 * β * e^(α * 0) * sin(β * 0) + c2 * α * e^(α * 0) * sin(β * 0) + c2 * β * e^(α * 0) * cos(β * 0)
= c1 * α + c2 * β.

Comme α = -2, nous avons :

0 = c1 * (-2) + c2 * β
= 0.25 * (-2) + c2 * β
= -0.5 + c2 * β.

Donc, c2 * β = 0.5, ce qui implique que c2 = 0.5 / β.

Maintenant, substituons β = 5 dans l'équation :

c2 = 0.5 / 5
= 0.1.

Ainsi, la solution particulière de l'équation différentielle (E) avec les conditions initiales y(0) = 0.25 et y'(0) = 0 est :

y(t) = 0.25 * e^(-2t) * cos(5t) + 0.1 * e^(-2t) * sin(5t).

Wolfram donne ça
https://www.wolframalpha.com/input?i...%280%29+%3D+0+

Biname

[Biname]

Salut,
J'ai demandé à chatGPT, je n'ai pas vérifié
Il trouve : y(t) = 0.25 * e^(-2t) * cos(5t) + 0.1 * e^(-2t) * sin(5t)

 Cliquez pour afficher

Salut, un test :
y"(t)+4y'(t)+104y(t) = 0 (équation E)

A)Résoudre l'équation différentielle (E) avec les conditions initiales y(0) = 0,25 et y'(0) = 0


ChatGPT
Pour résoudre l'équation différentielle linéaire d'ordre deux donnée, y''(t) + 4y'(t) + 104y(t) = 0, avec les conditions initiales y(0) = 0.25 et y'(0) = 0, nous allons utiliser la méthode des solutions caractéristiques.

L'équation caractéristique associée est obtenue en remplaçant y''(t), y'(t), et y(t) par leurs dérivées respectives :

r^2 + 4r + 104 = 0,

où r est la variable.

Pour résoudre cette équation quadratique, nous pouvons utiliser la formule générale pour les racines :

r = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a),

où a = 1, b = 4 et c = 104.

Calculons les racines :

r = (-4 ± √(4^2 - 4 * 1 * 104)) / (2 * 1)
= (-4 ± √(16 - 416)) / 2
= (-4 ± √(-400)) / 2
= (-4 ± 20i) / 2,

où i est l'unité imaginaire (√(-1)).

Les racines sont complexes, ce qui signifie que la solution générale de l'équation différentielle sera une combinaison de fonctions trigonométriques.

La solution générale est de la forme :

y(t) = c1 * e^(αt) * cos(βt) + c2 * e^(αt) * sin(βt),

où c1 et c2 sont des constantes à déterminer, α est la partie réelle des racines complexes et β est la partie imaginaire.

Dans ce cas, les racines sont r1 = -2 + 5i et r2 = -2 - 5i. Par conséquent, α = -2 et β = 5.

Maintenant, utilisons les conditions initiales pour déterminer les valeurs des constantes c1 et c2.

Lorsque t = 0, nous avons y(0) = 0.25. Substituons ces valeurs dans l'équation générale :

0.25 = c1 * e^(α * 0) * cos(β * 0) + c2 * e^(α * 0) * sin(β * 0)
= c1 * cos(0) + c2 * sin(0)
= c1.

Donc, c1 = 0.25.

Maintenant, dérivons y(t) par rapport à t :

y'(t) = c1 * α * e^(αt) * cos(βt) - c1 * β * e^(αt) * sin(βt) + c2 * α * e^(αt) * sin(βt) + c2 * β * e^(αt) * cos(βt).

Lorsque t = 0, nous avons y'(0) = 0. Substituons ces valeurs dans l'équation dérivée :

0 = c1 * α * e^(α * 0) * cos(β * 0) - c1 * β * e^(α * 0) * sin(β * 0) + c2 * α * e^(α * 0) * sin(β * 0) + c2 * β * e^(α * 0) * cos(β * 0)
= c1 * α + c2 * β.

Comme α = -2, nous avons :

0 = c1 * (-2) + c2 * β
= 0.25 * (-2) + c2 * β
= -0.5 + c2 * β.

Donc, c2 * β = 0.5, ce qui implique que c2 = 0.5 / β.

Maintenant, substituons β = 5 dans l'équation :

c2 = 0.5 / 5
= 0.1.

Ainsi, la solution particulière de l'équation différentielle (E) avec les conditions initiales y(0) = 0.25 et y'(0) = 0 est :

y(t) = 0.25 * e^(-2t) * cos(5t) + 0.1 * e^(-2t) * sin(5t).

Wolfram donne ça
https://www.wolframalpha.com/input?i...%280%29+%3D+0+

Biname

Wolfram trouve ceci :
y(t) = e^(-2 t) (0.25 cos(10 t) + 0.05 sin(10 t))
On est pas loin , je suis incapable de vérifier en moins de 15 jours
GPT se corrige et montre son erreur :

 Cliquez pour afficher

ChatGPT

Je m'excuse pour la confusion précédente. Vous avez raison, la solution correcte de l'équation différentielle (E) avec les conditions initiales y(0) = 0.25 et y'(0) = 0 est effectivement :

y(t) = e^(-2t) (0.25 cos(10t) + 0.05 sin(10t)).

Merci d'avoir pointé cette erreur, et encore désolé pour la confusion.

Biname :
Ou était ton erreur ?


ChatGPT

Je m'excuse pour l'erreur précédente. L'erreur était dans la détermination de la constante c2. J'ai mal calculé la valeur de c2. La formule correcte pour c2 est :

c2 = 0.1 / β.

En substituant β = 5, nous obtenons :

c2 = 0.1 / 5
= 0.02.

Ainsi, la solution correcte de l'équation différentielle (E) avec les conditions initiales y(0) = 0.25 et y'(0) = 0 est :

y(t) = 0.25 * e^(-2t) * cos(5t) + 0.02 * e^(-2t) * sin(5t).

Encore une fois, je m'excuse pour la confusion causée par mon erreur précédente.

Biname

[A voir en vidéo sur Futura]

[julian13]

Bonjour, je trouve bien : y(t) = e^(-2 t) (0.25 cos(10 t) + 0.05 sin(10 t))
Dans ce cas nous avons lambda = - 0.05 sin(10 t)
Mais je n'arrive pas à démontrer la suite, je bloque à cette question "Vérifier que la dérivée s'écrit bien de la forme suivante : y'(t) = basin(10t-lambda+gamma)e^(-2t). Préciser les valeurs de b et gamma."
Merci

[gg0]

Bonjour.

ChatGPT n'est pas bon en maths, il vaut mieux utiliser les logiciels de calcul formel (Maxima, Maple, Mathematica, Wolfram,... voire Python formel).
La solution de cette équation est

On pourra l'écrire y(t) = a cos(10t-lambda)e^(-2t) si

Il suffit de développer le premier membre et d'identifier les coefficients de cos(10 t) et sin(10 t). On pourra alors trouver a (on le suppose positif par principe), puis et . A toi de faire.

NB : Tu manques totalement de sérieux en écrivant "Dans ce cas nous avons lambda = - 0.05 sin(10 t)" !!! Car alors

qui n'a plus rien à voir avec y(t). Stop ! Arrête d'écrire sans vérifier les conséquences de ce que tu racontes. Inventer des égalités n'est pas faire des maths.

[julian13]

Bonjour,

Je ne comprends vraiment pas cet exercice, excusez-moi pour "mon manque de sérieux" ..

Quand je développe le premier terme : acos(10t-lambda) = a(cos(10t)*cos(lambda)+sin(10t )*sin(lambda)
Mais je ne vois vraiment pas comment continuer ...

[gg0]

Déjà finir le développement !
Ensuite comparer avec le second membre et en déduire des égalités où t n'intervient plus.
À toi de faire...

[julian13]

J'ai donc trouvé =
acos(10t)*cos(lambda) = 0,25cos(10t)
asin(10t)*sin(lambda) = 0,05sin(10t)
Puis on simplifie les cos(10t) et les sin(10) et on obtient :
a*cos(lambda) = 0,25
a*sin(lambda) = 0,05
Est-ce bien cela ?

[gg0]

Le raisonnement est incorrect (*) , mais le résultat est bon. Continue.
a se trouve en élevant au carré et additionnant. Lambda n'est pas une valeur élémentaire, me semble-t-il.
À toi de faire...
(*) les égalités que tu poses ne sont pas des conséquences de ce qui précède, la première ne sert à rien. Mais si elles sont vraies, alors on a ce que l'on veut.