Résolution d'une équation de degré 5

[Rodjolvi]

Pourquoi penses tu qu'on est pas dans les maths ?
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[Rodjolvi]

Pourquoi penses tu qu'on est pas dans les maths au vu du post 119?

[Rodjolvi]

Est ce que la relation (2ax+b)^2=∆ est fausse ?

[gg0]

Personne n'a dit que c'est faux ! Si on a des nombres a, b, c et x tels que ax²+bx+c=0, on peut en déduire que (2ax+b)^2= b²-4ac = ∆. C'est un calcul pour lycéen de 15 ans.

Par contre la suite :
"2 dans la relation (2ax+b)^2=∆ représente le degré de l'équation,par conséquent on peut remplacer 2 par n,ce qui donne ceci:
(nax+b)^n=∆ "
est du raisonnement par analogie qui n'a rien à voir avec les maths. De la pensée magique.

[stefjm]

Édit croisement gg0
Elle est correcte si x est est solution de ax^2+bx+c=0
Pour la suite, reste à justifier le "par conséquent " bien parachuté...

[Rodjolvi]

2 est bien le degré de l'équation ax^2+bx+c=0 et mieux 2ax+b est la dérivée de ax^2+bx+c. Je ne vois pas où est la pensée magique

[pm42]

2 est bien le degré de l'équation ax^2+bx+c=0 et mieux 2ax+b est la dérivée de ax^2+bx+c. Je ne vois pas où est la pensée magique

Ici :

car x=(-b+√∆)/2a
2 dans la relation (2ax+b)^2=∆ représente le degré de l'équation,par conséquent on peut remplacer 2 par n,ce qui donne ceci:
(nax+b)^n=∆

Quand tu as remplacé 2 par n comme expliqué par gg0.
C'est exactement comme si tu avais fait (x+y)^2 = x^2+y^2 + 2*x*y donc (x+y)^n = x^n+y^n + n*x*y.

La pensée magique est très exactement dans la phrase "par conséquent on peut remplacer" c'est à dire une affirmation gratuite sans démonstration. Tu prends une phrase qu'on emploie en maths à la fin d'une démonstration rigoureuse, tu sautes cette étape et tu penses que vu que comme tu as mis les même mots, c'est pareil.

[gg0]

C'est tout à fait ça, merci Pm42 !

[amineyasmine]

bonjour
une petite réflexion,

une équation degré 5, si elle contient au moins une solution réelle (a) elle s’écrira comme le produit d'un polynôme degré 4 x polynôme de degré 1 qui est (x – (a)) ou (x – (a))^2 pour degré 2 qui donnera degré 3 x degré 2

résoudre x^5 + 2x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = 0

sachant que -1 est une solution

[pm42]

Ce n'est pas une réflexion, c'est une évidence et c'est vrai pour tous les degrés.

[amineyasmine]

Ce n'est pas une réflexion, c'est une évidence et c'est vrai pour tous les degrés.

oui
mais, le théorème, dont j'ai oublié le nom, qui dit que pour degré 5 la solution ne peut pas s'écrire par des radicaux, il parle des équations qui n'ont pas de solution réelles

si non l'équation devient de degré 4

un peu de concentration pour comprendre mon intervention qui est trop bref

il faut réagir rapidement, si non c'est pour demain soir

[stefjm]

Ce n'est pas une réflexion, c'est une évidence et c'est vrai pour tous les degrés.

C'est toute la difficulté entre l'évidence (et tu as déjà cité les théorèmes classiques qui le prouve) et la pensée magique (ou la fausse bonne idée).

oui
mais, le théorème, dont j'ai oublié le nom, qui dit que pour degré 5 la solution ne peut pas s'écrire par des radicaux, il parle des équations qui n'ont pas de solution réelles

Tous les polynômes de degré impair ont au moins une racine réelle (évidence rappelé par pm42 à plusieurs reprises avec citation du pourquoi : continuité, valeurs intermédiaires...).
Les racines de certaines équations de degré supérieur ou égal à 5 ne peuvent pas s'exprimer sous forme de radicaux.
C'est le théorème d'Abel.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...8bre)#Histoire

[jacknicklaus]

Les racines de certaines équations de degré supérieur ou égal à 5 ne peuvent pas s'exprimer sous forme de radicaux.

Je dirai plutôt l'inverse : certaines équations de degré >= 5 admettent pour racines des expressions avec des radicaux (voire même des entiers). Exemple :

La règle générale est que ce n'est pas le cas : cf théorème d'Abel, et travaux de Galois.

[Rodjolvi]

il est certain que 2ax+b est la dérivée de ax^2+bx+c, sachant la formule de la dérivation d'un polynôme, vous comprenez que 2 n'est rien d'autre que le degré du polynôme ax^2+bx+c.
Il est donc parfaitement justifié d'écrire :
(nax+b)^n=∆

[pm42]

Dans le contexte de cette discussion, ∆ est le discriminant.
Le problème, c'est que plus haut, message 119, tu as écrit la solution d'une équation du 2nd degré en gardant le x tel quel alors que c'était une racine, ne respectant aucune convention mathématique et induisant des erreurs en cascade.

Bref on boucle sur la pensée magique, le refus d'écouter les objections et l'obsession de chercher à avoir raison quand c'est totalement impossible.

[gg0]

"Il est donc parfaitement justifié d'écrire :
(nax+b)^n=∆ " Pour n=2.
Mais à moins d'être idiot, on ne va pas écrire n quand c'est 2 est seulement 2.

[Rodjolvi]

La racine est une valeur de x, la variable d'une équation du second degré qui annule un polynôme. Là n'est pas le problème,le problème c'est ceci : est ce que 2 dans l'expression (2ax+b)^2=∆ est le degré de l'équation du second degré ?

[pm42]

Perso, j'arrête de répondre parce qu'il est coincé dans une boucle sans fin et qu'il n'y a visiblement aucune chance qu'il essaie simplement de comprendre quelque chose plutôt que de "justifier" ses erreurs en répétant les mêmes énormités.

[gg0]

Depuis le début, personne ne conteste que si n=2, alors 2 c'est n. Mais comme tu en fais une "formule" absurde, et que tu insistes, tout le monde te prend pour un ...
Si depuis le début, dans ta tête, n valait 2, et rien d'autre, il ne servait à rien de l'écrire n. C'est idiot !

[GBZM]

Rodjolvi, affirmes-tu que le discriminant du polynôme est , où est une racine de ?

[Rodjolvi]

pour toute équation du second degré :
∆=b^2-4ac
or c=-ax^2-bx
∆=b^2-4a(-ax^2-bx)
∆=b^2+4a^2x^2+4abx
4a^2x^2+4abx+b^2=(2ax+b)^2
par conséquent (2ax+b)^2=b^2-4ac=∆
ce qui implique la formation d'un système de deux équations. Voici ces deux équations :
4a^2x^2+4abx+b^2-∆=0(1)
∆-b^2+4ac(2)
l'élimination de ∆ par la méthode d'addition donne ceci:
4a^2x^2+4ab+4ac=0
la division par 4a de tous les termes de l'équation donne forcément une équation équation équivalente :ax^2+bx+c=0
ce qui prouve que c'est de cette équation qu'on est parti pour trouver b^2-4ac.
∆=b^2c^2+18abcd-27a^2d^2-4ac^3-4b^3d
Discriminant d'une équation de degré 3
d=-ax^3-bx^2-cx
∆=b^2c^2+18abc(-ax^3-bx^2-cx)-27a^2(a^2x^6+b^2x^4+c^2x^2+2ab x^5+2acx^4+2bcx^3)-4ac^3-4b^3(-ax^3-bx^2-cx)
b^2c^2-18a^2bcx^3-18ab^2cx^2-18abc^2x-27a^4x^6-27a^2b^2x^4-27a^2c^2x^2-54a^3bx^5-54a^3cx^4-54a^2bcx^3-4ac^3+4ab^3x^3+4b^4x^2+4b^3cx
le système d'équations obtenu est constitué des équations suivantes :
-27a^4x^6-54a^3bx^5-54a^3cx^4-27a^2b^2x^4-54a^2bcx^3-18a^2bcx^3+4ab^3x^3-18a^2bcx^2-27a^2c^2x^2-18abc^2x+4b^3cx+b^2c^2-4ac^3-∆
∆-b^2c^2-18abcd+27a^2d^2+4ac^3+4b^3d=0
l'élimination de ∆ par la méthode d'addition donne ceci:

27a^4x^6-54a^3bx^5-54a^3cx^4-27a^2b^2x^4-54a^2bcx^3-18a^2bcx^3+4ab^3x^3-18a^2bcx^2-27a^2c^2x^2-18abc^2x+4b^3cx-18abcd+27a^2d^2+4b^3d=0
l'équation trouvée n'est manifestement pas une équation de degré 3, équation à partir duquel on est censé partir pour déterminer l'expression de ∆.
ce qui pose la question de la fausseté de la formule de ∆: est ce que c'est la relation d=-ax^3-bx^2-cx qui est fausse ou plutôt ∆=b^2c^2+18abcd-27a^2d^2-4ac^3-4b^3d?
A vous de choisir.

[Rodjolvi]

A ta question GBZM, je réponds oui

[GBZM]

Tu réponds oui ? Eh bien c'est complètement aberrant. Prenons par exemple le polynôme . Ses deux racines sont et .
Selon toi, le discriminant serait si on prend la racine , et si on prend la racine . Deux discriminants différents pour un seul polynôme, ça ne va pas du tout. En plus, le discriminant d'un polynôme doit s'annuler quand ce polynôme a une racine multiple ; c'est le cas ici, et pourtant de tes deux "discriminants" aucun n'est nul.
Bref, n'importe quoi.

[GBZM]

Pardon, dans ta formule fantaisiste pour le discriminant tu élèves au cube . Ça fait donc en fait pour et pour . Ça ne change rien au fait que c'est complètement aberrant !

[Rodjolvi]

soit ax^3+bx^2+cx+d=0, une équation de degré 3
∆=(3ax+b)^3=27a^3x^3+27a^2bx^2 +9b^2x+b^3
x^3=(-bx^2-cx-d)÷a
∆=27a^3(-bx^2-cx-d)÷a+27a^2bx^2+9b^2x+b^3
∆=-27a^2cx-27a^2d+9b^2x+b^3

[Rodjolvi]

Il faut qu'on s'arrête sur ta remarque GBZM : deux discrminants pour un seul polynôme ça ne va pas du tout. Pourquoi selon toi avoir un discriminant par polynôme est il un critère?
De plus ma formule n'a rien de fantaisiste, j'ai proposé une démonstration de cette formule, proposes une démonstration de la formule :
∆=b^2c^2+18abcd-27a^2d^2-4ac^3-4b^3d

[gg0]

La remarque de GBZM dit simplement que ce que tu calcules n'est pas le discriminant mais une quantité que tu appelles discriminant en employant un mot que tu ne comprends pas.
Quand arrêteras-tu de prendre tes désirs pour la réalité ?

[stefjm]

J'ai assez peu d'espoir mais sait-on jamais?
https://fr.wikipedia.org/wiki/Discriminant

[GBZM]

Rodjolvi, ton n'a absolument rien à voir avec le discriminant du polynôme du 3e degré, et il ne présente aucun intérêt. Il ne dépend d'ailleurs pas eulement du polynôme mais du choix d'une racine de celui-ci.
Si tu veux progresser en mathématiques, il faudrait que tu changes d'attitude et que tu te mettes à étudier sérieusment plutôt que de t'accrocher à des élucubrations sans issue.
Le discriminant d'un polynôme cubique (je me limiterai à ceux-là, on peut toujours s'y ramener) est le produit des carrés des différences des racines. Comme c'est un polynôme symétrique homogène de degré 6 en les racines, à coefficients entiers, c'est un polynôme à coefficients entiers en quasi-homogène de poids 6 quand on donne à le poids 2 et à le poids 3. Le discriminant s'écrit donc où sont des entiers à déterminer. Pour ce faire, on prend deux exemples :
1) Le polynôme de racines . Le produit des carrés des différences des racines est et doit être égal à . Donc .
2) Le polynôme de racines . Le produit des carrés des différences des racines est et doit être égal à . Donc .
Ceci démontre que le discriminant (le vrai !) de est .

[jacknicklaus]

Rodjolvi, n'est pire sourd que celui qui ne veut entendre.

GBZM a tout résumé :

Rodjolvi, ton n'a absolument rien à voir avec le discriminant du polynôme du 3e degré, et il ne présente aucun intérêt.

On est au message 149 sur ce fil qui tourne en rond depuis des semaines... Faut -il vraiment le conserver ouvert ?