Résolution d'une équation de degré 5

[Rodjolvi]

Bonjour, je veux savoir si l'équation suivante est resoluble par radicaux :
x^5+5x^4+10x
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[stefjm]

Bonjour,
Elle l'est mais ne me demandez pas pourquoi...

https://www.wolframalpha.com/input?i...2B5x%5E4%2B10x

[gg0]

Bonjour.

Si l'équation est x^5+5x^4+10x=0, alors il y a une solution évidente, et même une factorisation évidente qui ramène la recherche des autres solutions à une équation bicarrée. Donc du très traditionnel au lycée de la fin du siècle dernier.
Si tu ne connais pas, commence la factorisation, on t'aidera à continuer.

Cordialement.

[Resartus]

Bonjour,
Euh, lu trop vite, gg0... le terme du milieu est 5x^4 et malheureusement pas 5x^3.

[A voir en vidéo sur Futura]

[SULREN]

Bonjour,
Oui mais après avoir mis x en facteur....

[stefjm]

Bonjour,
Elle l'est mais ne me demandez pas pourquoi...

https://www.wolframalpha.com/input?i...2B5x%5E4%2B10x

Vu qu'une équation de degré 4 est résoluble par radicaux, c'est plié...
Je me demande comment j'ai pu raté cela...

[gg0]

Effectivement, j'ai raisonné de travers. voilà ce que c'est de faire la cuisine en même temps !
On tombe sur une équation de degré 4 qui a deux racines réelles négatives.
On sait que toute équation de degré au plus 4 est résoluble dans C avec des radicaux. Mais il n'est pas évident que les racines réelles soient exprimables avec des racines carrées et cubiques de réels.

Il faudra que Rodolvi nous en dise plus.

[Biname]

Salut,

Effectivement, j'ai raisonné de travers. voilà ce que c'est de faire la cuisine en même temps !
On tombe sur une équation de degré 4 qui a deux racines réelles négatives.
On sait que toute équation de degré au plus 4 est résoluble dans C avec des radicaux. Mais il n'est pas évident que les racines réelles soient exprimables avec des racines carrées et cubiques de réels.

Il faudra que Rodolvi nous en dise plus.

Je me suis laissé bercer par GPT et Python sur cette équation, par hasard(sympy) ils m'ont donné le développement numérique des racines

Fonction polynomiale symbolique :

Solution : 
Solution : 
Solution : 
Solution : 
Solution : 

Le code python si ça vous dit :

 Cliquez pour afficher

Code Python généré par GPT en six requêtes et corrections

import sympy as sp
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# Définir la variable symbolique
x = sp.symbols('x')

# Définir la fonction pour résoudre le polynôme et imprimer les résultats
def solve_polynomial_and_plot(a, b, c, d, e, f):
    polynomial = a*x**5 + b*x**4 + c*x**3 + d*x**2 + e*x + f
    
    # Résoudre l'équation polynomiale
    solutions = sp.solve(polynomial, x)
    
    # Imprimer la fonction symbolique en format LaTeX
    latex_polynomial = sp.latex(polynomial)
    print("Fonction polynomiale symbolique :")
    print(f"[TEXX]{latex_polynomial}[/TEXX]")
    
    # Imprimer les solutions sous forme a + jb
    for sol in solutions:
        real_part = sol.as_real_imag()[0]
        imag_part = sol.as_real_imag()[1]
        
        latex_solution = f"[TEXX]{real_part} + i({imag_part})[/TEXX]"
        print(f"Solution : {latex_solution}")
    
    # Tracer la fonction polynomiale pour e = 10
    if e == 10:
        func = sp.lambdify(x, polynomial, 'numpy')
        x_vals = np.linspace(-10, 10, 400)
        y_vals = func(x_vals)
        
        plt.figure()
        plt.plot(x_vals, y_vals, label=f"Fonction pour e = {e}")
        plt.xlabel('x')
        plt.ylabel('y')
        plt.title(f"Fonction polynomiale pour e = {e}")
        plt.legend()
        plt.grid(True)
        plt.show()

# Liste des valeurs de e
values_of_e = [1, 3, 5, 10]

# Définir les autres coefficients
a_value = 1
b_value = 5
c_value = 0
d_value = 0
f_value = 0

# Appeler la fonction pour différentes valeurs de e_value
for e_value in values_of_e:
    solve_polynomial_and_plot(a_value, b_value, c_value, d_value, e_value, f_value)
    print()  # Ligne vide entre chaque appel

Biname

[stefjm]

On sait que toute équation de degré au plus 4 est résoluble dans C avec des radicaux. Mais il n'est pas évident que les racines réelles soient exprimables avec des racines carrées et cubiques de réels.

Bonjour,
Je ne comprends pas ce "Mais". Pourquoi se limiter au racines carrés et cubiques alors que l'équation est quartique?
Cordialement

[GBZM]

Bonjour,
Une racine quatrième est une racine carrée d'une racine carrée.
Et le groupe a une suite de jordan-Hölder où les quotients sont tous isomorphes à ou (précisément trois isomorphes à et un isomorphe à

[gg0]

J'ai un peu pensé que certains se demanderaient pourquoi pas de racines quatrièmes, mais j'ai pensé qu'ils verraient eux-même.
Pour le "mais", il est dû à ce que l'on passe par une équation auxiliaire de degré 3, et que certaines équations de degré 3 ne se résolvent pas , dans R, par radicaux.

Cordialement.

[stefjm]

Merci, je me chercherai des exemples pour mieux piger le truc.

[gg0]

J'ai un texte sur le problème des équations de degré 3, mais sans référence d'auteur. On le trouve aussi à cette adresse, toujours sans référence.

Cordialement.

[Rodjolvi]

Bonjour, merci de votre intérêt. Je veux savoir si x^5+5x^4+10x^3+10x^2+5x+3=0 est resoluble par radicaux.

[gg0]

Tu en as beaucoup comme ça ?

Celle-ci se résout en posant y=x+1 ce qui ramène à résoudre y^5 + 2 = 0, et comme -2 a 5 racines cinquièmes complexes, on sait factoriser dans C, puis revenir à R.

[GBZM]

Quand on demande poliment à SageMath, il nous répond que le groupe de Galois de l'équation est résoluble (une suite de composition avec quatients . L'équation est donc bien résoluble par radicaux.

K = NumberField(x^5+5*x^4+10*x^3+10*x^2+5*x+3, 'a')
G=K.galois_group()
JH=G.composition_series()
[JH[i].quotient(JH[i+1]) for i in range(len(JH)-1)]

[Permutation Group with generators [(), (1,2)],
Permutation Group with generators [(), (1,2)],
Permutation Group with generators [(1,2,3,4,5)]]

[Rodjolvi]

Oui, j'en ai même une infinité. Mais je pense que l'équation x^5-1=0 n'a pas cinq solutions.

[gg0]

Heu ... tu manques un peu de connaissances. Dans , x^5-1=0 a une seule solution, mais elle en a 5 dans .

As-tu une bonne raison de poser ces questions ?

[Rodjolvi]

Oui,des équations comme x^5-1=0,x^3-1=0 ou x^5+5x^4+10x^3+10x^2+5x-24=0, je peux les résoudre en passant par le calcul du discriminant comme si j'avais affaire à une équation du second degré. Seulement la racine n- ème du discriminant peut être connue avec une calculatrice mais cette dernière ne couvre pas les nombres complexes.
Je sais maintenant que sur l'équation x^5-1=0 vous avez raison.

[gg0]

Heu .. qu'appelles-tu "discriminant" pour ces deux équations ?

[Rodjolvi]

J'appelle par discriminant, un nombre qui intervient dans le calcul de x. Par exemple,5 est le discriminant de l'équation x^2+x-1=0.

[gg0]

Et pour x^3+x^2+x+1 = 0, comment le calcules-tu ?

NB : "un nombre qui intervient dans le calcul de x" ... ça n'explique rien. J'attendais une définition.

[Rodjolvi]

Je prépare actuellement un document portant sur la résolution des équations de degré n.Mais pour répondre à ta question, je dirai ceci :
∆=72b^2x+8b^3-216cx-216d

[gg0]

∆ dépend de x ?

[Rodjolvi]

Tout a fait

[Rodjolvi]

J'ai la preuve de la fausseté du théorème d'abel Ruffini. Qu'est ce que je peux faire pour la faire connaître à la communauté scientifique ?

[GBZM]

C'est n'importe quoi.
Le discriminant de est , il est négatif comme il y a une seule racine réelle. Pour un polynôme unitaire, le discriminant est le produit des carrés des différences des racines (donc nul en cas de racine multiple).
Rodjolvi, tu ferais mieux de commencer par lire un bon manuel d'algèbre.

"J'ai la preuve de la fausseté du théorème d'abel Ruffini"
Encore plus n'importe quoi !!!

[Rodjolvi]

ce n'est pas du n'importe quoi.En fait, je suis opposé à l'idée selon laquelle, la valeur de x est indépendant de celle du discriminant. Si le lien entre la valeur de x et celle du discriminant existe dans le cas d'une équation du second degré,il en est de même pour toute équation de degré n.

[GBZM]

Toujours du n'importe quoi.
Tu n'as donné aucune définition du discriminant. Les mathématiciens ont une définition universellement reconnue du discriminant (que j'ai rappelée pour le cas unitaire).
Prétendre que l'équation générale de degré 5 est résoluble par radicaux est complètement idiot. Peux-tu résoudre par radicaux ? (exemple classique).
Je renouvelle mon conseil : plutôt que de poursuivre tes élucubrations, apprends l'algèbre si tu es intéressé par la résolution des équation polynomiales !

[gg0]

Rodjolvi,

Je t'ai demandé aux messages #20 et #22 une définition du discriminant, tu n'as même pas daigné répondre. Comment pourrais-je te croire ? Tu emploies le moi "discriminant" pour autre chose que ce qu'il veut dire en maths, donc soit tu ne sais pas ce que tu veux dire, soit tu triches avec les mots. Le plus sûr moyen d'être pris pour un rigolo.
Une preuve est un texte mathématique, écrit dans le langage de tout le monde. Commence par là.
NB : un autre intervenant sur ce forum a prétendu la même chose que toi, ça fait des années qu'on attend sa preuve. Et lui ne triche pas avec les mots.