Résolution d'une équation de degré 5

[Rodjolvi]

Vous voulez dire que vous n'êtes pas d'accord avec la définition suivante : le discriminant est un terme intervenant dans la résolution d'une équation du second degré.(vous pouvez la retrouver dans le wiktionnaire)
Si ce n'est pas le cas, je ne vois pas en quoi vous n'êtes pas d'accord avec moi puisque j'ai juste dit que le discriminant est un terme qui intervient non seulement dans la résolution d'une équation de degré 2 mais aussi de toutes les équations de degré n.
-----

[Anonyme007]

Bonjour,

Le discriminant d'un polynôme , est l'élément, où, est l'élément, où, sont les racines de dans un corps des racines .
Voir document ci-joint, page, .

[Biname]

Salut,
Grâce à vous j'ai découvert que pour ma calculette scientifique, pour Google, et pour bien d'autres

ce qui est faux

SQTR_moins_1.jpg

Pour wolfram, c'est différent :
https://www.wolframalpha.com/input?i...9**%281%2F5%29

GPT fait des maths :

 Cliquez pour afficher

Sqrt5_euler.jpg

<<... ne sont pas des valeurs rationnelles, (−1)^(1/5)​ est un nombre complexe non-réel, c'est-à-dire un nombre complexe avec une partie imaginaire non nulle.>>
Il cafouille un peu, je l'ai corrigé .

Biname

[gg0]

Vous voulez dire que vous n'êtes pas d'accord avec la définition suivante : le discriminant est un terme intervenant dans la résolution d'une équation du second degré.

Je suis d'accord avec la phrase "le discriminant est un terme intervenant dans la résolution d'une équation du second degré", mais pas avec le fait que ce soit une définition !! Dans la résolution de 2x²-3x-1= 0, les coefficients 2, -3 et -1 "interviennent dans la résolution" mais ne sont pas le discriminant. Tu parles de résoudrte des équation de degré 5 mais tu ne connais pas la théorie élémentaire de l'équation du second degré, qu'on apprend à 15-16 ans !

Un peu de sérieux, que diable !

[gg0]

Biname,

c'est normal qu'il y ait des différences puisque la notation n'a pas de définition conventionnelle. La valeur -1 est celle de la racine cinquième (*) et est bien correcte, puisque . Wolfram, lui, fait du calcul formel, donc pas vraiment des maths, seulement l'application d'algorithmes de calcul qu'il faut connaître (ici, parmi les racines cinquièmes de -1, il a choisi celle dont un argument positif est le plus petit possible).

Un autre qui ne fait pas de maths, c'est ChatGPT, qui ne fait que recopier des textes qu'il a vu sur Internet. Y compris parfois (souvent ?) des âneries publiées sur des forums par des incompétents (et il y en a pas mal !).

Cordialement.

(*) la racine cinquième du nombre a est l'unique nombre b tel que b^5=a

[Biname]

gg0,
gg0 contre Wolfram !
Le pb c'est de passer i²= - 1 à i = sqrt(-1)
Avec i = sqrt(-1), notre (-1)^(1/5) devient i^(1/5) + Moivre = Wolfram ?
Biname
P.S. ben non (i²)^(1/5)

[Rodjolvi]

On utilise les mêmes données pour calculer ∆,on utilise les mêmes données pour calculer x mais on affirme qu'il n'existe aucune relation entre ces deux variables, voilà le n'importe quoi.
Quant à la définition dont vous parlez tant, je vous en donne toutes en signalant qu'elle ne vient pas de moi mais du wiktionnaire :
Le discriminant est le déterminant d'une certaine matrice carrée associée à un polynôme.
je ne vois pas en quoi cette définition me contredit.

[gg0]

Arrête de raconter des âneries, Rodjolvi. Personne n'affirme qu'il n'y a aucun lien entre discriminant et solution. On te dit seulement que le discriminant ne contient pas l'inconnue x. Apprends à lire.
Avec ce genre de confusion, tu n'es pas près de trouver quoi que ce soit de sérieux en maths.
Mais tu ne comprends même pas ce que tu écris, tu donnes encore une phrase floue comme "définition", le "une certaine" suffit à rejeter ta phrase.
Le "n'importe quoi" est chez toi.

[gg0]

Biname, je ne me bats pas avec Wolfram, je l'utilise souvent. Mais je sais ce qu'est un logiciel de calcul formel, j'ai même étudié leur fonctionnement ce que tu ferais bien de faire.
Et j'ai simplement expliqué ce qu'il répond.
Je ne comprends rien à la fin de ton message. Tu parles pour toi ?

Cordialement.

[Biname]

gg0,

Une petite flatterie : j'appelle Wolfram "Dieu", mais quand gg0 s'oppose à Wolfram, je doute de "Dieu" !

Je "joue" actuellement avec python sympy aidé par GPT pour les codes(il connait toutes les librairies ...).

Code python + sympy racines P(x) (le talent python, c'est GPT, pas moi)

 Cliquez pour afficher

# Solve_poly_05_AllInOne_LaTeX_png.py  avec GPT  09 aout 2023
import sympy as sp
import matplotlib.pyplot as plt

x = sp.symbols('x')
# equation = sp.Eq(x**5+5*x**4+10*x, 0)
# equation = sp.Eq(x**5-1, 0)
equation = sp.Eq(x**5 + 5*x**4 + 10*x**3 + 10*x**2 + 5*x + 3, 0)
solutions = sp.solve(equation, x)
results_string = f"$P(x) : {equation}$" + "\n\n"

print ("\nP(x) : ", equation, "\n")

for idx, sol in enumerate(solutions, start=1):
    print(f"Racine_{idx} = ",  sol)

print ("\n")

for idx, sol in enumerate(solutions, start=1):
    print("[_TEX]", f"Racine_{idx} =", sp.latex(sol), "[/TEX_]")
    results_string += f"$Racine_{idx} = {sp.latex(sol)}$\n"

print ("\nSolutions simplifiées")
results_string += f"\n\n$Solutions$  $simplifiées$\n"
solutions = sp.solve(equation, x, complex=True)

for idx, sol in enumerate(solutions, start=1):
    print(f"Racine_{idx} = ",  sp.simplify(sol))

print ("\n")

for idx, sol in enumerate(solutions, start=1):
    print("[_TEX]", f"Racine_{idx} =", sp.latex(sp.simplify(sol)), "[/TEX_]")
    results_string += f"$Racine_{idx} = {sp.latex(sp.simplify(sol))}$\n"

# Créer un graphique vide
fig, ax = plt.subplots()

# Ajouter le texte LaTeX et les résultats au graphique
ax.text(0.01, 0.5, results_string, fontsize=12, ha='left', va='center', linespacing=1.5)

print ("\nTest : (-1)**(1/5) = ",(-1)**(1/5))

# Supprimer les axes
ax.axis('off')

# Sauvegarder l'image au format PDF, PNG et JPG
plt.savefig('polynomial_with_results.pdf', dpi=300, bbox_inches='tight', format='pdf')
plt.savefig('polynomial_with_results.jpg', dpi=300, bbox_inches='tight', format='jpg')
plt.savefig('polynomial_with_results.png', dpi=300, bbox_inches='tight', format='png')

# Afficher le graphique
plt.show()

La sortie pdf de ce code :
polynomial_with_results.pdf
Solutions Wolfram
https://www.wolframalpha.com/input?i...+%2B+5*x+%2B+3
x5_solve_Wolfram.jpg
Les différences sont amusantes ! Je ne commente pas je dirais probablement des bêtises

#P.S. remplacer [_TEX] par [T E X] et [/TEX_] par [/T E X]

Biname

[gg0]

Oui, c'est bien du calcul formel, qui te laisse le choix d'interpréter ce qu'il trouve (en espérant que tu voulais justement faire le calcul pour lequel il est programmé. D'où par exemple
* que tu peux interpréter comme
* que tu peux interpréter comme
* etc
Et tu as 5 fois le même résultat.

Le problème, avec Wolfram (Mathématica), était qu'il interprétait déjà le -1 comme un complexe et lui appliquait une règle générale. Mais je viens de tester , et il te laisse le choix. Il écrit au départ :
Assuming the principal root | Use the real‐valued root instead



Si tu utilises le deuxième choix, il donne bien -1.

Cordialement.

NB : On s'expose à de graves erreurs en utilisant un logiciel dont on ne connaît pas le mode d'emploi. Autant monter un meuble Ikéa avec la notice d'un autre.

[SULREN]

Bonjour,
Je suis votre débat avec intérêt, sans tout comprendre, bien loin s’en faut, mais justement pour essayer d’apprendre quelque chose, comme par exemple récemment l’existence du calcul formel.....et celle de certains outils disponibles sur Gogol.
Merci à vous !

Et je trouve là aussi une occasion de vérifier les résultats que me donnent mes vieux outils faits maison.
Par exemple, pour l’équation :
x^5+5x^4+10x^3+10x^2+5x+3=0
ma babasse me donne immédiatement pour la racine réelle : -2.148698356666676
qui correspond à la valeur donnée par WolframAlpha sous plusieurs formes.

NB :
Et j’ai bien noté dans un coin les racines dans le plan complexe que donne aussi WolframAlpha pour cette équation, et que je suis bien incapable de trouver (on ne joue pas dans la même cour, et il sait traiter bien d’autres problèmes, lui).
Je n’ai pas besoin des racines complexes dans les calculs que je fais pour mes réalisations, ….mais comme exercice intellectuel pour « tenter de mettre les bâtons dans les roues à Alzheimer », je vais cependant essayer de chercher par quelle voie ma babasse pourrait procéder…..(si tant est que j’ai la moindre chance).

Bonne continuation à vous.

NB: et si je repasse à Pointe Noire j'essaierai d'aller saluer Rodjolvi

[GBZM]

"Le discriminant est le déterminant d'une certaine matrice carrée associée à un polynôme."
Oui, pour un polynôme unitaire le discriminant est, au signe près, le déterminant de la matrice de Sylvester de et , autrement dit le résultant de et . Le signe est .
Rien à voir avec ce que Rodjolvi raconte "∆=72b^2x+8b^3-216cx-216d ", qui est n'importe quoi.
Rodjolvi, suis un bon cours d'algèbre plutôt que d'élucubrer sur des pages wikipedia mal comprises !

[Biname]

gg0,

Calcul des racines de P(x) = x**5 + 5*x**4 + 10*x**3 + 10*x**2 + 5*x + 3

Wolfram (valeurs exactes et approximations, montage copié-collé : les deux cas sur une seule image)

 Cliquez pour afficher

Calcul des racines avec Python sympy et nympy
Les racines trouvées dont les complexes, vérifient le polynôme.

 Cliquez pour afficher

1) Avec Python lib sympy(calcul symbolique)

import sympy as sp

# Définition de la variable symbolique x
x = sp.Symbol('x')

# Définition du polynôme
polynomial = x**5 + 5*x**4 + 10*x**3 + 10*x**2 + 5*x + 3

# Résolution du polynôme
solutions = sp.solve(polynomial, x)

# Vérification des racines
for sol in solutions:
    approx = sp.N(sol)
    result = sp.N(polynomial.subs(x, sol))
    print(f"Racine: {approx}, P(racine): {result}")

Résultats :
Racine: -0.0706835093968524 + 0.675187952399881*I, P(racine): 0.e-137 - 0.e-137*I
Racine: -0.0706835093968524 - 0.675187952399881*I, P(racine): -0.e-140 + 0.e-140*I
Racine: -1.35496731310463 + 1.09247705577745*I, P(racine): -0.e-131 + 0.e-131*I
Racine: -1.35496731310463 - 1.09247705577745*I, P(racine): -0.e-131 - 0.e-131*I
Racine: -2.14869835499703 + 5.29395592033938e-23*I, P(racine): 0.e-124 - 4.61651660610484e-128*I (racine réelle 5.29e-23i)

2) Avec Python numpy(non symbolique ... selon moi)

import numpy as np

# Coefficients du polynôme
coefficients = [1, 5, 10, 10, 5, 3]

# Résolution du polynôme avec numpy
roots = np.roots(coefficients)

# Vérification des racines
for root in roots:
    result = np.polyval(coefficients, root)
    print(f"Racine: {root}, P(racine): {result}")

Résultats :
Racine: (-2.1486983549970384+0j), P(racine): (-3.197442310920451e-14+0j)
Racine: (-1.3549673131046283+1.092477055 7774521j), P(racine): (1.8207657603852567e-14+9.103828801926284e-15j)
Racine: (-1.3549673131046283-1.0924770557774521j), P(racine): (1.8207657603852567e-14-9.103828801926284e-15j)
Racine: (-0.07068350939685286+0.67518795 2399881j), P(racine): (3.552713678800501e-15-1.9984014443252818e-15j)
Racine: (-0.07068350939685286-0.675187952399881j), P(racine): (3.552713678800501e-15+1.9984014443252818e-15j)

Ces codes ont été générés par ChatGPT, voici le chat :
gpt connaissait le polynôme des échanges précédents

 Cliquez pour afficher

Pourrais-tu écrire un code qui vérifie que les racines complexes et non complexes trouvées annulent bien le polynôme ? P(racine_1) = approximation
chatGPT

Bien sûr, voici comment vous pouvez vérifier que les racines (complexes et réelles) trouvées annulent correctement le polynôme en utilisant la bibliothèque SymPy :

python

import sympy as sp

# Définition de la variable symbolique x
x = sp.Symbol('x')

# Définition du polynôme
polynomial = x**5 + 5*x**4 + 10*x**3 + 10*x**2 + 5*x + 3

# Résolution du polynôme
solutions = sp.solve(polynomial, x)

# Vérification des racines
for sol in solutions:
    approx = sp.N(sol)
    result = sp.N(polynomial.subs(x, sol))
    print(f"Racine: {approx}, P(racine): {result}")

Ce code calcule les valeurs de P(racine) pour chaque racine trouvée et les compare aux approximations de ces racines. Si les valeurs sont proches de zéro, cela confirme que les racines annulent correctement le polynôme.

Assurez-vous d'avoir installé la bibliothèque SymPy en utilisant pip install sympy si vous ne l'avez pas déjà fait.

User
La même chose avec numpy
ChatGPT

Bien sûr, voici comment vous pouvez vérifier que les racines (complexes et réelles) trouvées annulent correctement le polynôme en utilisant la bibliothèque NumPy :

python

import numpy as np

# Coefficients du polynôme
coefficients = [1, 5, 10, 10, 5, 3]

# Résolution du polynôme avec numpy
roots = np.roots(coefficients)

# Vérification des racines
for root in roots:
    result = np.polyval(coefficients, root)
    print(f"Racine: {root}, P(racine): {result}")

Ce code calcule les valeurs de P(racine) pour chaque racine trouvée à l'aide de la fonction np.polyval(), qui évalue le polynôme en utilisant les coefficients fournis. Si les valeurs sont proches de zéro, cela confirme que les racines annulent correctement le polynôme.

Assurez-vous d'avoir installé la bibliothèque NumPy en utilisant pip install numpy si vous ne l'avez pas déjà fait.

C'est troublant ?

Biname

[GBZM]

Qu'est-ce que ça a de troublant ? Ce sont les valeurs de , où .

[Biname]

GZBM,

Pour trouver ça, il faut que

Voir la troisième racine de Wolfram ci-dessus msg #44

Pour a et b voir : https://www.wolframalpha.com/input?i...%5E%283%2F5%29

Biname

[gg0]

Heu ... il serait temps d'apprendre les mathématiques de base :
* Définition dans des racines n-ièmes (on faisait ça en seconde, autrefois)
* Définition des racines n-ièmes d'un complexe (c'était le niveau terminale encore en l'an 2000).

Après, on peut jouer avec des logiciels dont on ne sait pas ce qu'ils font, c'est du jeu, pas de la réflexion, ni des maths.

[Biname]

gg0,
Si je comprends bien, dans un cas on considère -1 réel et dans l'autre complexe ?
Biname

[gg0]

Oui,

ou plus exactement, dans un cas on utilise la définition des puissances rationnelles comme des racines n-ièmes de puissance entières (*), dans l'autre on utilise une des racines n-ièmes d'un complexe (il y en a exactement n) en laissant volontairement de côté celle qui est éventuellement réelle.
Ce type de calcul, sur des situations où il n'y a pas "la bonne méthode", est traité différemment par des logiciels différents (une calculette utilise un logiciel, en interne).

Cordialement.

(*) (pour des fractions totalement simplifiées)

[Biname]

Salut
@ gg0 : merci
Biname

[Rodjolvi]

Pourquoi un discriminant est un produit de discriminants dans le cas d'un polynôme unitaire

[gg0]

Bonjour.

Sans contexte, la question a une réponse quasi évidente : "Un discriminant" est un nombre, tout nombre est le discriminant d'un polynôme bien choisi, et tout nombre est un produit d'autres nombres.

Donc il serait temps de prendre le temps d'écrire une vraie question.

[GBZM]

un discriminant est un produit de discriminants dans le cas d'un polynôme unitaire

Qu'est-ce que ça veut dire ?

[Rodjolvi]

Bonjour,
le discriminant est le produit des carrés des différences des racines pour un polynôme unitaire. Or,un carré de différences des racines est un discriminant,par conséquent le discriminant est un produit de discriminants(d'un polynôme de degré 2). Êtes vous d'accord avec ça ? Si non dites pourquoi.

[GBZM]

Oui, le discriminant de est le produit des discriminants des pour . Mais ceci ne présente pas grand intérêt. Quel moyen de fabriquer les autre que de calculer les racines de ?

[amineyasmine]

Bonjour, je veux savoir si l'équation suivante est resoluble par radicaux :
x^5+5x^4+10x

bonjour

la réponse est oui (théoriquement) mais si difficile
essaye pour x^3 + x + 1 = 0 et tu verra la difficulté

[amineyasmine]

bonjour

la réponse est oui (théoriquement) mais si difficile
essaye pour x^3 + x + 1 = 0 et tu verra la difficulté

Mais avec les maths informatique ou l'informatique des maths c'est peut être plus facile

[gg0]

Amineyasmine.

Venir 2 mois après parler pour ne rien dire d'une question qui a été résolue immédiatement témoigne soit d'une incapacité à lire, soit d'un égo surdimensionné. Deux messages inutiles, qui te font passer pour un inconséquent.

[amineyasmine]

Amineyasmine.

Venir 2 mois après parler pour ne rien dire d'une question qui a été résolue immédiatement témoigne soit d'une incapacité à lire, soit d'un égo surdimensionné. Deux messages inutiles, qui te font passer pour un inconséquent.

bonjour
désolé gg0
j'ai pas vu la solution ou je ne l'est pas comprise
je m'attendais à qq chose comme la méthode de Cardan pour degré 3

[amineyasmine]

bonjour

j'ai fais une simple recherche internet et je tombe sur :

Théorème d'Abel — Il est impossible de résoudre par des radicaux l'équation générale du cinquième degré.

vrai ou faux, je n'en sais rien, ca me dépasse