Bonsoir, j'ai vu en cours que si la série de terme général un converge alors (un) tend vers 0 et il y a une remarque qui dit que l'analogie pour les fonctions c'est-à-dire que si on prend f continue de R+ dans R,est fausse. Cependant, je n'arrive pas à y trouver de contre-exemple, moi qui croyait au départ que l'égalité était vraie. Quelqu'un saurait-il m'aider ?
Merci d'avance à toute personne m'accordant un peu de son temps.
Dernière modification par Matt1627 ; 29/09/2023 à 21h58.
Bonjour.
Considère la fonction qui vaut en général 0, mais vaut 1 entre 1 et 2, puis encore 1 entre 4 et 4+1/4, puis 1 entre 9 et 9+1/9, etc.
Cette fonction ne tend pas vers 0 à l'infini, mais son intégrale converge.
Cordialement.
L'exemple n'est pas continu ceci dit mais on peut en construire un qui le soit sur le même principe.
Effectivement,
mais la continuité n'a rien à voir avec l'intégrabilité.
En
fait, il est facile de construire des contre exemples continus, voire même dérivables, une fois ou plusieurs. Moins facile, des fonctions infiniment dérivables, mais possible.
Cordialement.
On est bien d'accord mais en supprimant la continuité, on peut faire un exemple encore plus simple : la fonction qui vaut 0 partout sauf sur les entiers où elle vaut 1.
Elle n'a pas de limite mais son intégrale définie vaut 0 sur tout intervalle.
Mais comme on disait, faire continu est facile : on prend ton exemple et on le transforme un peu pour rendre la fonction affine par morceaux.
Ah oui, la fonction caractéristique de N est encore plus simple.
Pour Matt1627, une remarque : On peut même trouver des fonctions non bornées sur [0,+oo[ et dont l'intégrale converge. Je te laisse explorer nos propositions et voir comment les transformer pour obtenir ça.
Cordialement.
D'accord, je vous remercie pour vos réponses.
