les transcendants
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les transcendants



  1. #1
    amineyasmine

    les transcendants


    ------

    Bonjour
    c'est un ensemble infini non démontrable,
    ce que maths a découvert des transcendants , à ce jours, est-il dénombrable ou non ?

    -----

  2. #2
    Deedee81

    Re : les transcendants

    Salut,

    Citation Envoyé par amineyasmine Voir le message
    c'est un ensemble infini non démontrable,
    Je suppose que tu voulais dire "non dénombrable".
    En effet, sa cardinalité est celle l'ensemble R.

    Citation Envoyé par amineyasmine Voir le message
    ce que maths a découvert des transcendants , à ce jours, est-il dénombrable ou non ?
    La question est peu compréhensible. Veux-tu dire que tous les transcendants qui ont été écrit explicitement sous forme de formules (comme e, pi, ...) forme un ensemble dénombrable ?
    Forcément, oui.
    Mais si tu parles de définitions implicites alors ça reste à vérifier, et je dirais non (déjà de par leur définition générale).
    EDIT non, pas à vérifier vu ce que j'ai mis entre parenthèses
    Sinon il va falloir que tu précises ce que tu veux dire par "découvrir des transcendants".
    "Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)

  3. #3
    GBZM

    Re : les transcendants

    Bonjour,
    L'ensemble des nombres de Liouville (qui sont tous transcendants) a la puissance du continue : https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_de_Liouville

  4. #4
    Deedee81

    Re : les transcendants

    C'est un très bon exemple des définitions implicites dont je parlais. De tête je ne savais pas/plus que c'était continu. Merci GBZM

    Reste à savoir ce que amineyasmine veut dire par "découvrir des transcendants". C'est pas vraiment clair pour moi.
    "Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    GBZM

    Re : les transcendants

    Implicite, explicite, ça se discute. Liouville donne un procédé explicite de fabrication de nombres transcendant à partir de n'importe quelle suite de 0 et de 1 qui a un nombre infini de 1.

  7. #6
    Médiat

    Re : les transcendants

    Bonjour,
    Néanmoins, on ne peut dire qu'un nombre dénombrable de choses sur les Liouville, et on ne peut en définir (resp. calculer) qu'un nombre dénombrable.

    Si j'appelle "nombres de Deedee" les transcendants compris entre 0 et 1 (non compris (pour ceux qui ont "non compris" la notion de transcendant)), ils sont transcendants et non dénombrable (et aussi moins intéressant que ceux de Liouville), cette notion ne nous avance pas beaucoup (contrairement aux Liouville).

    Si "ce que maths a découvert des transcendants" (sic) veut dire "ce que l'on peut en dire", alors, c'est dénombrable (merci cap'tain obvious)
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  8. #7
    GBZM

    Re : les transcendants

    Et pour toute tentative de dénombrement des nombres de Liouville "explicites", on peut fabriquer explicitement un nombre de Liouville qui n'y figure pas ...

  9. #8
    Deedee81

    Re : les transcendants

    EDIT croisement avec GBZM

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    (merci cap'tain obvious)[/COLOR]


    Oui, par explicite je voulais dire la définition explicite d'UN nombre. Et par implicite, par exemple, un ensemble de nombres. On peut très bien pouvoir donner une construction explicite pour l'un ou l'autre de ces nombres mais pas de tous (ici le fait que ces constructions explicites soient forcément dénombrables importe peu, donner une infinité de constructions explicite est de toute façon un peu difficile )
    Dernière modification par Deedee81 ; 09/10/2023 à 10h16.
    "Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)

  10. #9
    Médiat

    Re : les transcendants

    Citation Envoyé par Deedee81 Voir le message
    donner une infinité de constructions explicite est de toute façon un peu difficile )
    Oui, mais il y a une subtilité, le formule 2/(2n+1) donne une infinité de fractions, je n'ai pas besoin de les lister, ils sont "là", disponibles et de toute façon, une démonstration ne peut en utiliser qu'un nombre fini.

    C'est un peu le même phénomène que les schémas d'axiomes
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  11. #10
    Deedee81

    Re : les transcendants

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    C'est un peu le même phénomène que les schémas d'axiomes
    Ca c'est vrai. De toute façon mes "explicites", "implicites" étaient quelque peu vagues
    "Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)

  12. #11
    MissJenny

    Re : les transcendants

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Néanmoins, on ne peut dire qu'un nombre dénombrable de choses sur les Liouville,
    j'imagine que c'est vrai de tout (?)

  13. #12
    Médiat

    Re : les transcendants

    Oui MissJenny d'où le "Merci cap'tain obvious" à la fin de mon message.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  14. #13
    amineyasmine

    Re : les transcendants

    Citation Envoyé par Deedee81 Voir le message
    Salut,



    Je suppose que tu voulais dire "non dénombrable".
    En effet, sa cardinalité est celle l'ensemble R.



    La question est peu compréhensible. Veux tu dire que tous les transcendants qui ont été écrit explicitement sous forme de formules (comme e, pi, ...) forme un ensemble dénombrable ?
    Forcément, oui.
    Mais si tu parles de définitions implicites alors ça reste à vérifier, et je dirais non (déjà de par leur définition générale).
    EDIT non, pas à vérifier vu ce que j'ai mis entre parenthèses
    Sinon il va falloir que tu précises ce que tu veux dire par "découvrir des transcendants".
    bonjour
    oui c'est ca

  15. #14
    Deedee81

    Re : les transcendants

    Salut,

    Citation Envoyé par amineyasmine Voir le message
    oui c'est ca
    Impec. Donc la réponse a été donnée (et même un peu plus)
    "Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)

  16. #15
    amineyasmine

    Re : les transcendants

    Bonjour
    oui réponse donnée

    j'ai aussi une autre question :
    avec le temps d'autres transcendants seront découverts, est ce que l'ensemble des des transcendant qu'on découvrira restera toujours dénombrable et les inconnus non dénombrables ?

  17. #16
    Deedee81

    Re : les transcendants

    Salut,

    Citation Envoyé par amineyasmine Voir le message
    avec le temps d'autres transcendants seront découverts, est ce que l'ensemble des des transcendant qu'on découvrira restera toujours dénombrable et les inconnus non dénombrables ?
    Ben oui, c'est évident.
    "Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)

  18. #17
    GBZM

    Re : les transcendants

    Que veut dire "découvrir" ???
    On sait déjà fabriquer des nombres transcendants de Liouville à partir de n'importe quelle suite de 0 et de 1, et il y en a une infinité non dénombrable.
    Je sais, on va me répliquer qu'on ne peut écrire qu'un nombre dénombrable d'algorithmes pour produire des suites de 0 et de 1 ...
    M'enfin bof

  19. #18
    pm42

    Re : les transcendants

    On pourrait même arguer qu'on ne peut écrire qu'un nombre fini de tels nombres ou algorithmes pris dans l'ensemble dénombrable de ceux qu'on peut concevoir.

  20. #19
    Deedee81

    Re : les transcendants

    Citation Envoyé par GBZM Voir le message
    Je sais, on va me répliquer qu'on ne peut écrire qu'un nombre dénombrable d'algorithmes pour produire des suites de 0 et de 1 ...
    C'est exactement pour ça que toute cette discussion est d'une évidence abyssale (ou capitaine obvious ci-dessus ).

    Citation Envoyé par GBZM Voir le message
    M'enfin bof
    Le juste mot

    EDIT c'est pas très gentil à dire mais ça me rappelle une question (que j'ai eut plusieurs fois) de la part d'enfants : "jusqu'où tu sais compter ?"
    Dernière modification par Deedee81 ; 11/10/2023 à 10h48.
    "Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)

  21. #20
    MissJenny

    Re : les transcendants

    Citation Envoyé par Deedee81 Voir le message
    C'est exactement pour ça que toute cette discussion est d'une évidence abyssale
    alors je dois être particulièrement stupide parce que pour moi il n'était pas du tout évident que l'ensemble des nombres de Liouville n'était pas dénombrable. Avec tous les zéros dans leur écriture décimale j'aurais plutôt pensé que ces nombres étaient excessivement rares.

  22. #21
    Deedee81

    Re : les transcendants

    Citation Envoyé par MissJenny Voir le message
    alors je dois être particulièrement stupide parce que pour moi il n'était pas du tout évident que l'ensemble des nombres de Liouville n'était pas dénombrable. Avec tous les zéros dans leur écriture décimale j'aurais plutôt pensé que ces nombres étaient excessivement rares.
    Non, la question de la cardinalité de cet ensemble n'est pas nécessairement évidente. Comme souvent d'ailleurs pour ce genre de chose.
    Mais la question de la discussion "ceux qu'on a découvert" (au sens définition explicite nombre par nombre, cela a bien été précisé), là, le fait que ce soit dénombrable (et même fini comme l'a fait remarquer pm42), c'est sacrément évident.
    "Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)

  23. #22
    pm42

    Re : les transcendants

    Citation Envoyé par MissJenny Voir le message
    alors je dois être particulièrement stupide parce que pour moi il n'était pas du tout évident que l'ensemble des nombres de Liouville n'était pas dénombrable. Avec tous les zéros dans leur écriture décimale j'aurais plutôt pensé que ces nombres étaient excessivement rares.
    Tu as lu la page Wikipedia ?
    Parce que "Plus généralement, pour tout entier b > 1 et toute suite (ak)k>0 d'entiers compris entre 0 et b – 1" fait que en prenant des suites d'entiers entre 0 et 10, on a quelque chose qui est équipotent aux réels (à la louche, il faudrait un poil raffiner pour le montrer rigoureusement).

    Quand à "excessivement rare", cela ne marche pas avec les infinis. Tu peux prendre l'ensemble triadique de Cantor : https://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemble_de_Cantor
    On est tellement rare qu'il est de longueur nulle mais pourtant, il a aussi la puissance du continu.
    Dernière modification par pm42 ; 11/10/2023 à 11h06.

  24. #23
    Médiat

    Re : les transcendants

    Pour prolonger la remarque de GBZM : à partir d'une suite quelconque de 0, 1, ..., 9 (cela marche avec des suites de 0 et de 1, voire avec des suites prenant leurs valeurs dans un ensemble fini) on peut construire un réel compris entre 0 et 1 (inclus), comme ces suites sont non dénombrables, on peut ainsi construire un nombre non dénombrable de réels, en fait tous les réels entre 0 et 1, et donc tous les réels entre 0 et 1 sont définissables (ce raisonnement est trivialement faux).

    Il ne faut pas confondre "à partir de n'importe quel ..." (qui manipule un objet à la fois) et "à partir de tous ..." (qui sous-entend la manipulation de tous les objets) ; j'ai conscience que ces deux expressions (surtout la deuxième) ne sont pas parfaites, mais on peut les comprendre il me semble.


    PS : je ne suis pas en train de dire que GBZM fait la confusion, au contraire, il l'a explicitée et il explique pourquoi le raisonnement ci-dessus est faux.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  25. #24
    Deedee81

    Re : les transcendants

    J'aurais dû me taire, voilà que ça devient intéressant

    Concernant le "excessivement rare", pour les nombres de Liouville, ils en parlent explicitement dans la page wikipedia.
    "Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)

  26. #25
    Médiat

    Re : les transcendants

    Le "excessivement rare" compris comme "dénombrable parmi un ensemble non dénombrable" est la même erreur que penser que Z est deux fois plus gros que N (en un peu plus subtil quand même), je ne dis pas cela pour me moquer de MissJenny, mais pour l'aider à comprendre ce que dit pm42.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  27. #26
    pm42

    Re : les transcendants

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    je ne dis pas cela pour me moquer de MissJenny, mais pour l'aider à comprendre ce que dit pm42.
    Pareil, il n'y avait pas de moquerie dans ma remarque. On parle de sujets où justement l'intuition induit facilement en erreur (sauf éventuellement quand on a pas mal pratiqué).

    Je viens de lire l'article dont on parle ici : https://forums.futura-sciences.com/l...sembliste.html
    Et au début, il rappelle à quel point la manipulation des infinis s'est faite progressivement et n'était pas du tout évidente voire proscrite il n'y a pas si longtemps.

  28. #27
    Deedee81

    Re : les transcendants

    J'avais lu dans PLS il y a déjà longtemps un article fort sympa de Delahaye illustrant ce genre de subtilités (dénombrable ou continu, ensembles négligeables....)
    Avec un livre ayant des pages en quantité non dénombrable. Qu'on ouvrait au hasard etc.... Il y avait des trucs vachement contre-intuitifs.

    Je l'ai retrouvé :
    https://www.pourlascience.fr/sr/logi...ables-3637.php
    (date de 2008)

    Bon payant comme d'hab, mais je le conseil fortement à amineyasmine. On apprend vraiment des trucs (quand on ne maîtrise pas le sujet) et c'est assez ludique.
    "Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)

  29. #28
    MissJenny

    Re : les transcendants

    Les nombres de la forme 0.1<k zéros>1<k zéros>1<k zéros>... sont évidemment en quantité dénombrable. Les nombres de Liouville, qui sont de la forme 0.1<quelques zéros>1<plus de zéros>1<encore plus de zéros>... ne le sont pas. Ca va à l'encontre de mon intuition, c'est ce que je voulais dire. Mais je ne le conteste pas.

  30. #29
    Deedee81

    Re : les transcendants

    Citation Envoyé par MissJenny Voir le message
    Ca va à l'encontre de mon intuition
    Là je ne peux acquiescer. Dans ce domaine, l'intuition faut la mettre dans sa poche
    "Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)

  31. #30
    pm42

    Re : les transcendants

    Citation Envoyé par MissJenny Voir le message
    Les nombres de Liouville, qui sont de la forme 0.1<quelques zéros>1<plus de zéros>1<encore plus de zéros>... ne le sont pas.
    Tu es sur que c'est l'ensemble de nombres de Liouville qui sont de cette forme là ? Parce c'est la forme de la constante de Liouville soit b=10.
    Mais si tu prends b qui n'est pas une puissance de 10, il n'y a pas de raison de n'avoir que des 0 et des 1.
    Tu essaie avec b=3 et tu vas le constater.

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