Topologie algébrique d'un A - module.

[Anonyme007]

Bonjour;

Définition 1,

Soit un anneau commutatif.
Soit un - module.
Soit l'ensemble des sous - - modules de .
Par définition, une topologie algébrique de est toute partie de vérifiant les axiomes suivants,

1 - .
2 - .
3 - ( famille quelconque de sous - - modules ) , .

muni de s’appelle - module topologique.

Définition 2,
Un - module topologique est dit quasi - compact, si,
Pour tout recouvrement algébrique, de tel que, , il existe un sous recouvrement fini de tel que : .

Question,

1 - Connaissez vous un exemple non trivial de - module topologique quasi compact ?
2 - Est ce que, un - module de Hilbert est quasi compact ?

Voir ici, https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_C*-module la définition de - module de Hilbert.

Merci d'avance.
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[Anonyme007]

Bonjour,

1 - Connaissez vous un exemple de - module qui ne vérifie pas la propriété : pour un certain - module ?

2 - Connaissez vous un exemple de - module qui ne vérifie pas la propriété : pour tout - module ?

Merci d’avance.

[GBZM]

Bonjour,
Le produit tensoriel de sous-modules de est-il un sous-module de ?
La définition que tu as inventée ne fait pas sens.

[Anonyme007]

Bonjour,

Ce fil date de plus de 5 mois déjà. Je me permets de le déterrer une nouvelle fois.
Je remercie GBZM d'avoir signaler mon erreur.
En fait, le but de ce fil était de répondre à la question suivante, ( qui était mal partie en fait, puisque GBZM m'a corrigé ... )
Quels objets sont aux schémas ce que les modules sont aux anneaux ?
Eh bien, la réponse tout simplement est, que ses objets en question sont les faisceaux quasi-cohérents.
En effet,
- A tout anneau correspond un schéma ( i.e, un espace topologique muni d'ouverts ).
- A tout module correspond un faisceau quasi-cohérent.
- Tout anneau est un module.
- Tout schéma est un faisceau quasi-cohérent ( Par le lemme de Yoneda )
D'où, les faisceaux quasi-cohérents sont aux schémas ce que les modules sont aux anneaux.
Donc, pas besoin de chercher à faire correspondre ( ou, identifier ) un module à un espace topologique, parce que, un module n'a pas une structure qui s'identifie à un espace topologique, mais, a une structure qui s'identifie à un faisceau.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Anonyme007]

L´histoire n'est pas terminée.
Quels objets sont aux schémas ce que les - algèbres sont aux anneaux ?
Est ce que ce sont, les schémas relatifs, ou bien les - algèbres quasi-cohérents ( Cas particulier de faisceaux ) ?
Merci d'avance.

[Anonyme007]

Tout schéma relatif est un morphisme de schémas muni d'un morphisme structural.
Par conséquent, tout schéma relatif est un schéma muni d'une structure de - algèbre quasi cohérent.
D'où, les schémas relatifs sont aux schémas ce que les - algèbres sont aux anneaux.