Topologie Algébrique

[slivoc]

Bonjour,

Je regrouperai dans ce fil toutes mes questions concernant la topologie algébrique ( afin de ne pas en ouvrir un à chaque fois) et dont ma référence est https://www.math.u-psud.fr/~paulin/n...rs_topoalg.pdf

P19, on nous demande de démontrer que


où signifie isomorphisme de groupe. Et une famille d' espaces topologiques pointés. J' ai procédé ainsi:
On onsidère

qui est sont des applications continues pour les topologies usuelles à l' arrivée et au départ. Puis on considère

où est l' espace des lacets de de base
Alors cette application est bien définie ( composition d' applications continues) et elle passe au quotient, en effet:
une homotopie entre et
On peut poser:

alors est une famille d' homotopie entre et
donc
On a donc une application

Pour montrer que c' est un morphisme, j' ai juste eu à remarquer que où est la concaténation des lacets A et B.
Pour montrer que ce morphisme est surjectif :
un représentant de
J' ai alors posé:

et alors

Pour l' injectivité:
soit
donc

en effet,
où est le lacet constant de base , appelons une telle homotopie,
alors, on pose
est une homotopie entre et
On a donc un morphisme injectif et surjectif entre et , ils sont donc isomorphes.
Voila ce que j' ai fait, ça serait super qu' on me dise si c' est faux ou pas rigoureux à certain(s) endroit(s) afin que je débute sur de bonnes bases !
Ps: ceci est mon premier message en Latex, il se peut donc qu' il y ait des fautes de frappe !

Bonne journée
-----

[AncMath]

J'y vois rien à redire.

[slivoc]

super! sans doute à bientôt pour une nouvelle question !

[slivoc]

Bonjour,

Toujours sur le même poly, corollaire 2.13, P 22-23. on nous parle de recollement d' un espace topologique X avec un esp . top. Y suivant une application continue f. Sur wikipedia, il n' y a qu' une définition partielle de ce qu' est un tel recollement https://fr.wikipedia.org/wiki/Recollement_(topologie) il manque la défintion d' une somme topologique. Quelqu'un la connaîtrait- il ?

Merci et bonne journée !

[A voir en vidéo sur Futura]

[AncMath]

C'est le coproduit dans la catégorie des espaces topologiques. Tu peux vérifier que c'est la réunion disjointe ensembliste muni de la topologie la plus fine rendant continue les inclusions canoniques.

[slivoc]

Je me contenterai de la seconde partie de la réponse pour le moment.

Merci !

[slivoc]

Bonsoir,

J' ai dû reprendre un corollaire que je croyais avoir compris, et en fait une partie m' échappe:
P19. corollaire 2.4:

Si est connexe par arc et , alors ( pour ça pas de soucis)
Si de plus est abélien, alors cet isomorphisme est canonique. L' isomorphisme en question est le suivant: soit un chemin de à , .

Je croyais que par canonique, on entendait que était en quelque sorte l' identité, parce qu' on pouvait commuter et mais ça n' a pas de sens puisqu' on ne peut pas concaténer et .
Si quelqu' un pouvait m' aider à comprendre en quoi cet isomorphisme est canonique, ça m' avancerait pas mal !

Merci et bonne soirée !

[invite22d0ea94]

Je trouve cela vraiment magnifique même si je comprends pas grand chose, les démonstrations fluides et belles c'est vraiment le pied.

[azizovsky]

Bonsoir,

J' ai dû reprendre un corollaire que je croyais avoir compris, et en fait une partie m' échappe:
P19. corollaire 2.4:

Si est connexe par arc et , alors ( pour ça pas de soucis)
Si de plus est abélien, alors cet isomorphisme est canonique. L' isomorphisme en question est le suivant: soit un chemin de à , .

Je croyais que par canonique, on entendait que était en quelque sorte l' identité, parce qu' on pouvait commuter et mais ça n' a pas de sens puisqu' on ne peut pas concaténer et .
!

...d'après le document, de à , .

[azizovsky]

simple remarque: dans la démonstration, si on remplace par , on trouve

[azizovsky]

simple remarque: dans la démonstration, si on remplace par , on trouve

faux ,il est question de classe du chemins constants, je vais potasser le document...

[Seirios]

Prenons deux chemins allant de vers . Pour toute boucle basée en , on a . Mais, par commutativité de , on a . (Ici, on a utilisé le fait que était une boucle basée en .) Finalement, . Autrement dit, .

C'est en ce sens que l'isomorphisme est canonique : il ne dépend pas du chemin choisi.

[slivoc]

simple remarque: dans la démonstration, si on remplace par , on trouve

Je ne vois ce que ça apporte ? Puisqu' on montre que phi est un morphisme, c' est évident non ?

[slivoc]

Bonjour,

Merci Seirios !

Juste, est une boucle basée en . En fait tu sembles inverser et dans tout ton message ( mais c' est sans doute des fautes de frappe !). Mais j' ai compris l' idée, merci !

Bonne journée

[azizovsky]

Je ne vois ce que ça apporte ? Puisqu' on montre que phi est un morphisme, c' est évident non ?

je n'ai aucune idée, j'ai concaténé les formules (syntaxe) sans essayer de comprendre la charge (sémantique )....

[Seirios]

Juste, est une boucle basée en . En fait tu sembles inverser et dans tout ton message ( mais c' est sans doute des fautes de frappe !). Mais j' ai compris l' idée, merci !

En fait, ça dépend si tu lis la concaténation de droite à gauche ou de gauche à droite. Pour ma part, je ne sais jamais quelle est la convention...

[slivoc]

Ah oui, je n' avais pas pensé à ça! J' ai pris celle du poly en pensant qu' elle était la même pour tout le monde, c' est à dire que est le lacet où l' on parcourt d' abord puis . Cette convention à l' avantage, je trouve, de ne pas mêler composition et concaténation !

[slivoc]

Bonsoir,

Toujours sur le même poly, concernant l' exo E13 P24-25( l' intitulé y est). N' ayant pas de TD, j' essaye de faire les exercices proposés, ce qui me permet de manipuler les notions. L' exercice en question cette fois-ci est assez long et je ne cherche pas de correction, mais juste si il y a des points non clairs, flous ou bien faux, cela m' avancerait pas mal que vous me les fassiez remarquer !
IMG_4573.jpgIMG_4574.jpgIMG_4575.jpgIMG_4576.jpgIMG_4577.jpg

Ne sachant pas faire de diagramme commutatifs en Latex ( et aussi un peu par paresse) j' ai joins les 5 premières pages d' exercices en photo, les 5 suivantes seront dans le prochain post. Je suis preneur de toutes remarques, même sur un bout de question où n' importe !

Merci et bonne soirée !

[slivoc]

Voici la suite :
IMG_4578.jpgIMG_4579.jpgIMG_4580.jpgIMG_4581.jpgIMG_4582.jpg

[slivoc]

PS ( qui sert aussi de up ):
Je demande surtout vos avis concernant certaines questions:
Pour la question 1), mq est un isomorphisme entre ne m' interesse pas vraiment. Par contre j' aurai bien voulu savoir si pour la deuxième partie de la question, celle où l' on doit mq , il y a une façon plus algébrique que de passer par les relèvements ? ( cette partie se trouve sur les feuilles 4 et 5)
Pour la 2), je ne pense pas m' etre planté, surtout que la question 4) permet d' y répondre facilement.
Pour la 4)(feuille 8) si continues, alors , je raisonne avec des diagrammes commutatifs pour le sens , là j' aurai bien voulu avoir vos avis, je ne suis pas trop sûre ! Pour l' autre sens, j' aurai voulu si, encore une fois, il y avait une façon plus algébrique que d' exprimer une homotopie entre f et g ?

En espérant avoir réussi à attirer un peu plus votre attention cette fois-ci,
bonne journée !

[AncMath]

Ben tu es de toute façon dans le cadre topologique donc je vois mal comment tu peux espérer avoir une autre preuve qu'en passant par les relèvements. Surtout vu les définitions données pour les objets.

[slivoc]

Merci !

J' aurai une autre question. Un peu plus loin (p29), on définit les revêtements et la catégorie des revêtements au dessus d' un espace topologique donné. Où les objets sont les revêtements , et ils définissent les morphismes de revêtements entre 2 revêtements comme étant les applications continues tq le diagramme suivant commute


Mais j' ai pas bien compris, Les morphismes sont l' ensemble des applications continues entre espace topologiques tel qu' il existe 2 revêtements tel qu' on ait le diagramme commutatif précédent. Ou bien est-ce qu' on se fixe d' abord 2 objets et après on regarde les applications qui font commuter le diagramme, En fait par wikipedia https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%....C3.A9finition , on ne définirait pas les morphismes de façon général, mais plus tôt, pour tout couple d' objets, on définirait ?
Dans ce cas là j' aurai une question, supposons qu' on ait une catégorie , tel que les objets soient des ensembles. Alors dans la Classe des morphismes de cette catégorie, les morphismes ne sont pas forcément des applications entre les objets ? ( comme dans la catégorie des revêtements au dessus de B plus haut définie )

[AncMath]

Un revetement c'est une application tel que bla bla bla. un morphisme entre revêtement et c'est une application qui fasse commuter le diagramme que tu as écris.
Le revêtement c'est pas simplement , c'est la donnée de et de l'application continue

[slivoc]

Salut!

Je crois que tu n' as pas compris où je bloquais !
J' ai compris ce qu' était un revêtement. L' endroit où j' ai du mal, c' est de comprendre ce qu' est la catégorie des revêtements au dessus d' un espace top. B. ( que je noterai )
Les objets de cette catégorie sont les applications qui revêtissent B ou ce sont les couples avec un revêtement ?
Concernant la classe des morphismes dans , en fait, pour tout on définit comme étant l' ensemble des applications qui font commuter le diagramme du message précédent. Et dans ce cas ?
Mais alors j' ai une question plus général sur les catégories. Si j' ai une catégorie dont les objets sont des ensembles, il n' est pas dérangeant que les morphismes de cette catégorie ne soient pas forcément des applications entre ces ensembles (comme ce serait le cas pour les catégorie des revêtements ) ?

Comme je te l' avais dit, je débute vraiment avec les catégories et n' y suis donc pas familier, d' où mes questions sans doute évidente pour quelqu'un qui en a l' habitude !
Merci pour toutes tes précisions passées, et peut être celles futures.

Bonne soirée !

[AncMath]

Salut!

Je crois que tu n' as pas compris où je bloquais !

Et je ne suis pas sûr d'avoir compris maintenant non plus !

J' ai compris ce qu' était un revêtement. L' endroit où j' ai du mal, c' est de comprendre ce qu' est la catégorie des revêtements au dessus d' un espace top. B. ( que je noterai )
Les objets de cette catégorie sont les applications qui revêtissent B ou ce sont les couples avec un revêtement ?

N'est ce pas la même chose ?
Je veux dire un revêtement tu peux voir ca comme un triplet avec une application continue de dans tel que etc... ou simplement l'application tel que etc... mais se donner l'application c'est a fortiori se donner son domaine et son but. Bref ça a pas grande importance. Et si tu veux formaliser jusqu'au bout : tu as une équivalence de catégorie entre les deux versions de la définition.

Concernant la classe des morphismes dans , en fait, pour tout on définit comme étant l' ensemble des applications qui font commuter le diagramme du message précédent. Et dans ce cas ?

Ben oui. Je ne vois pas trop en quoi ça te pose problème. Pour les morphismes de groupes ou d'espaces vectoriel par exemple c'est bien ce que tu as. Mais je ne comprend pas pourquoi tu veux considérer la classe de TOUS les morphismes. Quand tu as deux revêtements et (il y a un abus de language quand j'ecris ça, je devrais écrire ) tu as l'ensemble des morphismes de dans . Bien sûr si tu fais varier et tu obtiens tous les morphismes de tous les revêtements de possibles. Je ne sais si cela répond à ta question, je ne vois pas quelle est elle en fait.

Mais alors j' ai une question plus général sur les catégories. Si j' ai une catégorie dont les objets sont des ensembles, il n' est pas dérangeant que les morphismes de cette catégorie ne soient pas forcément des applications entre ces ensembles (comme ce serait le cas pour les catégorie des revêtements ) ?

Non ça n'est pas dérangeant, que la catégorie aient pour objet des ensembles ou pas les morphismes entre objets de n'ont pas besoin d'être des applications ensemblistes. Néanmoins dans une certaine mesure, on peut toujours les voir comme un certain type d'applications ensemblistes : c'est le lemme de Yoneda. Plus précisément on peut toujours voir un morphisme dans n'importe quelle catégorie , comme un morphisme de foncteur de dans la catégorie des ensembles. Autrement dit un morphisme c'est la donnée d'une collection d'applications ensemblistes qui soit fonctorielle en où décrit l'ensemble des objets de . Se donner l'un ou l'autre est équivalent. Donc en un certain sens tout morphisme dans n'importe quel catégorie peut se voir comme une collection de morphismes d'ensembles.

En fait, c'est un point de vue assez utile en pratique.

[slivoc]

Merci !

C' est vrai qu' en retournant voir sur wiki ce qu' était une application, se donner l' ensemble de départ et d' arrivée d' une application, en plus de celle-ci, est redondant. Donc autant s' en passer.

En fait j' espérais une définition, en quelque sorte, "global" ( La classe de tous les morphismes ) des morphismes de et non "local" comme on le fait. Je ne sais pas trop pourquoi j' espérais ça, mais c' est vrai que pour les groupes, EV etc... on a bien une description local, c' est à dire de pour tout G, H des groupes, par exemple. Et si, du coup, tu réponds pile poil à ma question !

Et concernant le Lemme de Yoneda, je vais attendre de me familiariser un peu plus avec les catégories. Mon souci était que je confondais le terme de morphisme dans une catégorie comme étant les morphismes au sens https://fr.wikipedia.org/wiki/Morphi...od.C3.A8les.29 ( que je ne maitrise pas du tout, j' ai juste regardé la définition)et donc un si j' avais 2 objets dans ( qui sont des ensembles), pour moi un objet dans était nécessairement une application ensembliste de X dans Y. Même si "ces deux" notions de morphisme sont sans doute, en fait, très proche.

Merci, et bonne journée !

[AncMath]

Mon souci était que je confondais le terme de morphisme dans une catégorie comme étant les morphismes au sens https://fr.wikipedia.org/wiki/Morphi...od.C3.A8les.29 ( que je ne maitrise pas du tout, j' ai juste regardé la définition)et donc un si j' avais 2 objets dans ( qui sont des ensembles), pour moi un objet dans était nécessairement une application ensembliste de X dans Y. Même si "ces deux" notions de morphisme sont sans doute, en fait, très proche.

Non, ces notions ne sont pas proches en fait. Elles sont même assez éloignées. Un morphisme dans une catégorie ca peut être vraiment n'importe quoi. Laisse moi te donner quelques exemples.

Prend un groupe. A ce groupe on peut associer une catégorie qui n'a qu'un seul objet et dont les morphismes de cet objet sont les éléments de , la composition des morphismes est donnée par la loi de groupe sur .

Autre exemple, prend un ensemble préordonné, c'est à dire muni d'une relation réflexive et transitive, on peut lui associer une catégorie dont les objets sont les éléments de et tel que est un ensemble à un élément si et vide sinon. La composition étant la seule possible.

Autre (??) exemple, si est un espace topologique, la catégorie est la catgéorie dont les objets sont les ouverts de et dont les morphismes sont données par est un ensemble à un élément si et vide sinon. La composition étant la seule possible.

Dans ces 3 exemples les morphismes sont assez différents d'une quelconque application ensembliste ou d'un morphisme au sens dont tu donnes la définition dans ton message. Bien sur avec Yoneda où même à la main on peut toujours se ramener à certaines sous collections d'applications ensemblistes aux propriétés particulières, mais a priori les morphismes dans ces catégories sont très différents d'une application ensembliste.

[AncMath]

J'en profite pour revenir sur le lemme de Yoneda parce qu'il est absolument fondamental. Et qu'il permet de mieux comprendre plein de choses qui sont souvent d'ailleurs implicites.

Supposes dont que tu aies une catégorie absolument quelconque. La seule chose que tu sais c'est que si est un objet de alors pour tout objet de , l'ensemble est un ensemble, pas simplement une classe : cela fait partie des axiomes d'une catégorie.

D'autre part si tu te donnes un morphisme alors par précomposition tu obtiens une application ensembliste que l'on note définie par qui à associe . Il est bien sur totalement évident que .

Tu définies ainsi pour tout objet de un foncteur de dans , noté qui je le répète à un objet associe et à un morphisme associe .

Autrement dit on a une association de la catégorie dans la catégorie la catégorie des foncteurs de dans . Je te rappelle que les morphismes de sont les morphismes de foncteurs.

Cette association est elle même un foncteur, que l'on appelle foncteur de Yoneda. En effet si l'on se donne un morphisme de alors on obtient un morphisme de foncteur donnée par post compostion avec . Plus précisément pour tout objet de on a une application donnée par .

Dire que est un morphisme de foncteur c'est dire que si l'on prend alors le carré suivant est commutatif

Mais c'est évident que ce carré commute ! Si on prend un élément de en haut à gauche alors par les deux circuits il s'envoie sur . Autrement dit est bien un morphisme de foncteur de dans .

D'autre part il est clair que et donc notre association est un foncteur de dans .

Le lemme de Yoneda te dit la chose suivant, suppose que tu te donnes un morphisme de foncteur de dans . C'est à dire que pour tout dans tu te donnes une application ensembliste tel que si est un morphisme quelconque dans le carré suivant commute
.
Alors il existe un unique dans tel que .

Autrement dit TOUS les morphismes de foncteurs de dans sont donné par des elements de . Et la composition des morphismes de foncteurs est donnée par la composition de ces éléments.

Autrement dit tu peux toujours voir une catégorie comme une sous catégorie pleine de (si tu as une catégorie; une sous catégorie de est une catégorie dont les objets sont des objets de et telle que si sont des objets de alors la sous catégorie est dite plein si cette inclusion est une égalité, autrement dit les morphismes entre objets de sont les mêmes vus comme objets de ou , exemple de sous catégorie pleine : la catégorie des groupes abéliens est une sous catégorie pleine de la catégorie des groupes). Et ceci via le foncteur de Yoneda.

La catégorie peut sembler a priori compliquée, mais ca n'est pas le cas, ces objets sont simplement des collections d'ensembles où parcourt les objets de et ses morphismes sont des collections d'applications ensemblistes "compatibles" ou "fonctorielles"c'est à dire tels que pour tout morphisme on ait toujours le même carré qui commute


Ce lemme n'est pas du tout difficile à démontrer. C'est même totalement trivial.

[AncMath]

Je continue mon baratin sur Yoneda en espérant ne pas trop faire dévier ton fil. Je m'arrête ensuite promis.
En fait le lemme de Yoneda comme expliqué plus haut te permet de voir tout morphisme dans toute catégorie comme une collection d'application ensembliste aux propriétés particulières et donc in fine les morphismes de toutes les catégories peuvent se comprendre d'une certaine façon comme des applications ensemblistes.
Mais même si ce point de vue est parfois utile, il peut aussi être totalement étranger à la manière dont on veut voir les choses.

Permet moi de te donner une analogie... qui est peut être un peu plus qu'une analogie.

Tu as rencontré déjà la notion de groupe. On peut créer une palanquée de groupes de la façon suivante : on prend un ensemble quelconque, alors l'ensemble des bijections de muni de la composition est un groupe. On peut aussi regarder des sous groupes de ce qui nous donne encore plus d'exemples : les automorphismes d'un espace vectoriel par exemple sont un sous groupe de .

En fait il est tres facile de prouver que tout groupe est isomorphe à un sous groupe d'un groupe pour un certain ensemble . Il suffit de prendre ton groupe et de le faire agir sur lui même par multiplication à gauche disons, et on obtient une morphisme injectif de groupe qui permet de voir tout groupe comme un sous groupe d'un groupe de bijections d'un ensemble.

Mais bien sur je pense que tu réalises qu'il y aurait énormément à perdre si on définissait simplement un groupe comme un sous groupe d'un groupe de bijection. Il y a plein de cas où on ne pense pas à un groupe comme à un groupe de bijection. Ne serait que les groupes cycliques par exemple, que l'on peut bien sur voir comme le sous groupe engendré par un cycle dans mais on peut aussi y penser autrement comme les classes d'entiers modulo par exemple ou comme au groupe des racines n-ièmes de l'unité.

C'est un peu la même chose avec le lemme de Yoneda, il te permet de pouvoir, si tu le veux, penser toute catégorie comme une sous catégorie d'une catégorie de foncteurs à valeur dans la catégorie des ensembles, donc des collections d'ensembles, et tout morphismes comme des collections d'applications ensemblistes, mais y a plein de cas où l'on ne veut absolument pas y penser comme ça.

Ceci est un peu plus qu'une analogie pour la raison suivante. J'ai dit que si on prend un groupe on peut toujours le voir comme un sous groupe d'un groupe de bijections. Plus haut j'ai dit qu'à un groupe on peut lui associer une catégorie si tu appliques Yoneda à tu retrouves le fait que tout groupe est un sous groupe du groupe des bijections d'un ensemble.

[AncMath]

Juste une dernière chose ! Même si j'avais promis !

Le lemme de Yoneda n'est pas simplement utile que dans des contextes catégoriques abstrait il permet de démontrer des choses tout ce qu'il y a de plus concrètes et utiles.

Par exemple si tu te frottes à la topologie algébrique tu as dû entendre parler de la topologie compacte ouverte sur l'espace des applications continues entre disons espaces Hausdorff et localement compacts. Cette topologie a la particularité de donner une bijection avec équipé donc de la topologie compacte ouverte.
La topologie compacte ouvert est la seule topologie pour laquelle on a cette bijection. Cela résulte du lemme de Yoneda.