Bonjour,
Je regrouperai dans ce fil toutes mes questions concernant la topologie algébrique ( afin de ne pas en ouvrir un à chaque fois) et dont ma référence est https://www.math.u-psud.fr/~paulin/n...rs_topoalg.pdf
P19, on nous demande de démontrer que
oùsignifie isomorphisme de groupe. Et
une famille d' espaces topologiques pointés. J' ai procédé ainsi:
On onsidère
qui est sont des applications continues pour les topologies usuelles à l' arrivée et au départ. Puis on considère
oùest l' espace des lacets de
de base
Alors cette application est bien définie ( composition d' applications continues) et elle passe au quotient, en effet:
une homotopie entre
et
On peut poser:
alorsest une famille d' homotopie entre
et
![]()
donc
On a donc une application
Pour montrer que c' est un morphisme, j' ai juste eu à remarquer queoù
est la concaténation des lacets A et B.
Pour montrer que ce morphisme est surjectif :
un représentant de
J' ai alors posé:
et alors
Pour l' injectivité:
soit![]()
donc
en effet,
où
est le lacet constant de base
, appelons
une telle homotopie,
alors, on pose
est une homotopie entre
et
![]()
On a donc un morphisme injectif et surjectif entreet
, ils sont donc isomorphes.
Voila ce que j' ai fait, ça serait super qu' on me dise si c' est faux ou pas rigoureux à certain(s) endroit(s) afin que je débute sur de bonnes bases !
Ps: ceci est mon premier message en Latex, il se peut donc qu' il y ait des fautes de frappe !
Bonne journée
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