Topologie Algébrique

[slivoc]

Salut !

Bon, après quelques jours, je crois avoir enfin compris la construction du foncteur de Yoneda ( il a d' abord fallu que je comprenne les définitions basiques sur les catégories etc ...) !
J' en suis donc maintenant à la compréhension du Lemme. Juste pour que je sois sure, dans les hypotheses du lemme, les foncteurs sont des bien les foncteurs de où est une catégorie localement petite, vers , comme définis dans la construction du foncteur de Yoneda ?

En fait le lemme de Yoneda dit exactement que le foncteur de Yoneda est pleinement fidèle non ( et que ce foncteur est toujours constructible du moment que est localement petite) ?

Pour l' injection des groupes finis dans un groupe symétrique, c' est un résultat que nous avions vu en cours, mais qui ne nous avait jamais servi. Je n'ai d' ailleurs pas encore compris l' intérêt de ce résultat. Et c' est vrai que l' analogie avec permet d' un peu mieux comprendre ce que fait le foncteur de Yoneda à une catégorie !

De même, en cours on a vu comment identifier ( de façon linéaire) un Ev euclidien dans son duale, et c' est vraiment très proche de la façon dont on envoie les objets de vers les Objets de !

Tu peux toujours continuer à digresser si tu en as envie. Les catégories sont apparemment des "objets" naturelles en topologie algébrique, donc tout à fait en rapport avec ce fil ! Au pire je ne comprendrai pas grand chose, mais peut etre que ça murira et qu' un jour je comprendrai !

En tout cas, merci beaucoup d' avoir pris le temps de détailler autant !

Bonne journée
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[AncMath]

Salut !

Bon, après quelques jours, je crois avoir enfin compris la construction du foncteur de Yoneda ( il a d' abord fallu que je comprenne les définitions basiques sur les catégories etc ...) !
J' en suis donc maintenant à la compréhension du Lemme. Juste pour que je sois sure, dans les hypotheses du lemme, les foncteurs sont des bien les foncteurs de où est une catégorie localement petite, vers , comme définis dans la construction du foncteur de Yoneda ?

Alors à mon avis tu ne devrais pas dans un premier temps, et meme dans n-premiers temps avec n assez grand, t’embarrasser avec la notion de catégorie localement petite.
La plupart des auteurs incluent la condition de locale petitesse dans la définition de catégorie. Tu peux très bien considérer que toutes les catégories sont localement petites.

Il faut bien comprendre que toutes ces restrictions de taille qui proviennent de la théorie des ensembles : petitesse, locale petitesse etc... ne jouent la plupart du temps aucun rôle. Et quand elles jouent un rôle, c'est alors un rôle de premier plan parce que justement les questions ensemblistes sont alors délicates. Donc il ne faut pas se voiler la face et totalement les évacuer, elles peuvent s’avérer redoutables mais dans 99,99% du temps on regarde sans le dire des catégories U-petites et on ne prend pas de précautions supplémentaires.

Si on parlait de choses plus subtiles de topologies, du genre l'argument des petits objets ou ce genre de choses j'aurais sans doute un discours différent. Mais dans un premier temps, et surtout si tu fais de la topologie ou de la géométrie, tu peux considérer que non seulement les Hom sont des ensembles, mais même que la classe des objets est un ensemble, bref faire comme s'il n'y avait aucune subtilité ensembliste dans tout cela. Le point est ailleurs et l'axiome des univers permet de faire comme si tout se passait bien.

Mais bien sûr en toute rigueur si l'on autorise des catégories non localement petites, alors le foncteur de Yoneda n'est défini que pour les localement petites.

En fait le lemme de Yoneda dit exactement que le foncteur de Yoneda est pleinement fidèle non ( et que ce foncteur est toujours constructible du moment que est localement petite) ?

Tout à fait.

[slivoc]

Salut!

De toute façon la théorie des classes est pour l' instant une de mes boites noires que je n' ai clairement pas le temps d' ouvrir. Peut etre plus tard !

Bon, je viens d' essayer de démontrer que le foncteur de Yoneda est pleinement fidèle (honnêtement, j' ai pas trouvé ça si triviale !) et si tu pouvais me donner ton avis ça m' arrangerait bien parce que je ne suis pas hyper à l' aise avec les morphisme de foncteurs.

Pour la fidelité, j' ai fais comme pour beaucoup de preuves d' injectivité :

Soient tel que où on note la flèche dans Set comme tu les as préalablement définies. Alors
donc en prenant , comme , on a
.

Pour la pleinitude: Je me suis donné un morphisme de foncteur puis ( en reprenant tes notations) j' ai posé , donc on a bien
Et alors on a

Alors on a le diagramme commutatif suivant

Car F est un morphisme de foncteurs, avec sur les fleches du haut et du bas respectivement.
Et en particulier, pour on a

D' où

Donc on a bien que le foncteur de Yoneda est pleinement fidèle.

(bien sûre, les ne sont pas les mêmes en fonction de la partie du diagramme où ils se trouvent !)

[slivoc]

Ps: j' ai supposé savoir ce que voulait dire que deux foncteurs sont égaux. Et même, est-ce que si C est localement petite, alors la classe des objets dans fonc(C°, Set) est forcément un ensemble ? Parce que si ce n' en n' est pas toujours un, alors il faudrait savoir ce que veux dire etre égale en théorie des classes ?

[AncMath]

Ta preuve est correcte.

L'egalité que tu testes a lieu dans ou plus précisement tu testes si deux applications sont égales, et la classe de toutes ces applications est bien un ensemble si tu travaille dans une catégorie localement petite.

Bien sûr tu teste ceci "pour tout objet "... formellement la propriété que tu vas démontrer s'écrit ceci implique t il que est un ensemble ? Le symbole universel est il cantonné aux ensembles et pas aux classes ? Honnêtement je ne sais pas. Je n'ai jamais regardé la théorie des classes.
Une manière très simple de contourner tout cela est de ne regarder que les catégories -petites pour un univers . Personnellement c'est ce que je fais... sans le dire bien sûr.

[Médiat]

Le symbole universel est il cantonné aux ensembles et pas aux classes ?

Très bonne question.

Du point de vue de la logique signifie, en fait , ou, si est définissable par une formule , ,

[slivoc]

Bonjour
J' aurai 2 autres questions, bien plus basiques, sur les catégories.

Je crois que je n' ai pas bien compris ce qu' était la catégorie duale d' une catégorie . De façon totalement abstraite, on décide que nos flèches dans sont celles de que l' on retourne ? Mais alors si j' ai qui est un isomorphisme, est-ce que ? Et de façon général, ne sera en général pas ? Par exemple, les fleches dans ne sont pas des fleches dans . Est-ce qu' il y a un autre interet, à introduire les catégories duales, que d' éviter de parler de foncteur contravariant, pour toujours pouvoir se ramener à des foncteurs covariants ?

Seconde question, cette fois-ci, bien plus concrète.
J' ai lu (je ne sais plus où) que les morphisme de foncteurs étaient(en gros ) au foncteurs, ce que sont les homotopies aux applications continues. J' ai donc essayé de formaliser ça, en voyant effectivement les homotopies comme des morphismes de foncteurs, où mes foncteurs seraient mes applications continues. Donc pour tout espace topologique , j' ai défini la catégorie dont mes objets sont mes points dans et les morphismes sont mes chemins de à dans . C' est à dire que continue, dont la composition est donnée par la concaténation des chemins et l' identité en tout objet est donné par les chemins constants. Et la je bloque un peu, parce qu' il est facile de voir que toute application continue de dans ( X et Y étant des espaces topologiques) induit un foncteur de vers , mais si je me donne un foncteur de dans , j' obtient bien une application ensembliste de X vers Y, mais je n' arrive pas à montrer qu' elle est continue. En gros j' aimerai bien quelque chose du style :" est continue ssi continue, est continue ", Capturer la continuité de f par la continuité de ( en respectant la concaténation). Vue comme ça, ça sonne faux, mais si je demande en plus que X soit connexe par arcs, ça m' a pas l' air totalement faux. (je crois avoir des contre exemples par exemple si ) Mais j' aimerai bien quelque chose de moins fort que la connexité par arcs( si effectivement c' est juste dans ce cas) est-ce que par exemple, une locale connexité par arcs suffirait ?

Merci, et bonne journée !

[AncMath]

Très bonne question.

Du point de vue de la logique signifie, en fait , ou, si est définissable par une formule , ,

Mmmh, du coup par exemple est ce qu'on peut tester par une formule le fait d'appartenir à l'"ensemble" des groupes, j'imagine que non précisément puisque l'"ensemble" des groupes n'est pas un ensemble.

A vrai dire c'est un "souci" qui est loin de se limiter aux catégories. Par exemple l'énoncé suivant "Dans tout groupe, le neutre est unique" se quantifie comment de manière formelle ?
J'ai un peu honte d'avouer que je ne sais pas, sauf à prendre un chemin de traverse.

[AncMath]

Je crois que je n' ai pas bien compris ce qu' était la catégorie duale d' une catégorie . De façon totalement abstraite, on décide que nos flèches dans sont celles de que l' on retourne ? Mais alors si j' ai qui est un isomorphisme, est-ce que ? Et de façon général, ne sera en général pas ? Par exemple, les fleches dans ne sont pas des fleches dans . Est-ce qu' il y a un autre interet, à introduire les catégories duales, que d' éviter de parler de foncteur contravariant, pour toujours pouvoir se ramener à des foncteurs covariants ?

Non, ne sera pas , ce ne sont pas des morphisme dans la même catégorie ! Un des interets des catégories est justement de fortement "typer" les objets.
Par contre parfois tu peux avoir un foncteur de dans et parfois ce foncteur peur etre une équivalence. Mais c'est assez rare. Par exemple la catégorie des ensembles n'est pas équivalente à son opposée.

Une catégorie opposé c'est une structure associée à une catégorie. Si tu penses à une catégorie en terme de graphe, et c'est pas une mauvaise idée, regarder la catégorie opposée change beaucoup le graphe.

Ca n'est pas une simple commoditié de langage pour evacuer les foncteurs contravariants... D'un autre coté les catégories c'est fait essentiellement pour parler de foncteurs. Et les foncteurs c'est essentiellement fait pour parler de transformations naturelles. Il faut quand même garder cela dans un coin de sa tête.

Seconde question, cette fois-ci, bien plus concrète.
J' ai lu (je ne sais plus où) que les morphisme de foncteurs étaient(en gros ) au foncteurs, ce que sont les homotopies aux applications continues. J' ai donc essayé de formaliser ça, en voyant effectivement les homotopies comme des morphismes de foncteurs, où mes foncteurs seraient mes applications continues. Donc pour tout espace topologique , j' ai défini la catégorie dont mes objets sont mes points dans et les morphismes sont mes chemins de à dans . C' est à dire que continue, dont la composition est donnée par la concaténation des chemins et l' identité en tout objet est donné par les chemins constants.

Malheureusement ta catégorie n'est pas une catégorie. L'identité tel que tu la définies : concaténation avec un chemin constant ne satisfait pas les axiomes de l'identité. Elle n'est pas simplifiable ni a droite ni a gauche.

En gros j' aimerai bien quelque chose du style :" est continue ssi continue, est continue ", Capturer la continuité de f par la continuité de ( en respectant la concaténation). Vue comme ça, ça sonne faux, mais si je demande en plus que X soit connexe par arcs, ça m' a pas l' air totalement faux.

Non, ca ne marche pas non plus avec la connexité par arcs, prend muni de la topologie induite par celle de et prend le cône sur , alors la fonction définie par et n'est pas continue, mais elle est continue en restriction à tout chemin continu de .

[Médiat]

Bonjour,

Mmmh, du coup par exemple est ce qu'on peut tester par une formule le fait d'appartenir à l'"ensemble" des groupes, j'imagine que non précisément puisque l'"ensemble" des groupes n'est pas un ensemble.

On peut tester que l'ensemble x, est un groupe (à condition de bien définir (ce qui n'est pas compliqué) ce que c'est comme objet de ZF).

A vrai dire c'est un "souci" qui est loin de se limiter aux catégories. Par exemple l'énoncé suivant "Dans tout groupe, le neutre est unique" se quantifie comment de manière formelle ?
J'ai un peu honte d'avouer que je ne sais pas, sauf à prendre un chemin de traverse.

Le plus simple en l'espèce est de démontrer cela non dans un groupe, mais pour la théorie des groupes ; ce que l'on a à démontrer est (je considère que l'on travaille dans le langage égalitaire où est un symbole de constante et d'une opération binaire) :


et comme cela aucun "ensemble" n'apparaît.

[slivoc]

Bonsoir,

Effectivement, j' ai été trop vite! Disons que c' est parce que j' avais les homotopies en tête, alors j' ai pensé " à homotopie près" pour avoir un morphisme identité pour chaque objet
Mais en fait ça ne m' arrange pas du tout de penser " à homotopie près", puisque je cherche justement à définir les homotopies comme étant les transformations naturelles entre certains foncteurs qui eux seraient mes applications continues entre espaces topologiques ... Bon, je continuerai à chercher! Merci bien pour tes précisions !

Bonne soirée

[slivoc]

Bonjour !

J' ai une question concernant une preuve. P. 42, on a le théorème du relèvement des applications qui dit :

Soient p : X → B un revêtement,
Y un espace connexe et localement connexe par arcs, et f : Y → B une application
continue. Soient y ∈ Y , b = f(y) et x ∈ p−1(b). Il existe un relèvement e f : Y → X
de f tel que e f(y) = x si et seulement si
f∗π1(Y, y) ⊂ p∗π1(X, x) .

Pour la réciproque de la preuve, l' auteur , pour tout z dans Y, se donne un chemin de y à z et je ne comprends pas comment il peut faire ça ? On sait juste que Y est localement connexe par arcs et connexe. Mais les deux ensembles n' impliquent pas globalement connexe par arcs, non ? Ou bien alors, ils se restreint à chaque composante connexe par arcs de Y sans le dire ?

Si quelqu'un a deux trois pistes, je suis preneur !
Merci et bonne journée !

[AncMath]

Ah ben si ! Connexe et localement connexe par arcs implique connexe par arcs. Les composantes connexes par arcs sont ouvertes par la locale connexité par arcs et donc automatiquement fermées.

[slivoc]

ah oui ! j' aurai du réfléchir un peu plus
Drôle de façon de demander la connexité par arcs !