Montrer que arctanx+exp(-x) n'est pas uniformément continue
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Montrer que arctanx+exp(-x) n'est pas uniformément continue



  1. #1
    VictimairW3b

    Montrer que arctanx+exp(-x) n'est pas uniformément continue


    ------

    salut,

    je sais que cette fonction l'est dans les positifs. Maintenant je ne trouve pas de contre exemple dans les négatifs (je veux prouver qu'elle ne l'est pas sur R). Sinon, il me semble qu'en prenant les suites u et v : -n et -n-1/n

    on a bien que abs( f(v) - f(u) ) ne tend pas vers 0 quand n tend tend vers l'infini mais je ne vois pas du tout comment montrer cela (j'ai vérifié sur geogebra)

    merci beaucoup

    -----
    Dernière modification par VictimairW3b ; 07/02/2024 à 08h40.

  2. #2
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Montrer que arctanx+exp(-x) n'est pas uniformément continue

    Bonjour.

    C'est l'exponentielle qui bloque la continuité uniforme. Avec l'inégalité triangulaire tu peux te débarrasser de l'arctan, puis factoriser exp(-n) et faire un développement asymptotique.

    Cordialement.

  3. #3
    VictimairW3b

    Re : Montrer que arctanx+exp(-x) n'est pas uniformément continue

    merci de votre réponse

    mais avec l'inégalité triangulaire je ne peux pas minorer pour montrer que ça tend vers l'infini

    | arctan(-n) - arctan(-n-1/n) + exp(n) - exp(n+1/n) |

    il faudrait que je minore cela par quelque chose qui tend vers l'infini+

  4. #4
    jacknicklaus

    Re : Montrer que arctanx+exp(-x) n'est pas uniformément continue

    bonjour, un coup de pouce :

    1) quelle est l'image de R par la fonction Arctan ?

    2) dans exp(n) - exp(n+1/n) ne vois tu rien à factoriser ?
    There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Montrer que arctanx+exp(-x) n'est pas uniformément continue

    Il faut un peu de calcul de niveau fin de lycée, début de L1.
    Une remarque encore : exp(n)-exp(n+1 /n) est négatif, et même très négatif si n est grand, alors que le reste tend vers 0 (voir la courbe de Arctan).

  7. #6
    Anonyme007

    Re : Montrer que arctanx+exp(-x) n'est pas uniformément continue

    Bonjour,

    Si est uniformément continue sur et n'est pas uniformément continue sur , alors, n'est pas uniformément continue sur .
    - Tu montres alors que, est uniformément continue sur .
    - Tu montres ensuite que, n'est pas uniformément continue sur .
    - Tu en déduis à la fin que, n'est pas uniformément continue sur .

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