Dérivation d'un produit de plusieurs fonctions ?
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Dérivation d'un produit de plusieurs fonctions ?



  1. #1
    invite42abb461

    Dérivation d'un produit de plusieurs fonctions ?


    ------

    Bonjour,
    a la base ca vient de la page : http://fr.wikipedia.org/wiki/Interpolation_lagrangienne.
    L'auteur décrete que par la formule de leibniz, il trouve une formule générale de la dérivée du produit des x-x_j.
    Ca veut dire que la dérivée de abc, c'est a'bc+ab'c+abc', et ce pour un nombre quelconque de fonctions ? Si c'est vrai j'aimerais savoir le nom de cette formule car pour moi leibniz c la dérivée n-ieme de fg...
    Dans le meme esprit, j'en profite aussi pour demander une formule pour calculer la puissance n-ieme de la somme de k termes, qui doit etre une formule du meme genre...
    MErci

    -----

  2. #2
    invite33bf3f30

    Re : Dérivation d'un produit de plusieurs fonctions ?

    on peut utiliser la formule de dérivation pour 2 fonctions car apres tout : (abc)= (a(bc))'

    (abc)'=a'bc+a(b'c+bc')=a'bc+ab 'c+abc'

    On peut donc le faire avec un nombre quelconque de fonctions a partir de la formule pour 2 fonctions !

  3. #3
    invite4b9cdbca

    Re : Dérivation d'un produit de plusieurs fonctions ?

    Pour la dérivation d'un produit, oui c'est tout à fait ce que tu as dit : (fgh)'=f'gh+fg'h+fgh'
    Tu peux généraliser à n facteurs par une démo par réccurence assez facile.
    Par contre je sais pas s'il existe un nom à cette formule.
    Pour la puissance n-ième de k facteurs, c'est aussi la généralisation du binôme de Newton :
    (a+b+c+d)n=((a+b+c)+d))n, et idem par récurrence sur k tu devrais arriver à une expression assez ignoble.

  4. #4
    invite9c9b9968

    Re : Dérivation d'un produit de plusieurs fonctions ?

    Salut,

    En vrac : il n'y a pas de nom particulier à la formule de dérivation pour un produit de fonctions à plus de deux termes, et de plus leibniz c'est effectivement la dérivée n-ième d'un produit de fonctions, et qui peut être étendu à un produit de p fonctions où p est supérieur ou égal à 2.

    Pour ton dernier point, tu utilises Leibniz généralisé (ce que j'évoque ci-dessus) et c'est gagné.

    EDIT : bon voilà, grillé rouge par les autres

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite42abb461

    Re : Dérivation d'un produit de plusieurs fonctions ?

    Quand vous me dites de démontrer par récurrence, ca sous entend de connaitre la formule. Mais yen a t il vraiment une de connue ?
    Ce qui m'interesse surtout c l'exemple du site, car ca veut dire qu'en dérivant le polynome, on trouve que N'(x_k)=N(x_k) ?Ca me semble chelou...

  7. #6
    invite4b9cdbca

    Re : Dérivation d'un produit de plusieurs fonctions ?

    Alors pour une démo par récurrence, pas besoin de connaitre deformule spécifique : tu peux dériver un produit de n fonctions en utilisant ce que tu sais sur un produit de de 2 fonctions, quand n=3 et n=4, par exemple, et de là tu intuite une loi, ce qui ici n'est pas difficile. Et après tu fais ta récurrence.
    Sinon pour le coup de N'(xk)=N(xk), j'ai pas tout compris. N(xk) = 0, puisque xk est racine de N, mais il n'est pas celui de N', sauf s'il est racine d'ordre 2 de N, mais ce serait une autre affaire...

  8. #7
    invite6de5f0ac

    Re : Dérivation d'un produit de plusieurs fonctions ?

    Citation Envoyé par Gpadide Voir le message
    Ce qui m'interesse surtout c l'exemple du site, car ca veut dire qu'en dérivant le polynome, on trouve que N'(x_k)=N(x_k) ?Ca me semble chelou...
    Bonjour,

    Relis bien le site en question: N s'annule pour tous les xi, ce qui n'est pas le cas de N'. Si N(xk)=0, on n'a N'(xk)=0 que si xk est racine au moins double de N.

    Dans l'expression de N'(xk), le produit porte sur les i≠k, alors que dans l'expression de N(X) tous les indices sont pris en compte.

    -- françois

  9. #8
    invite3e942baa

    Re : Dérivation d'un produit de plusieurs fonctions ?

    Bonjour,

    Dans le meme esprit, j'en profite aussi pour demander une formule pour calculer la puissance n-ieme de la somme de k termes, qui doit etre une formule du meme genre...
    Cette formule, c'est la formule du multinome de Newton :



    qu'on peut aussi ecrire :



    Voila,

  10. #9
    invite42abb461

    Re : Dérivation d'un produit de plusieurs fonctions ?

    waw merci de ressortir ce post un an apres !

  11. #10
    invite3e942baa

    Re : Dérivation d'un produit de plusieurs fonctions ?

    Ah oui, effectivement, j'avais pas vu de quand datait ce post.

  12. #11
    invite42abb461

    Re : Dérivation d'un produit de plusieurs fonctions ?

    Par contre je connais pas ta notation avec les vecteurs dans les coefficients binomiaux...

  13. #12
    invite3e942baa

    Re : Dérivation d'un produit de plusieurs fonctions ?

    En fait justement, c'est pas des coefficients binomiaux, c'est des coefficients multinomiaux (les coefficients binomiaux en sont un cas particulier) :

    k est un multi-indice de taille p (un vecteur) :





    Dans le cas du binome de Newton :





    que l'on note

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