Une simple extension de la conjecture de Syracuse

[lby2lby2]

Bonjour Juzo,

Merci pour ce travail,
Je médite ça...

En référence ce que j'ai trouvé de nieux, c'est Chaos and Fractals - New Frontiers of Science" de Peitgen, Jurgens et Saupe.
-----

[lby2lby2]

Un petit test de Syracuse réel.
u0=32 e.
Capture.jpg

Comparaison avec Syracuse (en orange) n0=IntegerPart[u0].

Capture1.jpg

Quelle que soit la valeur de U0 la suite tend vers 1.0,4.0,2.0

[Juzo]

Un petit test de Syracuse réel.

Sauf erreur vous avez pris comme critère "quand la partie entière est paire/impaire"
Je crois qu'il vaut mieux prendre comme critère "quand l'arrondi est pair/ impair"

[Liet Kynes]

Hélas aussi, ce serait bien que toute suite extraite d'une suite chaotique soit chaotique, mais je crois que ce n'est pas le cas (en tout cas selon ChatGPT).

Salut, "selon ChatGPT" est en maths une référence à proscrire car ChatGPT ne peux pas faire de maths, juste des phrases.. Utilise le pour traduire ou résumer du texte, c'est plus pertinent.

[Juzo]

Salut, "selon ChatGPT" est en maths une référence à proscrire car ChatGPT ne peux pas faire de maths, juste des phrases.. Utilise le pour traduire ou résumer du texte, c'est plus pertinent.

Salut,

La question est de savoir si toute suite extraite d'une suite chaotique est nécessairement chaotique.

Je restais dans le doute, mais c'est vrai que je n'ai peut-être pas assez appuyé les précautions à prendre avec l'avis de ChatGPT sur les maths ! J'ai déjà lu des énormités la part de ChatGPT dans ce domaine*, là j'avoue que je me suis laissé impressionner par ses arguments... en particulier sur le fait qu'une suite extraite pouvait ne plus respecter la propriété de mélange topologique des suites chaotiques (c'est-à-dire qu'une perturbation dans une zone très localisée de l'espace des états pourra entraîner des perturbations dans tout l'espace si j'ai bien compris).

Cet argument m'a paru crédible en pensant à la météo : si on regarde la météo tous les ans à la même date (suite extraite), alors une petite perturbation ne pourra pas entraîner des variations dans tout l'espace des états, car on reste dans une zone localisée de l'espace des états correspondant à la saison où l'on se trouve... Mais est-ce que ce raisonnement est juste ?

*mon énormité préférée est quand je lui ai demandé de me citer une expérience qui donnerait trois issues équiprobables : il m'a répondu "Lancer une pièce car elle peut tomber sur Pile, Sur Face ou sur la tranche" Il avait dû zapper "équiprobables"

[Juzo]

Un petit test de Syracuse réel

Finalement utiliser la partie entière au lieu de l'arrondi est peut être mieux, en tout cas je ne suis pas convaincu que ce "Syracuse réel" ressemble à une suite chaotique qu'en pensez-vous ?

[lby2lby2]

Le Chat KPT ne sais pas faire de raisonnement, mais connait un corpus impressionnant.

[Liet Kynes]

Le Chat KPT ne sais pas faire de raisonnement, mais connait un corpus impressionnant.

Ouais, google aussi mais cela ne raisonne pas.

[Liet Kynes]

Finalement utiliser la partie entière au lieu de l'arrondi est peut être mieux, en tout cas je ne suis pas convaincu que ce "Syracuse réel" ressemble à une suite chaotique qu'en pensez-vous ?

C'est quoi la définition d'une suite chaotique?? car une fois que tu connais comment cela marche, autrement dit le chaos expliqué , il n'y a plus de chaos.

[Juzo]

C'est quoi la définition d'une suite chaotique?? car une fois que tu connais comment cela marche, autrement dit le chaos expliqué , il n'y a plus de chaos.

Je ne comprends pas cette remarque à plusieurs titres, mais encore une fois je ne suis pas calé sur le chaos.

Le livre Chaos et déterminisme donne la définition suivante :

On dit qu'une application X d'un espace X dans lui-même est chaotique si elle respecte les 3 conditions suivantes :
- il y a sensibilité aux conditions initiales (autrement dit il existe un nombre M>0 tel que pour tout e>0 (distance arbitrairement petite) et pour toute condition initiale il existe une condition initiale à la distance e de et un temps tels que et sont à une distance supérieure à M.
- il existe une orbite dense (tout point de l'espace est un point de cette orbite ou est arbitrairement proche d'un point de cette orbite)
- les points périodiques sont denses (tout point de l'espace est soit un point périodique c'est-à-dire appartenant à un cycle, soit il existe un point périodique arbitrairement proche).

C'est donc plus exigeant que simplement du désordre apparent et inexpliqué.

De plus le chaos existe toujours une fois expliqué, puisque la sensibilité aux conditions initiales empêche les prédictions.

Mais bon j'ai déjà entendu la même remarque ventant d'un prof de physique donc j'ai un doute.

[stefjm]

C'est quoi la définition d'une suite chaotique?? car une fois que tu connais comment cela marche, autrement dit le chaos expliqué , il n'y a plus de chaos.

??

Exemple :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_logistique
https://cahier-de-prepa.fr/mp-charle...ownload?id=699

[Liet Kynes]

??

Exemple :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_logistique
https://cahier-de-prepa.fr/mp-charle...ownload?id=699

C'est le mot qui me posait problème je cite : "Cependant, dans le langage des mathématiciens, le mot chaos représente une forte sensibilité aux conditions initiales. Les deux graphiques correspondant à μ = 3.9 avec des valeurs initiales u₀ 0.100 et 0.101 montrent que les trajectoires s'éloignent l'une de l'autre jusqu'à devenir rapidement distinctes. Dans un problème concret les conditions initiales ne sont jamais connues exactement : au bout d'un certain temps, un phénomène chaotique est devenu imprévisible alors même que la loi qui le définit est parfaitement déterministe"

Dans notre cas les conditions initiales sont toujours connues, doit-on parler de chao?

[stefjm]

Je ne sais pas.

[gg0]

Bonjour.

Dans la définition d'une suite chaotique, les conditions initiales sont connues.

Cordialement.

[Liet Kynes]

Bonjour.

Dans la définition d'une suite chaotique, les conditions initiales sont connues.

Cordialement.

Et donc elle est chaotique mais prévisible? (wikipedia = Dans un problème concret les conditions initiales ne sont jamais connues exactement : au bout d'un certain temps, un phénomène chaotique est devenu imprévisible alors même que la loi qui le définit est parfaitement déterministe") -> syracuse c'est un problème mathématique, conditions initiales connues + algorithme déterministe.

[gg0]

Oui, chaotique ne s'oppose pas à déterministe. En maths.

[pm42]

Oui, chaotique ne s'oppose pas à déterministe. En maths.

En effet et c'est aussi parce que dans la réalité, les conditions initiales ne sont jamais connues parfaitement.
Tant qu'on a fait des maths "simples", on n'a pas découvert ce concept de "chaos" ou plus exactement très forte sensibilité aux conditions initiales.

Si je modélise par exemple le tir d'un obus, un petit changement de l'angle ou de la vitesse initiale a un faible impact sur la trajectoire.

Mais si je prend certaines équations différentielles ou des suites comme celle de Julia, c'est très différent.
Un autre exemple célèbre est le problème à 3 ou n corps : les solutions n'ont pas une espèce de "régularité" comme pour les orbites à 2 corps. C'est même de là que nait la théorie du chaos avec Poincaré.

[Liet Kynes]

Merci pour toutes ces précisions, le mot chaos est donc à prendre avec des pincettes en maths: ce n'est pas parce-que c'est le chaos que c'est le bordel.