probleme de notations et de compréhenstion (produit libres)

[La Limule]

Bonjour,
je suis tombé sur ceci (math stack exchange)
https://math.stackexchange.com/quest...-on-the-sphere
Et j'ai à la fois des problèmes avec les notation et avec ce qu'est l'algebre A
le premier probleme est entre la notation dans cette égalité


Comme il y a sommation sur i er j qui indicent des matrices 2x2, Y avec les indices a droite doit etre aussi 2x2.
Mais plus bas il écrit aussi Y comme une matrice 2x2 d'opérateurs a, b et b*
quel est le sens de l'égalité ci dessus?
Il y a aussi le probleme de l'algebre A avec les concaténations
Quand il écrit M1 Y M2 Y M3 il écrit que M1 est une fonction contante sur S2 a valeur matricielle 2x2
en quoi cà peut décire une fonction sur la sphere S2 a valeur matricielle (non constante)?
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[gts2]

le premier probleme est entre la notation dans cette égalité

Pour moi c'est juste l'expression de Y à l'aide de ces composantes, de la même manière qu'on écrit

[gts2]

Désolé, je n'avais pas bien fait attention au contexte de la question, à la vue de Alain Connes, je passe la main.

[La Limule]

Ah ce coté repulsif....
Il reste quand meme le coté mathématique avec les produits libres de groupes
Celui qui a posé la question (et qui y a répondu d'ailleurs)
a écrit une chose intéressnte sur une somme de deux monomes (un élément de l'algebre A) au centre de sa question:
avec e11 Y e11 - e22 Y e22
e11 est une matrice carrée 2x2 avec un 1 en haut a gauche les autres etant nuls
et de meme pour e22 mais en bas a droite
et en prenant y =
a b*
b -a
l'expression donne a Id2
je ne vois cependant pas comment donner un sens à M1 Y M2 Y M3
mais ce n'est peut etre pas nécessaire

[A voir en vidéo sur Futura]

[MissJenny]

je ne vois cependant pas comment donner un sens à M1 Y M2 Y M3

si M1, M2, M3 et Y sont des matrices 2x2 ça doit être tout bêtement le produit matriciel. Il n'est pas commutatif mais il est associatif, si bien qu'on n'a pas à écrire les parenthèses.

[La Limule]

Bonjour Miss.
Quand je lis des articles en anglais certaines traductions en francais me manquent parfois.
Par exemple avec le mot "unit matrix"
C'est une matrice nulle sauf pour un de ses coefficients qui est égal a 1.
c'est le cas pour les e11 et e22 dans les posts précédents.
Comment dit on en français?
ci dessus on mettait Y en sandwich entre deux units.
par exemple e11 =
1 0
0 0
a droite et a gauche de Y =
a b*
b -a
qui est une matrice d'opérateurs

Si a gauche je remplace e11 par
cos(t) 0
0 0

le résultat va etre multiplié par cos(t) et on aura des a cos(t) sur la diaconale
en utilisant une autre concaténation de l'algèbre A
on aurait les opérateurs b et b* remplacés par des b sin(t) exp(i theta) ou b* sin(t) exp(-i theta)
on les ajoute dans l'algebre A et on a les angles déterminant un point sur la sphere unitaire S2
Je comprends mieux aindi
la relation entre Y qui mixe les a b b* et les cos(t) sin(t) et exponentielles complexes
comme "produit" séparés d'opérateurs purs et de matrices de nombres

[gts2]

Quand je lis des articles en anglais certaines traductions en francais me manquent parfois.
Par exemple avec le mot "unit matrix". C'est une matrice nulle sauf pour un de ses coefficients qui est égal a 1.

Non cela est une matrix unit : wikipedia ; unit matrix est la matrice identité
Pour matrix unit, on trouve matrice élémentaire.

[La Limule]

merci gts2 pour la traduction.

[La Limule]

Il y a un autre poin délicat:
Il écrit que vu les hypothèses et que a b et b* commutant
l'algèbre générée est un ensemble de fonctions continues sur un ensemble X.
Jusque là ca va, mais ensuite il écrit que X doit etre compact, puis que X = S2.
Tout d'abord pourquoi la compacité?

[La Limule]

Sur le meme site
une question interessante à propos des algébres commutatives (comme celle générée par a b et adjoint)
et les fonctions continues C(X)
https://math.stackexchange.com/quest...gebra-of-funct

[MissJenny]

j'ai l'impression que plusieurs notions sont un peu mélangées. Quand tu considères des matrices d'opérateurs, il s'agit de matrices sur un anneau d'opérateurs d'un espace vectoriel. Dans cet anneau la multiplication est la composée. D'ailleurs cet anneau n'est pas commutatif. Maintenant quand tu parles de l'algèbre C(X,R) des fonctions continues de X dans R, le produit est le produit des fonctions hérité du produit de R et c'est un anneau commutatif. Le lien entre les deux n'est pas clair pour moi.

Tu devrais je crois écrire les choses explicitement et pas juste faire allusion à "une algèbre..." et d'ailleurs je pense que tu gagnerais à étudier ces question dans un livre et pas en visionnant des vidéos, dans lesquelles justement les définitions ne sont pas toujours explicitées.

[La Limule]

Il est tout à fait possible que l'article écrit par Octonion sur stack exchange pose problème.
Tout ce que j'écris éssaie de coller au plus près à sa réponse et de la comprendre.
Tes critiques me sont adréssées ou alors à la réponse d'octonion?
Tant mieux si elles le sont à moi car tu aurais mis le doigt sur
un truc que j'aurais loupé. et que tu pourrais éclaircir.
Se serait plus génant si stack exchange contenait des erreurs non rectifiées.

[La Limule]

Tu dis qu'il y a un probleme avec les multiplications de matrices. en disant qu'elles ne commutent pas toutes
c'est vrai mais certaines (diagonales) commutent.
Tu parles ensuite des fonctions C(X) qui elles commutent. Un point de détail : elles sont à valeurs complexes pas réelles.
De la meme facon qu'il y a des matrices qui commutent,
quand Octonion parle des matrices 2x2 d'opétateurs
a b*
b -a
il ne les considére pas toutes, uniquement celles ou a est hermitien, ou le carré de ces matrices donne l'opérateur identité. ca implique que alors a, b et b*commutent tout comme les produits de fonctions sur un espace X
a valeurs complexes. D'une facon générale ce sont avec des fonctions C0(X) s'annulant a l'infini.
Il y a un theoreme qui dit que ces fonctions sont a support compact ssi l'algebre stellaire commutative possede
un élément unité pour la multiplication. et c'est le cas ici avec les conditions imposées
on a bb* + a^2 = id
Quel est le but cherché?
Tu auras remarqué que jusqa préent on n'a pas parlé de la sphere S2.
Au départ X cà pouvait etre le plan R^2, mais il faut en considérer un sous ensempbe compact
il y des compactifications possibles : celle qui donne un 2 tore et une qui donne une 2 sphere (S2)
il a choisi S2 (peut etre que le tore pose probleme)
Ces fonctions ne sont pas le point d'arrivée puisqu'on veut des applications définies sur S2 a valeurs matricielles 2x2
Il reste a comprendre la suite mais on a fait apparaitre S2 c'est déja une chose.

[La Limule]

Un peu plus loin on parle d'harmoniques sphériques.....
Et là je patauge complètement.
De quoi parle t il par rapport a S2?
On a bien avec l'atome d'hydrogene les orbitales 1s 2s
Y a t il un rapport ??????

[La Limule]

C'était une mauvaise idée ces orbitales de l'hydregène.
avec ses harmoniques sphériques,
il doit plutot parles des matrices
cos (nt) ::: sin (nt) exp (-i tau)
sin (nt) exp (i tau) ::: -cos (nt)
dont on a vu que pour n = 1 la matrice etait autoadjointe de carré = identité.
il en est de meme pour n > 1 (d'ou le terme harmoniques)
il reste a voir comment des concaténations permettent d'évoluer
parmi ces "harmoniques"

[gg0]

Voir Wikipédia "harmoniques sphériques".

Pour lire des textes de ce genre, il faut avoir les connaissances préalables, c'est à dire des connaissances de troisième cycle, dans plusieurs domaines.

[La Limule]

Qui les a ici ?

[La Limule]

Je n'ai sans doute pas le niveau requis mais j'aimerais quand meme signaler
que sur math stack exchange, je suis habilité à mettre des +1
sur les questions , réponses.

@gg0 Aurais tu parmi tes relations quelqu'un qui pourrait clarifier
tout çà?
bon week end

[gg0]

"Qui les a ici ? " Probablement pas grand monde, d'autant que le forum "MATHS" a de moins en moins de participants. En tout cas pas moi.
Et je n'ai jamais eu, "parmi mes relations", des spécialistes de ces domaines.

Bon week-end.

[La Limule]

On s'intéresse aux fonctions définies sur la sphère S2 a valeur dans les matrices complexes 2x2
Cet ensemble peut etre noté

Avec cette notation est il possible d'indiquer que ces fonctions sont continues?
Sans doute avec un C, mais ou?

[gg0]

Bonsoir.

J'ai un doute sur le . Si c'est , pas de problème, est l'ensemble des matrices sur l'ensemble des complexes. Et est l'ensemble des fonctions de dans . Dans ce cas, il n'est noté nulle part que ces fonctions sont continues (mais ça pourrait avoir été précisé par ailleurs, on ne peut pas compliquer les notations).

Cordialement.

[La Limule]

A la fin quand il parle de ces fonctions de S2 à valeurs matrices complexes 2x2
il utilise la notation
Pour moi le otimes c'est pour le produit tensoriel
Que penses tu de sa notation?
Je commence à penser que vers la fin de sa réponse, il ne démontre rien en fait.

il faudrait démontrer que pour toute fonction sur S2 du type ci dessus
il existe un élément de l'algèbre A générée pas les monomes (des sommes et des concaténés)

Une remarque:
les matrices complexes M1 M2.... ne contiennent aucune information sur
des régions de S2, jusst 4 nombres. ces informations se trouve dans les Y
qui sont des matrices contenant des cos et sin de (m phi) et des
exponentielles de (i n theta)
Ca doit etre ce qu'il appelle les harmoniques sphériques.

[gg0]

Je n'en pense rien, je n'ai aucune envie de reprendre des études d'algèbre. Ce sujet ne m'intéresse pas.

[La Limule]

RIP RIP RIP hourah forum des maths
ton agonie fut longue et tu mourus dans l'indiférence.

[gg0]

Facile de dire ça, tu y apportes quoi en dehors de demander aux autres de te dire ce que tu ne cherches pas à apprendre ? Le forum ne te doit rien. Les intervenants ne sont pas tes employés, même pas ceux du forum, ils sont simplement des volontaires pour répondre aux questions qu'ils peuvent traiter.

C'est bien joli de s'attaquer à des sujets de mathématiques qui dépassent largement ses compétences, mais quand on ne comprend pas, le reprocher aux autres est une bizarre façon de faire.