connexité par arcs de l’extérieur d’une boule en dimension infinie

[enimath]

Bonjour,
on sait classiquement qu’en dimension infinie l’extérieur d’une boule est connexe par arcs. Intuitivement on a envie d’en dire de même pour la dimension infinie mais je crois qu’en dimension infinie, il y a des «*trous*» comme disait mon prof de spé.
Est ce que quelqu’un aurait un contre exemple s’il vous plait ?
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[GBZM]

Bonsoir,
Prenons deux points à l'extérieur d'une boule centrée à l'origine. Ces deux points sont contenus dans un plan vectoriel, et il suffit de trouver un chemin continu joignant ces deux points en restant en dehors de la boule dans cet espace de dimension 2.

[enimath]

bonsoir,
Merci pour votre réponse effectivement vous aviez raison le résultat est vrai mais je n’ai pas bien saisi votre démonstration. Pour le montrer on peut remarquer que les sphères sont connexes par arcs en dimension quelconque plus grande que 2. Donc si x et y sont sur une meme sphère centrée c’est bon, sinon on s’y ramène en reliant y à son projeté sur la sphère centrée contenant x ie. y.||x||/||y||).

[GBZM]

J'ai simplement remarqué que même si l'espace ambiant est de dimension infinie, il suffit de se placer dans un plan vectoriel. Et l'intersection d'une boule avec ce plan vectoriel est une boule pour la norme induite.

[A voir en vidéo sur Futura]

[enimath]

ok merci beaucoup