Continuité Convergence Normale. Besoin de vérifier ma preuve

[cheezburger]

Bonjour,

J'ai un exercice avec une preuve que j'ai rédigée à l'aide de propriétés dont je dispose dans mon cours de MP. Je souhaiterais que quelqu'un puisse me dire si ma preuve tient la route ou si cela pèche quelque part.

Soit E un K-evn de dimension finie, L(E) désignant l'ensemble des endomorphismes de E, démontrer que exp :



est continue.



Proposition de preuve

Par continuité de toute application linéaire sur l'espace de dimension finie E, on a par linéarité et composition d'applications continues, la continuité de l'application sur E.

Montrons par récurrence sur que l'application est bornée au voisinage de tout point de E.

Soit et . On a et il est clair que est bornée sur la boule fermée , c'est-à-dire au voisinage de x, donc au voisinage de tout point de E (car j'ai préalablement pris x quelconque : si ça marche pour un voisinage de x ça marche pour tous les voisinages).

Supposons que l'on ait tel que soit bornée au voisinage de tout point de E.
Montrons donc que est bornée au voisinage de tout point de E.
Soit et , en dimension finie, la boule fermée est un compact. La fonction linéaire qui est continue sur E de dimension finie, est donc continue sur le compact . Elle y est donc bornée et atteint ses bornes.
Ainsi, l'application est bornée au voisinage de , donc au voisinage de tout point de E.
Par composition de deux applications bornées au voisinage de tout point de E, en utilisant l'hypothèse de récurrence, on obtient que est bornée au voisinage de tout point de E.

Ainsi, tel que : ,

(la norme désigant la norme infinie classique pour une application, soit le sup sur E de la norme associée à E de l'application a)

soit encore : .

Il est clair que la série converge normalement, puisque converge (règle de d'Alembert). Par continuité des fonctions pour tout , on obtient la continuité de exp a = .


Principales propriétés du cours utilisées

1. Soit E et F 2 K-evn. Si E est de dimension finie, alors toute application linéaire de E dans F est continue.

2. La somme (finie) et la composition d'applications continues est continue.

3. Les parties compactes d'un ev de dim finie sont ses parties fermées bornées.

4.Toute application continue sur un compact A dans lR est bornée et atteint ses bornes.

5.Toute série de fonctions u[n] continues qui converge uniformément au voisinage de tout point d'un evn E de dim finie, admet une somme continue.


Merci d'avance.
-----

[gg0]

Bonjour.

Un problème : borné au voisinage de tout point de E ne permet pas de dire que c'est borné sur E.
Par exemple la fonction réelle x--> x est bornée au voisinage de tout réel, mais n'est pas bornée.

Cordialement.

[cheezburger]

d'accord mais, l'inégalité obtenue après mon raisonnement par récurrence :



n'est pas vraie sur E mais au voisinage de chaque point de E (en prenant la norme infinie sur des boules fermées qui contiennent à chaque fois le point considéré).

Cela permet si je ne me trompe pas d'établir tout de même la convergence normale au voisinage de tout point de E.

Et d'après un corollaire du cours "si les fonctions a[k] sont continues et si la série Σa[k] converge uniformément au voisinage de tout point, alors la somme est continue."

Donc je suppose que ce que j'ai fait suffit pour montrer la continuité... Enfin je pense.

[gg0]

Je ne sais pas ... tu utilises une norme non précisée ( et c'est déjà le cas dans l'énoncé de départ), puis une norme infinie non caractérisée, et enfin un M dont on ne sait pas d'où il sort.
Je ne suis pas assez spécialiste de ce domaine pour donner un quitus ou un refus, mais j'ai des doutes. Il est possible qu'un autre, meilleur connaisseur, puisse le faire.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[MissJenny]

en dimension finie toutes les normes sont équivalentes, donc on peut en choisir une qui simplifie le problème.

[gg0]

Il reste quelques problèmes. par exemple, les a sont des applications linéaires, donc il faut utiliser une norme d'application, ou bien choisir une norme sur L(E) qui est, effectivement (*) un espace vectoriel réel ou complexe (??) de dimension finie. Mais alors, c'est quoi, cette norme infinie ? Et ce M, d'où sort-il ? Car ce qui est borné, c'est chacun des a^k, pas l'ensemble des ||a^k||.
Plus j'y réfléchis, moins je vois l'intérêt du début ("borné au voisinage de n'importe quel élément de E") pour la suite.

Cordialement.

(*) j'avais malencontreusement raté le "de dimension finie" au début de l'énoncé. Je le soupçonnais seulement.

[cheezburger]

Déjà à ceux qui sont intervenus, merci de vous être penchés sur la question et d'avoir pris du temps pour me répondre.

E est un lK-evn de dimension finie et lK = lR ou C.

Je pense que vous avez raison gg0, il y a un problème dans les normes. Oublions cette norme infinie.

Pour synthétiser, la démo que j'essaie de vous faire valider (ou non) s'articule en 3 points :

1. La continuité de la somme partielle de la série, qui découle de la continuité de tout élément de L(E) puisque L(E) est un lK-evn de dim finie également.

2. Le raisonnement par récurrence pour montrer in-fine que les a^k sont bornées au voisinage de tout point x.

a) Je ne me suis pas posé la question pendant l'exercice car tout se passe en dimension finie, mais j'imagine que l'on prend une norme quelconque de L(E). Notons la ll ll, la norme de L(E)

b) J'utilise des voisinages de x car je ne sais pas comment montrer que les a^k sont bornées sur E. En revanche je sais le faire sur tout voisinage de tout point x de E (grâce à la compacité des boules fermées et des applications continues sur des compacts qui sont bornées).

3. Une fois que j'ai montré que tous les a^k sont bornées au voisinage de tout point x, j'ai donc lorsque je fixe un x :

l'existence d'un réel r>llxll (je note également ll ll la norme de E), et sur la boule fermée , l'inégalité :

tel que :

Le M étant donc un majorant réel de la norme de l'application sur la boule . Un tel M existe par somme des applications qui sont bornées sur cette même boule.

Pour moi, dire que a est bornée sur signifie que pour tout x de on a lla(x)ll<M.

Ainsi je pourrais réécrire les inégalités précédentes en utilisant une norme de E (encore notée ll ll) :

tel que :

Ayant ces inégalités au voisinage de tout point x (j'ai conscience que le réel M choisi précédemment n'est valable qu'au voisinage du x fixé, mais comme je peux trouver un tel réel au voisinage de tout point x de E, je peux toujours trouver un tel réel qui majorera ma somme partielle en tout voisinage de tout point), j'obtiens la convergence normale de la série au voisinage de tout point x (c-a-d sur la boule B[F](0,r)).

Et c'est enfin là que j'utilise la dernière propriété de mon cours (je ne refais pas la démo ici) : "si les fonctions a[k] sont continues et si la série Σa[k] converge uniformément au voisinage de tout point, alors la somme est continue."

C'est donc tout à la fin qu'on comprend pourquoi je n'ai travaillé que sur des voisinages de x.


Voilà, je ne sais pas si c'est bon, si tout ceci est acceptable.

[cheezburger]

Il y a un problème avec le M désolé je dois reprendre

[gg0]

OK.

"je ne sais pas comment montrer que les a^k sont bornées sur E" : Tu ne risques pas ! la seule application linéaire bornée sur E est l'application nulle. Déjà en dimension 1, les applications sont de la forme x--> ax qui ne sont bornées que si a=0.

Ensuite, ton M ne dépend pas de x, puisque tu parles des a^k. Par contre il dépend de n. Et je ne vois toujours pas en quoi ça a un rapport avec les normes.

Voilà, tu as repris jusqu'à "j'ai donc lorsque je fixe un x :" et je ne vois pas de problème, mais je ne comprends pas la suite, d'ailleurs, tu définis le "borné" à partir de "lla(x)ll<M" (ce n'est plus le même x), pas à partir de ||a||. Par la suite, tu passes de

à


ce qui est manifestement faux.


Je pense qu'il va falloir revoir ça, définir clairement la norme que tu emploies sur les a^k et justifier l'existence de ce M. Il serait bon aussi de différencier la norme sur E (on peut la noter ||.||, et prendre celle qu'on veut) et la norme sur L(E), et connaître le rapport entre les deux.

Cordialement.

NB : En général, on traite le plus souvent les exponentielles de matrices, et en lien avec la réduction des endomorphismes.

[cheezburger]

"Ensuite, ton M ne dépend pas de x, puisque tu parles des a^k" Oui mais je parle des a^k sur la boule fermée qui est un voisinage du x que l'on a fixé préalablement. Donc le M trouvé (que je dois encore définir mais j'y travaille) dépend de ce x non ?

[gg0]

C'est bien là qu'il y a problème puisque ta majoration ne fait pas intervenir x.

[cheezburger]

J'ai repris entièrement l'exercice.

Je pense que le problème était que j'avais basé mon étude au voisinage d'un point de E, ce qui ne me permet pas d'aboutir, alors que je dois plutôt le faire au voisinage d'un point de L(E).

Je ne doute pas qu'il y ait plus court, mais j'ai besoin que cette solution vienne de moi. Voilà ce que je propose :

Pour k∈lN posons :

, il est évident que (c'est le cas en particulier pour ). Puisque toute application linéaire est continue sur un ev de dim finie, on en déduit que les a^k sont continues sur E, donc les sont continues sur E.

On peut munir L(E) d'une norme ll ll sous-multiplicative. On peut choisir par exemple la norme classique d'application linéaire :

,

où désigne une norme quelconque de E.

est bien définie puisqu'en dim finie, a∈L(E) est nécessairement continue et une propriété du cours nous dit qu' en dim finie, a∈L(E) est continue ssi , ce qui prouve l'existence de .

N'ayant jamais manipulé cette application, je montre que ll ll est une norme et qu'elle est sous-multiplicative, ce qui ne m'a pas paru si évident :

• 

• 

• 

• , on a et ,
  
  donc
  
  et comme pour tout x∈Ker u \ {0} on a aussi l'inégalité précédente, on en déduit :
  
  

Soit et un réel Alors :

(*)

Les applications sont donc bornées sur

Intermède : (Attention j'utilise ici des notations générales de mon cours, indépendantes de l'exercice) D'après la définition de la convergence normale (CVN), pour montrer que Σu[n] CVN où dans mon cours les u[n] sont des fonctions d'une partie A d'un lK-evn E de dim finie à valeurs dans un lK-evn F également de dim finie, il faut montrer que les u[n] sont bornées (ce que j'ai fait plus haut), mais aussi que la série ΣNoo(u[n]) converge, ou la norme infinie Noo est définie par : qui est la norme infinie sur associée à la norme ll ll de E ( désignant l'ev des applications bornées de A dans E).

Revenons à l'exercice, L(E) joue le rôle du E de l'intermède, ll ll désigne la norme sous-multiplicative de L(E), joue le rôle du A de l'intermède et F=L(E) ici. Ce que je veux faire alors, c'est déterminer cette norme infinie dans le cas de mon exo. Pour des applications usuelles de lR dans lR c'est une norme connue mais pour une application de L(E) dans L(E) beaucoup moins pour moi.

Ainsi, pour toute application bornée (pour la norme d'endomorphisme de E : ll ll) , notons la norme associée à ll ll définie par :

(L'application d'endomorphismes de E, u est bornée pour ll ll signifie que tq pour tout endomorphisme , plus précisément ici, , donc existe et est donc bien définie. Montrons qu'il s'agit bien d'une norme sur l'ev .

• , on a:
  
  

• , on a :
  
  

• , on a:
  
  
  
  Donc

Finalement, d'après l'inégalité (*) établie précédemment, , on a :

Or, puisque converge, alors converge, c-a-d CVN sur . Puisque est un voisinage de a, on en conclut que Σu[k] CVN au voisinage de tout point de L(E).
Par continuité des applications u[k], on en déduit la continuité de la limite de la série Σu[k] d'où la continuité de l'application exp sur L(E).

[gg0]

Bonjour.

Ça commence mal :

donc les sont continues sur E.

Petit problème, les ne sont pas définies sur E mais sur L(E).
Par contre ce qui est élémentaire ici c'est que est continue sur E.

J'ai vaguement regardé la suite, la preuve que la norme d'application linéaire est sans intérêt, c'est du très classique.
Pour la suite, je laisse des experts faire l'analyse, mais il manque la continuité des .

Cordialement.

[cheezburger]

Oui, effectivement, misérable erreur de ma part c'est u[k](a) qui est continue sur E je n'ai en rien prouvé que u[k] est continue sur L(E). Vos interventions m'aident beaucoup.

Pour la continuité des u[k] je propose une récurrence comme suit :

u0 : a -> IdE est continue sur L(E) car c'est une application constante.

u1 : a-> a = IdL(E) or l'identité est une application linéaire ici sur l'ev de dim finie L(E) (dim L(E) = (dim E)^2). Donc u1 continue.

supposons u[k] continue

Alors est continue sur L(E) comme composée d'applications continues sur L(E).

[cheezburger]

pour u[k+1] ma récurrence est fausse

[cheezburger]

je pense que la récurrence ne marchera pas... Il va falloir passer par des fonctions coordonnées dans une base de L(E) pfff je pleure déjà

[cheezburger]

Continuité par lipschitziannité avec la norme sous-multiplicative ll ll de L(E) :

Soit a et b 2 éléments de L(E) pour n entier naturel quelconque, on a :



Est-ce cela ? Je demande car c'est loin d'être évident pour moi perso les applications d'applications à manipuler.

[cheezburger]

Ça ne marche pas non plus à 1ère vue, j'ai une constante de Lipschitz qui n'en est pas une car elle dépend de a et b

[cheezburger]

Aller je lâche l'affaire avec cet exo je n'ai pas le niveau.

[gg0]

Bonjour.

Tu sembles avoir été un peu vite, en effet. Il me semble que cet exercice nécessite une bonne connaissance des normes d'applications linéaires et de leur lien avec les valeurs propres. Sauf erreur de ma part, il faut travailler avec K=C (le cas K=R s'en déduit) et la norme est alors le module de la plus grande valeur propre. Sous réserve, car je suis un peu léger en algèbre.

Cordialement.