bonjour à tous,
dans la notion de connexité par arcs d'un espace topologique E, et dans les questions d'arcs en général, on appelle arc une application continue de l'intervalle réel [0,1] dans E. Mais on pourrait après tout prendre comme ensemble de départ l'intervalle [0,1] de Q, et on obtiendrait une notion de connexité par arcs différente. Est-ce que quelqu'un sait si cela a été étudié?
Bonjour,
Sauf erreur de ma part, toute application dese prolonge continûment en un chemin continue ,
Dernière modification par Anonyme007 ; 03/04/2026 à 11h19.
Il y a aussi un souci dont je me souviens d'une lecture sur les tentatives d'exprimer la physique dans Q: pour la topologie induite de celle de Q (qui est sa topologie de l'ordre), l'intervalle [0,1] (celui de Q) n'est pas compact! Ce simple fait est à l'origine de toute une série d'obstructions qui rendent la chose très difficile. J'ai un peu oublié la preuve (ils construisaient un recouvrement ouvert et montraient qu'aucune recouvrement fini ne pouvait en être extrait).
Petite digression: la situation en physique est curieuse et en apparence paradoxale: la physique expérimentale n'utilise que des nombres rationnels mais la physique théorique a besoin des réels. Cela vient du fait que dans la théorie on se place dans un monde supposé "exact" dont les expériences ne fournissent qu'une approximation car elles sont de nature finie (finie dans l'espace et le temps et aussi en fréquences, en énergie etc) et on fait l'hypothèse implicite que la théorie exacte peut en principe être atteinte par des limites. Or Q ne se comporte pas bien pour la prise de limites. C'est d'ailleurs pour une raison semblable que dans certains domaines de la physique (en physique quantique) on a besoin de l'intégrale de Lebesgue alors qu'un ingénieur qui construit des avions peut se contenter de l'intégrale de Riemann.
dans la même veine, je m'étais demandé si on ne pourrait pas modéliser la géométrie plane par l'espace Q^2 plutôt que R^2. Je suppose que dans ce cas on aurait des droites non parallèles mais qui ne se coupent pas et d'autres phénomènes étranges. Je me demande si quelqu'un s'est penché sur cette question , ou bien s'il est tellement évident que ça ne fonctionne pas que personne ne l'a fait.
Pythagore et son école ont essayé, ils ont eu des problèmes.
Mais sérieusement, si on fait la partie non métrique, on doit pouvoir formuler quelque chose. Par exemple de la géométrie projective?
Hilbert, dans ses "fondements de la géométrie" (mon exemplaire: Dunod 1971), divise les axiomes en 5 groupes et le cinquième est appelé "continuité".
Le premier axiome de continuité ne pose pas de problème, c'est l'axiome d'Archimède: "Si AB et CD sont deux segments quelconques, il existe un nombre entier n tel que le report du segment CD répété n fois à partir de A sur la demi-droite déterminée par B conduit à un point situé au delà de B". Q est archimédien, donc OK.
Le second axiome est celui de l'intégrité linéaire et je crois que c'est là que ça coince. Un peu long pour le recopier, mais en gros il dit que l'ensemble des points d'une droite n'est susceptible d'aucune extension. Je pense qu'il est clair que cela permet la construction des irrationnels. Il démontre aussi que cet axiome est indépendant de celui d'Archimède.
La question, c'est quelles conséquences entraîne l'abandon de cet axiome. Dans ses commentaires et appendices, Hilbert examine divers cas de géométrie non euclidienne et non archimédienne, mais rien sur l'intégrité linéaire.
Dernière modification par ThM55 ; 04/04/2026 à 10h51.
Bonsoir,
Si
Le problème n'est pas avec les droites : si A, B, C et D sont des points de Q2 alors les droites (AB) et (CD) sont parallèles dans R2 ou sécantes dans Q2.Envoyé par MissJenny
Mais on a un problème avec les cercles.
En particulier il n'y a pas de triangles équilatéraux dans Q2.
oui tu as raison : la position de l'intersection de deux droites est solution d'une équation linéaire. Si tous les coefficients sont rationnels la solution est rationnelle. Mon intuition était fausse.
Pour être clair : NON !Sauf erreur de ma part, toute application de
Prendre
N'importe comment, rien n'assure que
Qu'est ce qu'il faut ajouter comme condition pour que ça devient vrai ?
Voici ce que dit le théorème de prolongement en vérifiant tout à l'heure mes cours de mathématiques :
Soient
Si
Donc, il faut ajouter beaucoup de conditions pour que ça marche.
Ben oui ! Il faut un espace complet pour que le prolongement par continuité puisse se faire. Vois-tu pourquoi ?
La complétude de
Pourquoi ? Donne une raison mathématique, pas une vague idée.
NB : Il n'y a pas de "trou" dans
Dernière modification par gg0 ; 08/04/2026 à 11h03.
Selon d'anciens souvenirs de mes études, si une fonction entre espaces métriques est uniformément continue elle applique une suite de Cauchy sur une suite de Cauchy (m,n > N => |u_n-u_m| < d => |f(u_n)-f(u_m)| < e car continuité uniforme). Ce ne serait pas ça la raison?
il n'y a pas besoin de chercher bien loin : il suffit de considérer l'identité de Q dans Q. Selon Anonyme007 elle se prolongerait en une fonction continue de R dans Q, ce qui est impossible.
La fonction que j'ai décrite est continue d'une partie dense de l'espace métrique
Exercice pour gg0 : montrer que ma fonction
Indication : si elle ne l'était pas, en quel point de
Dernière modification par GBZM ; 08/04/2026 à 17h41.
Effectivement, elle est bien continue en tout point de de. J'ai moi aussi une idée intuitive malsaine de la continuité ("saut"=discontinu).
Cordialement.
