Densité dans un groupe totalement discontinue.

[Anonyme007]

Bonjour à tous,

On sait tous que la droite réelle se caractérise par la propriété dite : Densité de dans , et qui affirme que, pour tous réels ( en particulier, et sont très proches l'un de l'autre ), il existe toujours un rationnel , tel que, .

Est ce que les groupes totalement discontinues ( ex. Groupes - adiques comme , Sous - groupes de symétrie d'arbres, , où, est un arbre, ou un immeuble de Bruhat-Tits, Groupes discrets, groupes profinis ... etc ) ont cette propriété particulière de densité qui caractérise ? Si la réponse est non, comment le démontrer ?

Merci d'avance.
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[gg0]

Bonjour.

C'est quoi, " < " dans un groupe topologique ?

[Anonyme007]

Bonjour gg0,

Oui, l’absence de relation d'ordre dans un groupe topologique en général, pose problème. Néanmoins, je pense que la notion de densité qui caractérise la droite réelle est assez abordable même en ignorant une relation d'ordre. Autrement dit, est ce que, entre deux éléments distincts , d'un groupe totalement discontinue, il existe toujours un élément placé entre les deux ?.

Donc, on peut ignorer l'ordre qui arrange deux éléments et d'un groupe totalement discret, et au lieu d'écrire , on se contente d'écrire, . Voila.

Bref, je répète : Est ce que, entre deux éléments distincts , d'un groupe totalement discontinue, il existe toujours un élément placé entre les deux, sans forcément évoquer la notion d'ordre ?

Merci d'avance.

[pm42]

un élément placé entre les deux, sans forcément évoquer la notion d'ordre ?

Comment on définit "placé entre les deux" si on n'a pas d'ordre ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Anonyme007]

Comment on définit "placé entre les deux" si on n'a pas d'ordre ?

Un élément d'un groupe totalement discontinue est placé entre deux éléments , si, , tel que, est un voisinage ''clopen'' de , et est un voisinage ''clopen'' de .

Merci d'avance.

[MissJenny]

Ta question est : à quelle condition un groupe G totalement ordonné contient un sous-groupe isomorphe à Q tel que la propriété que tu énonces pour R soit vérifiée. C'est bien ça?

[Anonyme007]

Ta question est : à quelle condition un groupe G totalement ordonné contient un sous-groupe isomorphe à Q tel que la propriété que tu énonces pour R soit vérifiée. C'est bien ça?

Non. Je parle de groupes totalement discontinues, et non, de groupes totalement ordonnés. Il y a une grande différence.

[MissJenny]

pour un groupe non muni d'un ordre total je ne vois pas ce que ta question signifie.

[gg0]

Un élément d'un groupe totalement discontinue est placé entre deux éléments , si, , tel que, est un voisinage ''clopen'' de , et est un voisinage ''clopen'' de .

Merci d'avance.

Si "clopen" veut bien dire "ouvert et fermé", alors tout élément de G est entre x et y puisque G lui-même est un voisinage ouvert et fermé de x ou de y.
Peux-tu réfléchir un petit peu avant de poser des questions ?

[Anonyme007]

Tout élément de G est entre x et y puisque G lui-même est un voisinage ouvert et fermé de x ou de y.

Je n'arrive pas à te suivre. Peux tu détailler ? Merci.

[pm42]

Je n'arrive pas à te suivre. Peux tu détailler ? Merci.

Sais tu ce qu'est un voisinage ? Que dans beaucoup d'espaces topologiques, l'ensemble entier lui même est le voisinage de n'importe quel point ?
Donc que ta définition ne fonctionne pas.

Cela donne l'impression que tu travailles à l'intuition et que tu crois qu'un voisinage, c'est "proche du point". Ce n'est pas du tout le cas.

Et on en revient à ce qu'on disait : comment définir "entre x et y" sans ordre. Si on applique ta définition par exemple dans R, on a 1 qui est entre 2 et 3.

[gg0]

Comme souvent, l'anonyme pose des questions sur des notions qu'il ne connaît pas, qu'il n'a pas cherché à comprendre, mais se croit intelligent parce qu'il relie entre eux des mots mathématiques.

[Anonyme007]

Sais tu ce qu'est un voisinage ? Que dans beaucoup d'espaces topologiques, l'ensemble entier lui même est le voisinage de n'importe quel point ?
Donc que ta définition ne fonctionne pas.

Cela donne l'impression que tu travailles à l'intuition et que tu crois qu'un voisinage, c'est "proche du point". Ce n'est pas du tout le cas.

Et on en revient à ce qu'on disait : comment définir "entre x et y" sans ordre. Si on applique ta définition par exemple dans R, on a 1 qui est entre 2 et 3.

Ce que je n'arrive pas à comprendre est quant gg0 affirme : puisque, est un voisinage ouvert et fermé de ou de , alors, Tout élément de est entre et .
Je ne comprends pas comment il fait pour dire ça ?

Edit : Ah d'accord. Il utilise la définition suivante :
Un élément d'un groupe totalement discontinue est placé entre deux éléments , si, , tel que, est un voisinage ''clopen'' de , et est un voisinage ''clopen'' de .
Ok.

[pm42]

Ce que je n'arrive pas à comprendre est quant gg0 affirme : puisque, est un voisinage ouvert et fermé de ou de , alors, Tout élément de est entre et .
Je ne comprends pas comment il fait pour dire ça ?

Tu as vraiment du mal à comprendre qu'il a repris la définition que tu as donné toi même plus haut et cité pour montrer qu'elle ne tenait pas la route ?

[pm42]

Comme souvent, l'anonyme pose des questions sur des notions qu'il ne connaît pas, qu'il n'a pas cherché à comprendre, mais se croit intelligent parce qu'il relie entre eux des mots mathématiques.

Oui mais j'avoue avoir toujours du mal à le voir citer autant de choses et clairement n'avoir pas compris les concepts les plus élémentaires. Il y a quelque chose de surréaliste en mode "écriture automatique" dans ses messages.

[Anonyme007]

La définition que j'ai fourni plus haut n'est pas une définition formelle admise par les scientifiques.
C'est juste un moyen éventuel que j'ai proposé pour remédier au problème de l'absence d'une relation d'ordre dans un groupe topologique en général.

[gg0]

Tu es vraiment de mauvaise foi ! Dans ma réponse, il y avait ta définition (absurde), en fait, depuis le début, tu avais oublié que "entre" correspond à une relation d'ordre, donc un groupe ordonné, alors que tu parlais de groupe topologique. Que c'est niais ! (*)

(*) pour ceux qui seraient étonnés de ma réaction, je précise que ça fait 15 ans que je le vois faire ça sur différents forums, et qu'il continue bêtement de poser des questions de niveau master sans aucune maîtrise des notions élémentaires.

[pm42]

La définition que j'ai fourni plus haut n'est pas une définition formelle admise par les scientifiques.
C'est juste un moyen éventuel que j'ai proposé pour remédier au problème de l'absence d'une relation d'ordre dans un groupe topologique en général.

Tu te fous vraiment de la gueule du monde. On t'a montré que ta définition ne marche pas du tout et depuis le début, on t'explique que ta question n'a pas de sens sans relation d'ordre.
Et bien sur tu ne lis même pas les réponses.

Fin pour moi.

[Anonyme007]

Voici la bonne définition de la notion : être placé entre deux éléments , avec, un groupe totalement discontinu, en absence d'une relation d'ordre pour ce genre de groupe topologique :
Un élément d'un groupe totalement discontinue est placé entre deux éléments , si, pour tout voisinage ''clopen'' de , et pour tout voisinage ''clopen'' de , .
Donc, oubliez la définition précédente, qui est :
Un élément d'un groupe totalement discontinue est placé entre deux éléments , si, , tel que, est un voisinage ''clopen'' de , et est un voisinage ''clopen'' de .
Alors, est ce que vous pouvez me dire si pour un groupe totalement discontinu, du type donné par les exemples cités dans le premier message, possède la propriété :
Pour tout , il existe toujours un , placé entre et ?

Merci d'avance.

[MissJenny]

Un élément d'un groupe totalement discontinue est placé entre deux éléments , si, pour tout voisinage ''clopen'' de , et pour tout voisinage ''clopen'' de , .

il n'y a pas dans la définition...

et on ne voit pas où intervient le fait qu'il s'agirt d'un groupe.

[gg0]

Les âneries continuent !
On commence par écrire une ânerie, avec une comparaison absurde qui amène à parler de "entre" dans une situation où le mot n'a aucun sens. Pour faire croire qu'il y avait quand même une "idée", on fabrique une définition de "entre" avec les mots des espaces totalement discontinus (les mots, pas les idées derrière); puis comme c'est encore une ânerie (*), on fabrique une ânerie encore plus grosse !!

(*) "ânerie" : phrase qu'on n'aurait jamais dite si on avait appliqué la règle "tourne ta langue sept fois dans ta bouche avant de parler".