Densité dans un groupe totalement discontinue.

[pm42]

Surtout quand tu dis "je ne dispose pas encore de prérequis nécessaires dans ce domaine"

Quand on est agent immobilier, on voit des gens qui viennent visiter le week-end et on reconnait au bout d'un certain temps les "touristes" : ceux qui ne veulent pas acheter, n'en on pas les moyens mais qui font ça pour rêver.
Ils font perdre leur temps aux autres.

Ici, c'est la même chose : on a des gens qui clairement ne comprennent rien aux sujets dont ils parlent, encore moins les réponses et qui comme ici ne font même pas l'effort de les lire sauf pour faire une espèce de réponse automatique afin de prolonger la discussion. Des touristes.

Tant qu'on leur répond, ils n'ont pas de raison d'arrêter : ils peuvent continuer de rêver qu'ils parlent de maths par exemple.
C'est encore plus rigolo en physique où toute question posée par quelqu'un qui n'a clairement pas fait d'études post-bac a droit à des réponses niveau master et dit "merci, c'est très clair".
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[albanxiii]

C'était le bon temps, quand on pouvait s'amuser à faire des démos sans métrique. Ou dans d'autres domaines sans l'axiome du choix pour frimer

Je ne sais pas si c'était de l'amusement pour tout le monde, mais pour les profs et certain.e.s élèves, c'était clairement le cas

Et même ce que veut dire "entre x et y" ?

C'est une très bonne question. On voit souvent des discussions complètement farfelues en physique parce que les personnes qui ouvrent un fil ne prennent pas la peine de définir des termes qui présentent une certaine ambiguïté, et on tourne en rond en brassant de l'air parce que la définition change sans cesse et n'est jamais posée.
C'est un peu le cas ici, alors, Anonyme007, pouvez-vous définir ce que vous entendez par "entre x et y" ?

[ThM55]

Pourquoi ajoutez-vous toujours la lettre e à la fin de 'discontinu' quand c'est masculin?

[Anonyme007]

C'est un peu le cas ici, alors, Anonyme007, pouvez-vous définir ce que vous entendez par "entre x et y" ?

Par ''entre x et y'', j'entends : un chemin continue de points ( Donc, un chemin qui n'est pas discontinu. Bon, c'est tautologique, je sais. Mais, j'insiste sur le vocable discontinu, pour souligner qu'on ne rencontre pas de vide ou une rupture quelques part en allant de x à y ).

[MissJenny]

Pourquoi ajoutez-vous toujours la lettre e à la fin de 'discontinu' quand c'est masculin?

on pourrait arguer qu'on ne sait pas si Qp est masculin ou féminin...

[MissJenny]

Par ''entre x et y'', j'entends : un chemin continue de points ( Donc, un chemin qui n'est pas discontinu. Bon, c'est tautologique, je sais. Mais, j'insiste sur le vocable discontinu, pour souligner qu'on ne rencontre pas de vide ou une rupture quelques part en allant de x à y ).

donc tu t'intéresses à la connexité par arcs. Mais ta question est alors triviale il me semble.

[gg0]

donc tu t'intéresses à la connexité par arcs. Mais ta question est alors triviale il me semble.

Effectivement, MissJenny, si le mot "chemin" a le sens mathématique habituel dans la notion de connexité par arcs.
Cependant, même dans , des points d'un chemin allant de 0 à 1 peuvent ne pas être entre 0 et 1, donc c'est encore une traduction fantaisiste de "entre". Et ça ressemble de plus en plus à une pure intuition géométrique de faible niveau alors même qu'il n'y a rien de totalement discontinu en géométrie élémentaire. Ni d'ailleurs de géométrie élémentaire dans les objets du message #1 :

... les groupes totalement discontinues ( ex. Groupes - adiques comme , Sous - groupes de symétrie d'arbres, , où, est un arbre, ou un immeuble de Bruhat-Tits, Groupes discrets, groupes profinis ... etc ) ...

(probablement copié d'une lecture mal digérée.

Finalement, encore un essai de se raccrocher aux branches...

[Anonyme007]

donc tu t'intéresses à la connexité par arcs. Mais ta question est alors triviale il me semble.

Oui, mais au début, ce n'était pas clair à mes yeux. Pourquoi alors, est connexe par arcs ? Pourquoi est totalement discontinu ? Ces deux notions : ''Connexité par arcs'', et ''totalement discontinu'' doivent être distincts à mon sens, mais je ne sais pas.

[MissJenny]

Les composantes connexes de Q sont les singletons, donc une image continue de l'intervalle (réel!) [0,1] dans Q est un singleton, et donc si x et y sont des nombres rationels distincts il n'y a pas d'arc d'extrémités x et y et donc Q n'est pas connexe par arcs.

[Anonyme007]

Les composantes connexes de Q sont les singletons, donc une image continue de l'intervalle (réel!) [0,1] dans Q est un singleton, et donc si x et y sont des nombres rationels distincts il n'y a pas d'arc d'extrémités x et y et donc Q n'est pas connexe par arcs.

J'ai quelques doutes à ce que tu affirmes : Comment se fait-t-il que les composantes connexes de sont les singletons, alors, que tout point est un point d'accumulation d'une suite , donc, il n y a pas de vide autour de ce , mais un étendu continu. Non ?

[MissJenny]

C'est toi-même qui as affirmé (à raison) que Q était totalement discontinu...

[Anonyme007]

Je n'ai pas dit que est totalement discontinu. J'ai dit : Est ce que est totalement discontinu ?
Les gens disent que est totalement discontinu, mais, il me faut une preuve rigoureuse pour m'en convaincre.

[ThM55]

on pourrait arguer qu'on ne sait pas si Qp est masculin ou féminin...

Non mais les groupes sont masculins (je crois) . Mais ma question était motivée par l'existence possible d'une signification mathématique de ce e final, que je ne connais pas. C'est sans doute juste une erreur de clavier.

[MissJenny]

Tu considères une partie A de Q non réduite à un point. Elle a donc deux élements distincts x et y. On peut supposer x < y par exemple. Considérant Q plongé dans R on sait qu'il existe un élément z de R\Q tel que x < z < y. Alors A est la réunion de A n (-infini,z[ et A n ]z,+infini) (n désigne l'intersection). Par définition de la topologie induite (appliquée 2 fois, entre R et Q d'abord puis entre Q et A), on obtient que A est réunion de deux ouverts disjoints, et donc non connexe.

[ThM55]

Je n'ai pas dit que est totalement discontinu. J'ai dit : Est ce que est totalement discontinu ?
Les gens disent que est totalement discontinu, mais, il me faut une preuve rigoureuse pour m'en convaincre.

Il me semble que c'est la notion de coupure, liée à la non complétude. Je considère Q corps des fractions de Z. Il a un ordre total. De plus cet ordre est dense (il y a toujours un rationnel c tel que a < c < b pour a<b donnés). On définit la topologie sur Q de la manière habituelle en prenant comme base d'ouverts les intervalles rationnels (a,b). C'est évidemment la topologie induite par R, mais en fait la définition peut être comprise comme interne à Q, sans faire référence à R. Mais Q n'est pas connexe dans cette topologie car on peut le décomposer en une réunion de deux intervalles ouverts non vides disjoints. Par exemple U = {x dans Q |x^2 < 2} et V = {x dans Q| x^2 > 2}. Mais c'est généralisable: entre deux rationnels a et b, a < b, il existe toujours un rationnel c dont la racine carrée n'est pas rationnelle. On remplace le 2 dans l'exemple U et V ci-dessus par c. Ce c existe toujours; on peut repasser dans R et prendre un c irrationnel racine carrée d'un rationnel. En fait on peut faire ce raisonnement sans faire référence à R, en restant entièrement dans Q mais si c'est juste pour se convaincre que c'est vrai je pense que ce n'est pas utile, c'est de l'esthétique.

[ThM55]

Je ne dis pas que ma "démonstration" est parfaite, on doit en trouver de meilleures et je ne suis pas mathématicien. De plus MissJenny a posté juste avant moi (je ne l'avais pas vu). Mais je pense que c'est suffisant pour comprendre pourquoi Q est totalement discontinu (seules composantes connexes sont singletons).