Quantifier la séparabilité d'une fonction à 2 variables

[coussin]

Bonjour à tous

J'ai une fonction à 2 variables f(x,y). C'est une fonction "sans problèmes" (continue, dérivable, etc...)

Je voudrais quantifier à quel niveau cette fonction est séparable en une fonction de x fois une fonction de y i.e.
Je ne sais même pas si ma question a du sens...
Intuitivement, quand on représente f(x,y) sur un graphe, elle est séparable (dans le sens que j'utilise ici...) quand cette fonction "s'aligne" le long des axes x et y...
Je voudrais pouvoir quantifier ça...

Une première piste, peut-être : calculer et regarder si cette quantité dépend de y...
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[coussin]

Je me demande aussi s'il faut chercher du côté des probas, de la caractérisation des densités de probabilité à 2 variables ?

[Anonyme007]

Bonjour,

Ta question a été abordé sur le lien suivant : https://forums.futura-sciences.com/m...esurables.html
Il me semble que c'est impossible en général.
Mais, tu peux la mettre sous la forme compacte suivante : . Il me semble que c'est possible, en quelques sortes.
Parce que, il me semble que, , avec, , le produit tensoriel topologique.

[coussin]

Ne puis-je pas simplement calculer la covariance (et le coefficient de corrélation) en suivant les indications de ce fil : https://math.stackexchange.com/quest...iven-joint-pdf
Ça me donnera, numériquement, E(x), E(y) et E(xy).

[A voir en vidéo sur Futura]

[Anonyme007]

dans ton cas, n'est pas n'importe quelle fonction. est une densité de probabilité. Cela permet de parler d'espérances.

[coussin]

Oui, j'ai réalisé en écrivant ce message : dans mon cas, f(x,y) est une fonction d'onde. Donc |f(x,y)|² est une densité de probabilité et je peux utiliser tous les outils de la théorie des probas

[Anonyme007]

Attention, regarde ce qui est dit sur le pdf inséré ci-joint, page, 4 :
- Si la notion de probabilité est la même en mécanique quantique qu'en physique classique, le calcul de cette probabilité est radicalement différent.
Essaie de parcourir ce pdf, diagonalement, ou ce que tu veux, pour saisir ce j'essaye de te mettre en tête.

[MissJenny]

Je me demande aussi s'il faut chercher du côté des probas, de la caractérisation des densités de probabilité à 2 variables ?

pourquoi pas? sur le modèle du test d'indépendance du Chi2, tu pourrais calculer des "marges" qui seraient les intégrales de f selon l'une des deux variables ( f1(x) = intégrale de f(x,y)dy et f2(y) = intégrale de f(x,y)dx ) et prendre comme indice de non séparabilité la moyenne quadratique de l'écart entre f(x,y) et f1(x)f2(y).

sauf que comme f(x,y) n'est pas une densité de probabilité, rien ne dit que les intégrales soient finies. A voir au cas par cas.

[coussin]

pourquoi pas? sur le modèle du test d'indépendance du Chi2, tu pourrais calculer des "marges" qui seraient les intégrales de f selon l'une des deux variables ( f1(x) = intégrale de f(x,y)dy et f2(y) = intégrale de f(x,y)dx ) et prendre comme indice de non séparabilité la moyenne quadratique de l'écart entre f(x,y) et f1(x)f2(y).

sauf que comme f(x,y) n'est pas une densité de probabilité, rien ne dit que les intégrales soient finies. A voir au cas par cas.

Ma fonction f(x,y) est une densité de probabilité, c'est une fonction d'onde. Toutes ces intégrales vont converger.
Oui, ce que tu proposes est très similaire au calcul de la covariance : calculer l'espérance de x , l'espérance de y et l'espérance de xy . Puis calculer E(xy)-E(x)E(y).

[MissJenny]

non, je proposais de calculer et puis

[gg0]

Bonjour.

"|f(x,y)|² est une densité de probabilité"
"Ma fonction f(x,y) est une densité de probabilité"
Quelle est la phrase correcte dans ces deux affirmations ?

Cordialement.

[coussin]

Bonjour.

"|f(x,y)|² est une densité de probabilité"
"Ma fonction f(x,y) est une densité de probabilité"
Quelle est la phrase correcte dans ces deux affirmations ?

Cordialement.

C'est |f(x,y)|² qui est une densité de probabilité. Mais il se trouve que dans mon cas f(x,y) est strictement positive. J'ai donc fait un petit raccourci...

[coussin]

non, je proposais de calculer et puis

D'accord.
Je préfère essayer de calculer la covariance ce qui me donnera, après renormalisation, un coefficient de corrélation compris entre -1 et 1.
On aura tout le spectre possible allant de -1 (parfaitement anti-corrélé), 0 (complétement décorrélé) et 1 (parfaitement corrélé). Ce degré de (anti)-corrélation ayant, dans mon cas, une signification physique.

[gg0]

C'est |f(x,y)|² qui est une densité de probabilité. Mais il se trouve que dans mon cas f(x,y) est strictement positive. J'ai donc fait un petit raccourci...

Oui, mais l'intégrabilité de l'une ne donne pas l'intégrabilité de l'autre. Une fonction non intégrable peut avoir un carré intégrable.

[coussin]

Je suis d'accord.
Je m'excuse, c'est ma faute je n'aurais pas dû parler de fonction d'onde. Ça a embrouillé la discussion pour rien.