Relativité générale: trajectoire d'une particule

[ClairEsprit]

Je connais des cas comme ça, et c'est vrai que l'approche mathématique des physiciens peut hérisser les bourbakistes... /....Personnellement, la difficulté a été plus le désapprendre de tout ce qu'on apprend implicitement dans le domaine avant de l'aborder de front. ..../... tout plein de scories dont il faut se débarasser, ou du moins remettre dans une perspective différente de celle de l'apprentissage initial...

Absolument d'accord. Sans être bourbakiste, parce qu'il y a des limites, je suis pour la rigueur; en math c'est la moindre des choses. Il faudrait avoir la perspective la plus élevée dès le début, aborder les entités mathématiques dès le départ dans leur généralité la plus aboutie connue, ce serait un gain pour la physique. Mais bon... on s'éloigne du fil et c'est un débat sans fin; cela dépend de la pertinence de l'enseignant, de son niveau de connaissance, de son courage à enseigner plutôt qu'à chercher, du poids de l'histoire de l'enseignement des sciences, etc...
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[invitefa5fd80c]

Si deux trajectoires sont distantes de x, au bout d'un temps t elles se sont rapprochées de xgt²/(4 pi R). C'est proportionnel à x, et donc en relatif totalement indépendant de l'échelle spatiale. Il y a une dépendance en t², donc on peut considérer que plus le temps devient faible, plus c'est négligeable. Mais la diminution du volume spatial couvert ne permet pas d'améliorer l'approximation par un référentiel inertiel.

Ha ! okay ! là je comprends la source du problème.
Lorsque je parlais de petit volume, je parlais de petit volume spatio-temporel.

Bien que même l'expression "petit volume spatio-temporel" peut prêter à confusion. Il faudrait plutôt dire une région d'espace-temps suffisamment petite spatialement et suffisamment petite temporellement.

Saurais-tu quantifier cette limite au volume spatio-temporel?

Bonne question. À vue de nez comme ça, je dirais qu'il faut procéder en choisissant un système de coordonnées où la matrice est diagonale. Puis on considère une région spatio-temporelle dans laquelle les éléments diagonaux peuvent être considérés comme variant "peu", le "peu" dépendant du degré d'approximation que l'on veut avoir.

Amicalement

[GillesH38a]

c'est exact, l'accélération résiduelle de marée est proportionnelle à l'écart avec le point où on a annulé le champ , donc en relatif ça ne change pas au bout d'un temps donné.

Cependant si on prend un temps "naturellement adapté" à la taille de la région t = x/c, la deviation relative est alors proportionnelle au carré de x, et est de l'ordre de Rijkl . x^2 ou Rijkl est une composante du tenseur de courbure : la taille caractéristique pour avoir un effet de marée faible est donc de l'ordre de R^-1/2.

[invité576543]

Ha ! okay ! là je comprends la source du problème.
Lorsque je parlais de petit volume, je parlais de petit volume spatio-temporel.

J'avais compris, mais dans mon exemple seule la diminution du "volume" temporel permet d'améliorer l'approximation. Ce que j'oppose c'est le volume spatial, qu'il soit ou non amalgamé dans un volume spatio-temporel.

Bonne question. À vue de nez comme ça, je dirais qu'il faut procéder en choisissant un système de coordonnées où la matrice est diagonale. Puis on considère une région spatio-temporelle dans laquelle les éléments diagonaux peuvent être considérés comme variant "peu", le "peu" dépendant du degré d'approximation que l'on veut avoir.

Il me semble que ça reviendra au même que mon exemple, mais je me trompe peut-être.

Cordialement,

EDIT : Croisement avec Gilles, mais tout converge...

[Gwyddon]

La théorie de la gravitation qu'est la RG amène à voir les choses autrement qu'en termes de champ de gravitation, et même qu'en termes de référentiels. Si toutes les lois de la physique sont locales, exprimées sous forme de tenseurs qui sont structurellement immunes aux changements de référentiel, d'une certaine manière on se fiche autant des référentiels que du choix de la base 10 pour écrire les nombres, ou du kg étalon du pavillon de Sèvres pour chiffrer les masses.

Si cela est correct, alors une explication de la RG doit chercher à amener à se débarasser petit à petit de la notion de référentiel, ce qui n'est pas facile.

Cordialement,

Tu as tout à fait raison à mon avis, c'est exactement ce que j'ai ressenti lors de mon cours de RG : au final, seul compte le caractère tensoriel des égalités manipulées

Bien sûr après dans des situations diverses, il peut être utile de manier tel système de coordonées plutôt que tel autre (exemple jauge TT pour les ondes gravitationnelles).

[invité576543]

[mode = totalement hors sujet]Arghh.. A me relire dans la citation, je vois que je suis tombé dans un piège que j'avais dénoncé ailleurs.... la base dix, pas la base 10...[/mode]

[Rincevent]

PS: Au passage, quel est l'espace des accélérations? Comme la 4-vitesse est de norme constante, la 4-accélération est toujours perpendiculaire à la 4-vitesse (point que m'a rappelé fort à propos Gilles (h38) dans un autre fil). Les cas plongeables montrent que l'espace des accélérations n'est pas"visualisable" comme l'espace tangent...

c'est sûrement le plongement le problème dans ta visualisation. La 4-a est ni plus ni moins un 4-vecteur que la 4-v. C'est pas parce qu'elle est orthogonale qu'elle n'est pas un vecteur. C'est juste un vecteur orienté particulièrement. Si tu considères un observateur qui n'est pas celui dont on regarde la 4-a, il voit un 4-v "banal". Pense à l'accélération d'une particule allant à vitesse constante en physique classique : c'est un vecteur qui vit lui aussi dans l'espace même s'il son orientation vis-à-vis de la vitesse est spéciale. Même si l'espace est euclidien la notion d'espace tangent est plus propre que l'emploi de flèches inclues dans l'espace lui-même.

Tu contredis donc le Landau qui dit qu'il n'est possible de neutraliser un champ de gravitation présent dans un référentiel inertiel par aucun changement de référentiel ...

le problème principal est très souvent que les gens ne sont pas d'accord pour dire ce qui est "le champ de gravitation"... pour certains c'est la métrique, pour d'autres le Riemann et pour d'autres encore la connexion... m'enfin, sur la physique les gens sont presque d'accord c'est déjà ça

A ce que j'en comprend, les progrès de la RG sont de deux ordres, que l'on a tendance à trop mélanger, en particulier à cause du nom même de la théorie.

c'est pour cela que souvent on essaie d'insister sur le fait que la RG n'est qu'une théorie parmi d'autres de "gravitation relativiste"

Si on regarde la relativité, certains arguent que la RG n'est pas un progrès, mais un retour en arrière!

qui? j'ai jamais vu ce point de vue exprimé... (je nie pas que certains le fassent, je dis juste que perso j'ai jamais vu et que ça m'intéresserait de savoir qui le fait)

(...) on dit que les lois de la physique doivent passer sous des fourches caudines (= expression tensorielle) telles que le référentiel n'a plus d'importance. Ce n'est pas vraiment un "progrès" de la relativité, mais plutôt un contre-pied.

pourquoi ? par ailleurs, le contenu de la RG ne s'arrête pas là. On revient encore une fois sur la différence entre l'invariance passive et l'active... ce dont tu parles, c'est plus relié à la passive et au système de coordonnées plutôt qu'au choix de référentiel. Or, l'invariance par rapport au choix de coordonnées est de seconde importance en RG même si souvent on s'arrête à elle. Par exemple, la théorie de Newton peut très bien être écrite sous forme absolument indépendante du système de coordonnées et donc parfaitement tensorielle. Mais cela ne la rend pas égale à la RG... simplement, il est vrai qu'on n'avait pas compris avant la naissance de la RG qu'on pouvait géométriser la gravitation newtonienne (c'est Cartan qui l'a compris et fait)

Si toutes les lois de la physique sont locales, exprimées sous forme de tenseurs qui sont structurellement immunes aux changements de référentiel, d'une certaine manière on se fiche autant des référentiels que du choix de la base 10 pour écrire les nombres, ou du kg étalon du pavillon de Sèvres pour chiffrer les masses.

la Rg va plus loin (par l'invariance active) tout en ne s'arrêtant pas au local. En plus j'ai l'impression que tu mélanges référentiel et système de coordonnées.

Si cela est correct, alors une explication de la RG doit chercher à amener à se débarasser petit à petit de la notion de référentiel, ce qui n'est pas facile.

le hic c'est surtout qu'on mélange souvent référentiel et système de coordonnées... c'est déjà souvent le cas en physique classique d'ailleurs... un référentiel c'est ni plus ni moins que le choix d'un découpage de l'espace-temps en hypertranches d'espace. Un choix de coordonnées, c'est autre chose.

Ah mais oui c'est vrai ! Si si, c'est un vrai progrès ça ! Et ça fonctionne vraiment pour toutes les forces identifiées ? Même la force électro-faible et la force forte ?

on peut réécrire ces interactions de manière à les intégrer dans le cadre de la RG. C'est "trivial" si on oublie les aspects quantiques. Si on les oublie pas, le jeu se corse un peu (théorie quantique des champs en espace-temps courbe). Et si on veut quantifier la gravitation elle-même, bah

Sinon quels sont les bouquins de référence en math pour l'analyse tensorielle et la géométrie différentielle à partir d'un niveau maîtrise de physique (pure) ?

fouille dans la biblio faite par martini dans le forum math

au final, seul compte le caractère tensoriel des égalités manipulées

ça dépend ce que tu fais..

[invité576543]

c'est sûrement le plongement le problème dans ta visualisation. La 4-a est ni plus ni moins un 4-vecteur que la 4-v. C'est pas parce qu'elle est orthogonale qu'elle n'est pas un vecteur. C'est juste un vecteur orienté particulièrement. Si tu considères un observateur qui n'est pas celui dont on regarde la 4-a, il voit un 4-v "banal". Pense à l'accélération d'une particule allant à vitesse constante en physique classique : c'est un vecteur qui vit lui aussi dans l'espace même s'il son orientation vis-à-vis de la vitesse est spéciale. Même si l'espace est euclidien la notion d'espace tangent est plus propre que l'emploi de flèches inclues dans l'espace lui-même.

C'est clairement le plongement le problème, je confirme. Si je prend une trajectoire sur la sphère S2 dans R³, la dérivée (R³) de la vitesse n'est pas tangente à la sphère. Je comprend ce que tu dis d'une certaine manière, mais je n'arrive pas à concilier la vue avec plongement et l'autre...

qui? j'ai jamais vu ce point de vue exprimé... (je nie pas que certains le fassent, je dis juste que perso j'ai jamais vu et que ça m'intéresserait de savoir qui le fait)

C'était dans le doc dont je t'ai passé la référence pour mettre dans la biblio. Mais peut-être à travers le prisme déformant de ma mémoire, faut que je retrouve le passage exact.

Cdlt,

PS : le reste de ton message va m'amener à réfléchir un peu plus...

[invité576543]

En plus j'ai l'impression que tu mélanges référentiel et système de coordonnées.

le hic c'est surtout qu'on mélange souvent référentiel et système de coordonnées... c'est déjà souvent le cas en physique classique d'ailleurs... un référentiel c'est ni plus ni moins que le choix d'un découpage de l'espace-temps en hypertranches d'espace. Un choix de coordonnées, c'est autre chose.

Bonjour,

A lire et relire, je suis perplexe.

Qu'un référentiel soit "autre chose" qu'un choix de coordonnée, soit. Je comprend référentiel comme une classe de systèmes de coordonnées (ce qui veut dire que le choix de système de coordonnée implique le choix de référentiel, mais pas le contraire). Mais le critère d'équivalence définissant la notion de référentiel me semblait assez souple. Je ne comprend pas la définition que tu donnes, quand appliquée en classique par exemple. Pour moi, découpage en hypertranches d'espace veut dire tous les systèmes de coordonnées partageant la même relation de simultanéité. C'est clair et utile en RR, mais en classique ça couvre tous les systèmes de coordonnées! Quand on parle de référentiel tournant, ce n'est pas le découpage qui intervient, mais la connexion affine, non? En classique, je comprend plutôt référentiel comme les systèmes de coordonnées partageant la même connexion affine (ce qui me semble coller avec référentiel terrestre, solaire, galactique par exemple).

En RG c'est plus flou encore, parce que la relation de simultanéité est assez arbitraire, non? Elle est définie par le système de coordonnée, mais c'est tout ou presque. En pratique on prend pour le voisinage immédiat d'une trajectoire (de référence!) la relation de simultanéité au sens de la RR mais à grande distance cela devient arbitraire. Non? En tout cas, quand je lis "référentiel de chute libre" en RG, pour un objet sur Terre, je ne vois pas en quoi ça définit un découpage particulier en hypertranche d'espace pour la galaxie d'Andromède, alors que ça en définit un (approximativement) au voisinage directe de la trajectoire.

Je n'ai peut-être rien compris, mais la remarque que tu fais me semble de plus en plus cryptique à mesure que je cherche à la comprendre.


Cdlt,

[invité576543]

pourquoi ? par ailleurs, le contenu de la RG ne s'arrête pas là. On revient encore une fois sur la différence entre l'invariance passive et l'active... ce dont tu parles, c'est plus relié à la passive et au système de coordonnées plutôt qu'au choix de référentiel

Ca me va de revenir encore une fois sur la différence, parce que ce n'est pas vraiment intégré, et la discussion il y a quelques mois n'avait pas dissipé toutes les ombres, de mon point de vue.

A ce que j'en comprend, l'invariance active est incluse implicitement dans le mot "loi". Si on dit que les "lois" doivent être tensorielles, on parle implicitement d'universalité, que les lois ne dépendent pas du lieu-moment (aka événement) concerné. Au passage, cela me fait comprendre dans le passage ci-dessus "changement de référentiel" comme le transport actif d'une expérience en un lieu-moment à une expérience identique en un autre lieu-moment, ce que je n'arrive pas à relier à ta définition de référentiel donnée par ailleurs. Je comprend ce changement comme une application qui transforme isomorphiquement la description (à base de coordonnées) d'une expérience à un temps (local) donné en une autre expérience ailleurs (au sens espace-temps), et la notion de "loi" dit alors que le devenir de l'expérience sera le même. Un diagramme transitif entre transport actif et prédiction.

Mais cela ne me semble pas propre à la RG. La méca classique ou la RR ont le même implicite, non? Sinon, ça veut dire quoi, "loi physique"?

Or, l'invariance par rapport au choix de coordonnées est de seconde importance en RG même si souvent on s'arrête à elle. Par exemple, la théorie de Newton peut très bien être écrite sous forme absolument indépendante du système de coordonnées et donc parfaitement tensorielle. Mais cela ne la rend pas égale à la RG... simplement, il est vrai qu'on n'avait pas compris avant la naissance de la RG qu'on pouvait géométriser la gravitation newtonienne (c'est Cartan qui l'a compris et fait)

Je ne comprend pas l'argument. Il ne me semble pas avoir exprimé une idée qui puisse mener à considérer que l'expression tensorielle de la gravitation de Newton suffirait à la rendre égale à la gravitation de la RG

Cordialement,

[invité576543]

C'était dans le doc dont je t'ai passé la référence pour mettre dans la biblio. Mais peut-être à travers le prisme déformant de ma mémoire, faut que je retrouve le passage exact.

C'est en gros tout le chapitre 6 du papier de Norton! Une citation par exemple de Kretschmann

Therefore Einstein's theory satisfies no relativity principle at all in the sense developped [earlier in the document]; on the basis of its content, it is a completely absolute theory

Un peu plus loin dans le chapitre 6, Norton, résumant le point de vue de "Fock et autres":

The symmetry group is actually reduced from the Lorentz group to the identity group, for the general case. The identity group is associated with no relativity principle at all. Therefore the transition from special to general relativity does not generalize the relativity principle. It eradicates it.

Ma formulation personnelle pouvait être comprise différemment, mais ce sont ces points de vue que j'avais en tête.

Cordialement,

[GillesH38a]

C'est clairement le plongement le problème, je confirme. Si je prend une trajectoire sur la sphère S2 dans R³, la dérivée (R³) de la vitesse n'est pas tangente à la sphère. Je comprend ce que tu dis d'une certaine manière, mais je n'arrive pas à concilier la vue avec plongement et l'autre...

Oui mais l'accélération mesurée dans l'espace courbe S2 est sa projection sur le plan tangent : pour un mouvement uniforme sur une géodésique (grand cercle) elle est nulle justement.

En RG c'est plus flou encore, parce que la relation de simultanéité est assez arbitraire, non? Elle est définie par le système de coordonnée, mais c'est tout ou presque. En pratique on prend pour le voisinage immédiat d'une trajectoire (de référence!) la relation de simultanéité au sens de la RR mais à grande distance cela devient arbitraire. Non? En tout cas, quand je lis "référentiel de chute libre" en RG, pour un objet sur Terre, je ne vois pas en quoi ça définit un découpage particulier en hypertranche d'espace pour la galaxie d'Andromède, alors que ça en définit un (approximativement) au voisinage directe de la trajectoire.

C'est même pire que cela, puisque pour un système général de coordonnées, il n'est pas possible de définir une simultanéité "globale", c'est a dire de définir un découpage 3+1 ou tous les évènements d'un même 3 espace seraient simultanés : on peut synchroniser deux points voisins, et de proche en proche une ligne ouverte, mais en général en faisant un tour sur une courbe fermée le point initial n'est plus synchronisé avec lui-même. A fortiori la synchronisation de l'espace 3D n'est pas possible. Cependant pour toute géométrie on peut choisir un système de coordonnées rendant possible cette synchronisation globale, mais ça impose des contraintes sur ce système.

cordialement

Gilles

[invitefa5fd80c]

Disons que la notion de référentiel inertiel en RG est un peu difficile.

En fait, si le concept de référentiel inertiel local en RG te cause problème, il y a une façon plus simple de voir qu'en RG il n'y a pas de force gravitationelle. Ainsi, en RG, le principe d'inertie (première loi de Newton) qui dit:

"Dans un référentiel inertiel, un objet se déplace en ligne droite à vitesse constante si et seulement si il n'y a pas de force nette appliquée sur cet objet"

s'exprime de la façon suivante :

"Un objet suit une géodésique de l'espace-temps si et seulement si il n'y a pas de force nette appliquée sur cet objet"

Amicalement

[mariposa]

"Un objet suit une géodésique de l'espace-temps si et seulement si il n'y a pas de force nette appliquée sur cet objet"

Amicalement

.
Bonjour,

D'ailleurs il n'y a pas de notion de repère: les courbes géodésiques sont des invariants, alors que les vitesses ou les accélérations en un point de la géodésique prennent sens après avoir choisi un repère.

I

[invité576543]

.
Bonjour,

D'ailleurs il n'y a pas de notion de repère: les courbes géodésiques sont des invariants, alors que les vitesses ou les accélérations en un point de la géodésique prennent sens après avoir choisi un repère.

Bonsoir,

Pour la vitesse, elle prend une valeur numérique quand on choisit un repère. Elle a un sens par elle-même, indépendamment de tout repère, non?

Pour l'accélération, c'est 0 le long d'une géodésique au sens de la dérivée covariante, et ça dépend évidemment du repère si on définit l'accélération autrement, non?

Cordialement,

[GillesH38a]

Bonsoir

Bonsoir,

Pour la vitesse, elle prend une valeur numérique quand on choisit un repère. Elle a un sens par elle-même, indépendamment de tout repère, non?

Pour l'accélération, c'est 0 le long d'une géodésique au sens de la dérivée covariante, et ça dépend évidemment du repère si on définit l'accélération autrement, non?

Cordialement,

même dans une fois choisi un repère, la notion de vitesse n'est pas évidente. Le 4-vecteur vitesse est défini comme mais est le temps propre de la particule et non le temps de l'observateur : pour la RR, les composantes spatiales sont et non . Evidemment en RR on peut prendre la vitesse "ordinaire"
(la précédente divisée par le facteur de Lorentz), mais cette quantité n'a pas de sens physique en RG justement parce que les "coordonnées temporelles" généralisées t ne sont pas synchronisées. Comme il n'est pas possible en général de les synchroniser, la quantité vitesse "habituelle" ne peut pas être définie de manière satisfaisante. Il n'y a que dans le cas où la coordonnée t peut etre synchronisée que la vitesse a un sens (métrique diagonale) : c'est le cas bien sur en RR, pour le temps cosmique dans la métrique de FRW, ou pour les coordonnées orthogonales "statiques" d'un champ gravitationnel comme la métrique de Schwarzschild ou le champ gravitationnel du laboratoire. Mais ce sont des cas particuliers et ce n'est pas le cas d'un référentiel quelconque.

Cordialement

Gilles

[invité576543]

même dans une fois choisi un repère, la notion de vitesse n'est pas évidente. Le 4-vecteur vitesse est défini comme mais est le temps propre de la particule et non le temps de l'observateur.

C'est une manière de voir. Je préfère dire que la 4-vitesse (absolue) est définie comme , c'est à dire le vecteur unitaire de la tangente, quelle que soit l'indexation et le repère. Ca évite de voir le temps propre comme le choix d'une référentiel particulier.

Ensuite la vitesse relative observée par un observateur de 4-vitesse v sera (u/(u.v) - v), parce qu'un déplacement dM est vu comme durant v.dM et de composante spatiale dM - (v.dM)v (avec le . désignant la métrique).

En RR ça ne pose aucun problème. En RG, ça marche uniquement si l'observé et l'observateur sont colocalisés, sinon les opérations . et addition ne sont pas claires. Faut un transport parallèle, par exemple le long du rayon lumineux de l'observation (?).

Cordialement,

[GillesH38a]

Bonjour Mmy

oui je pense que ton ecriture est correcte du point de vue covariant (elle redonne u pour un observateur au repos) ,mais tu a toujours un 4-vecteur. Ce que je veux dire c'est que l'extraction d'une 3-vitesse "physique" à partir de ce 4-vecteur n'est pas évidente. Il ne suffit pas de sélectionner les 3 premières composantes, puisque en RR ça donnerait la vitesse fois gamma. Ce qui n'est pas évident amha, c'est la définition généralisée de gamma (qui n'est bien evidemment pas un scalaire).

Cordialement

Gilles

[invité576543]

Bonjour Mmy

oui je pense que ton ecriture est correcte du point de vue covariant (elle redonne u pour un observateur au repos) ,mais tu a toujours un 4-vecteur. Ce que je veux dire c'est que l'extraction d'une 3-vitesse "physique" à partir de ce 4-vecteur n'est pas évidente. Il ne suffit pas de sélectionner les 3 premières composantes, puisque en RR ça donnerait la vitesse fois gamma. Ce qui n'est pas évident amha, c'est la définition généralisée de gamma (qui n'est bien evidemment pas un scalaire).

Bonjour,

Je ne comprends pas. L'extraction d'une vitesse 3D, c'est le choix d'une direction temporelle de référence, puisque cela demande la projection sur une variété de type espace. Cette extraction n'a un sens que pour la vitesse relative observée (dont le terme temporel est nul par construction). Le coefficient gamma est "caché" (pas vraiment!) dans u.v, ce qui correspond au choix de la direction temporelle de référence v.

En RR, ça roule. Si par "définition généralisée de gamma" tu entend le passage en RG, j'ai déjà exprimé dans le message précédent que c'était assez flou pour moi, puisque cela revient à comparer des 4-vitesses en des lieux-moments distincts et éventuellement très séparés.

Cordialement,

[GillesH38a]

Bonjour,

Je ne comprends pas. L'extraction d'une vitesse 3D, c'est le choix d'une direction temporelle de référence, puisque cela demande la projection sur une variété de type espace. Cette extraction n'a un sens que pour la vitesse relative observée (dont le terme temporel est nul par construction). Le coefficient gamma est "caché" (pas vraiment!) dans u.v, ce qui correspond au choix de la direction temporelle de référence v.

Justement, il est tellement bien caché qu'on ne peut pas le calculer dans le cas général ! le terme temporel n'est pas nul, il vaut *en RR, et en RG il vaut . En divisant les composantes spatiales par la composante temporelle, on retombe donc bien sur la vitesse "ordinaire" . Mais le problème est exactement celui que tu poses
[TEX]
En RR, ça roule. Si par "définition généralisée de gamma" tu entend le passage en RG, j'ai déjà exprimé dans le message précédent que c'était assez flou pour moi, puisque cela revient à comparer des 4-vitesses en des lieux-moments distincts et éventuellement très séparés.

Cordialement,[/QUOTE]
Effectivement la coordonnée t "synchronise" bien les moments en des points différents en RR (ils sont considérés comme "simultanés" par l'observateur lié au référentiel), mais ce n'est plus le cas en général en RG. On pourrait chercher à "corriger" du décalage temporel d'un point à un autre mais ce n'est en général pas possible dans tout l'espace simultanément. En revanche c'est possible dans un certain nombre de cas spécifiques.

Cordialement

Gilles

[invité576543]

Bonjour,

J'ai l'impression que l'on discute de choses différentes. C'était parti de la phrase de Mariposa, "les vitesses ou les accélérations en un point de la géodésique prennent sens après avoir choisi un repère".

Je faisais alors remarquer que la 4-vitesse d'une trajectoire a un sens en l'absense de tout repère, c'est une notion absolue, et ce que ce soit en RR ou en RG. Il n'y a pas de gamma dans la définition de cette 4-vitesse, elle est définie géométriquement comme le vecteur unitaire de la tangente, pas par ses coordonnées.


Pour pouvoir parler de gamma il faut parler d'autre chose, par exemple d'une vitesse relative, ce qui demande de préciser relative à quoi. Cela se fait en prenant un autre 4-vecteur vitesse v, etc. C'est la vitesse relative qui prend un sens après avoir choisi un repère. Et si on cherche ce que la vitesse relative 3D peut être, une proposition de définition est u/(u.v)-v (3D, parce que le composant temporel est nul par construction). Cette définition ne marche pas en général en RG.

Une autre chose dépend du choix du reférentiel en RR ou du système de coordonnées en RG, les coordonnées de u. Qui sont en RR (u.v, u-(u.v)v) (1), puisque v est la 4-vitesse temporelle unitaire dans le référentiel en question. Et qui sont n'importe quoi en RG, selon le système de coordonnées, sans sens physique. Mais u a un sens indépendamment de ses coordonnées.

gamma apparaît alors en RR comme le facteur multiplicatif qui permet de passer de la 4-vitesse relative définie en étendant la 3-vitesse par (1, u/(u.v)-v) (1), à u

Il me semble que la discussion serait plus claire si on distinguait les 3 concepts, la 4-vitesse qui est absolue, les composantes de cette 4-vitesse absolue (qui dépendent du système de coordonnées), et une notion de vitesse relative (qui ne prend sens qu'avec un référentiel, et seulement en RR, en newtonnien ou en coïncidence en RG).

....

Au passage, l'absence de notion claire de vitesse relative en RG (autrement qu'en coïncidence spatio-temporelle) fait qu'on ne devrait parler en RG que de vitesse absolue (sf coïncidence, encore une fois). Mais l'expression tensorielle des lois a pour conséquence qu'elles ne s'appliquent qu'aux coïncidences, cas où les formules de la RR s'appliquent, non pas parce qu'on prendrait un repère local plat, mais simplement parce qu'on ne s'occupe que de ce qui se passe en coïncidence.

Et on peut dire que lorsque l'on parle de l'approximation par un référentiel plat local, c'est juste l'extension (abusive, approximative et pas si clairement utile) des formules valable en coïncidence.

Cordialement,

(1) Avec l'abus de notation consistant à assimiler un 4-vecteur (0, w) avec le 3-vecteur w.

[GillesH38a]

(1) Avec l'abus de notation consistant à assimiler un 4-vecteur (0, w) avec le 3-vecteur w.

Bonjour Mmy

ce n'est pas un abus de notation, c'est juste numériquement faux . La 3-vitesse d'un observateur par rapport à un autre (le V qui entre dans la transformation de Lorentz) n'est PAS égale numériquement aux 3 composantes du 4-vecteur vitesse . Elle n'y tend que pour v<<c. le w de ta notation est le "paramètre vitesse " qui en particulier n'est pas limité à c. A part ça la composante temporelle du 4-vecteur vitesse n'est jamais nulle, pourquoi dis tu que celle de (u/(u.v) - v) est nulle?

Je suis tout à fait d'accord qu'il n'y a aucun problème avec la 4-vitesse tensorielle. Je dis juste que la 3-vitesse V (celle qui est limitée à c en RR) n'est pas définissable de manière générale.

Cordialement

Gilles

[invité576543]

A part ça la composante temporelle du 4-vecteur vitesse n'est jamais nulle, pourquoi dis tu que celle de (u/(u.v) - v) est nulle?

Euh... Je veux bien penser que je ne comprend pas bien tout cela, mais

(u/(u.v)-v).v = (u.v)/(u.v) -v.v = 1 - 1 = 0

non? Cette expression n'est pas celle de la 4-vitesse, qui est u, quel que soit le référentiel!

Sinon, bien sûr que je parle de la vitesse 3D qui n'est pas limitée à c, mais c'est bien ce qu'on appelle vitesse relative! Il me semble utile (en tout ça l'est pour moi, et je pensais avoir été suffisamment soigneux pour qu'il n'y ait pas de confusion) de bien distinguer la vitesse 3D dxⁱ/dt (non limitée à c), les composantes spatiales de la 4-vitesse, et le paramètre de la transformation de Lorentz lors du changement de repère. Ce sont àmha trois concepts différents.

Cordialement,

[invité576543]

En fait, Gilles, tu me confuses, là.

Je reprend, il doit y avoir une erreur mais je ne vois pas laquelle. Soit ΔM un déplacement, le "segment" entre deux événements.

La composante temporelle est bien Δt = ΔM.v, v étant la direction (4-vecteur unité) du référentiel, non?

La composante spatiale est bien ΔM - (ΔM.v)v, non?

La "3-vitesse", définie comme le rapport Δxⁱ/Δt, c'est à dire la définition "mécanique classique" de la vitesse, est bien (ΔM - (ΔM.v)v)/(ΔM.v) = ΔM/(ΔM.v) - v

Ce machin-là a bien une composante temporelle nulle. Si u est le vecteur unitaire colinéaire et de même direction que ΔM, cette "vitesse" est bien égale à u/u.v - v, non?

Pourquoi dis-tu qu'elle n'est pas limitée à c? Elle l'est à la condition que u.v>0, c'est à dire que le déplacement ΔM soit de type temps, c'est à dire ΔM.v>0 (je raisonne en signature +---), non? Si u.v=0, le calcul n'a pas de sens (pas de vecteur unitaire), et si u.v<0, on ne parle pas de trajectoire d'une particule massive, c'est tout (et on peut aussi dire qu'il n'y a pas de vecteur unitaire, si on définit cela par u.u=1 en signature +---).

Où sont les fautes?

Cordialement,

[GillesH38a]

Bonjour Mmy !

t'as raison, excuse ! ton 4-vecteur u/(u.v) - v est bien le 4 vecteur dont les composantes sont (0,Vr) dans le référentiel de l'observateur. Mais Vr est bien limitée à c en RR.

En fait, tout le problème vient de la notion de référentiel lié à un observateur : il est unique en RR mais il y en a une infinité en RG. Lorsque la particule et l'observateur coincident, on sous-entend qu'on emploie un référentiel localement inertiel en O "tangent " à sa trajectoire, pour lequel la métrique est lorentzienne, ce qui permet de définir la vitesse 3D comme en RR. Lorsque l'observateur et la particule ne coincident pas, ça n'a pas de sens précis (la "vitesse de A par rapport à O" n'a pas de sens). On ne peut parler que de la vitesse de A par rapport au point du référentiel coincidant avec A (ce point coincidant etant défini de manière univoque en RR comme étant "au repos" par rapport à O, ce qui permet de parler de vitesse de A par rapport à O par extension)., on est d'accord?

Cordialement

Gilles