supersymétrie,supergravité and all that

[mtheory]

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ah oui.....................

Je crains que ça ne soit semi ironique,je me trompes ?
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[invitea29d1598]

bonjour,

pas le temps de rentrer dans la discussion... j'indique juste un article écrit par Andrzej Trautman : Clifford and the `square root' ideas... l'article est au format .ps... pour ceux qui connaissent pas, ça s'ouvre avec ghostview...

l'article est assez historique même si également "un tantinet technique"...

[invite7ce6aa19]

Je crains que ça ne soit semi ironique,je me trompes ?

Non pas d'ironie du tout. C'était plutôt un Eureka de ma part.
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J'ai lu, dans Peskin, que les commutateurs I/2.[Gi,Gj] (G veut dire gamma) forment une representation de l'algébre de Lie du groupe de Lorentz, ce qui permet de définir le spineur de Dirac (si on prend des matrices de dimension 4).
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J'aurais pas trouver çà tout seul!

Et maintenant qu'est-ce qui justifie de dire qu'un spineur c'est la "racine carré" d'un vecteur?

[invite8ef897e4]

Et maintenant qu'est-ce qui justifie de dire qu'un spineur c'est la "racine carré" d'un vecteur?

Il y a tous les details (il me semble rigoureusement, mais d'une part je n'ai pas eu le temps de tout lire, d'autre part ce n'est pas une lecture facile) dans le papier cité par Rincevent.

On peut voir le lien de façon très immédiate par exemple dans la première section (spinors) du Twistor Primer de Fedja Hadrovich.

[invite7ce6aa19]

Mais je sais pas si ça suffira pour éclairer ce qui vous pose problème .
L'article de West me semble très complet sur plein de chose cependant:

http://aps.arxiv.org/abs/hep-th/9811101

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Merci. Apparemment il doit y avoir plusieurs angles d'attaques pour ces histoires de spineurs. Ya du boulot!

[invite9c9b9968]

Ça peut pas se "sentir" dans le fait que est justement un vecteur de Lorentz ?

[invite7ce6aa19]

En gros c'est effectivement le point clé pour l'introduction de la susy,si on cherche un groupe unifiant les symétrie d'espace-temps et les groupes de jauge des théorie de Yang-Mills alors il semblerait qu'au niveau de la matrice S on n'ait plus le choix.
C'est forcément un supergroupe et d'une certaine façon on a trouvé les types de symétries maximales possibles pour une théorie quantique des champs relativistes.
C'est un résultat trés impressionnant !
Du coup cela pose des restrictions très sévères sur les types d'équations relativistes et quantiques devant décrire la nature.

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Sympa pour presenter le cadre général de la supersymétrie. Je fais donc entièrement confiance et je prends çà comme un dogme.
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Je reviens à ma question initiale: Quelles sont les différences entre l'algébre de Lie et une algébre supersymétrique (à part la définition)?

[invite7ce6aa19]

Ça peut pas se "sentir" dans le fait que est justement un vecteur de Lorentz ?

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Non je ne pense pas que ce soit la bonne direction. c'est un courant et il est normal qu'un courant soit une forme quadratique par rapport au champ. C'est déjà visible dans la MQ "ordinaire".

[mtheory]

La façon de le sentir provient quand même en partie du fait que dans le cadre de l'addition des moments cinétique le produit de deux spineurs peut donner un vecteur non?
Et puis il y a le fameux comportement des spineurs qui ne sont pas invariant sous une rotation de 360° mais bien 720°,rien que ça,à mon sens,cela justifie l'appelation.
Enfin n'oublions pas que l'anti-commutateur de deux générateurs spinoriels de supersymétrie agissant sur un champ équivaut à l'action d'une translation !
D'où le terme de "racine carrée" de la géométrie pour la susy locale.

[mtheory]

J'en suis bien conscient,j'y travail là justement.
C'est ce que j'avais dit,je donne des liens complets pour références futures mais juste après je donnerai un choix pour débuter et répondre à des questions plus précises .

ça c’est une bonne introduction de John Ellis
http://xxx.lanl.gov/abs/hep-ph/9812235

lire à partir de la page 10 et étendue en français ici (p 35):

http://xxx.lanl.gov/abs/hep-ph/0506163


ça peut se lire avec les trucs suivants

http://xxx.lanl.gov/abs/hep-ph/9902347

Notamment l’article d’Olive en liaison avec la cosmologie et l’astrophysique
http://xxx.lanl.gov/abs/hep-ph/9911307

ça c’est plus mathématique et technique :

http://xxx.lanl.gov/abs/hep-th/9910030

http://aps.arxiv.org/abs/hep-th/9811101

http://arxiv.org/abs/hep-th/9612114

[invite7ce6aa19]

La façon de le sentir provient quand même en partie du fait que dans le cadre de l'addition des moments cinétique le produit de deux spineurs peut donner un vecteur non?

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Non je pense que celà n'a aucun rapport. Il est clair que dans le cas de l'algébre de clifford ou plus précisemment dans le cas des quaternions, on peut parler vraiment de racine carré.

Et puis il y a le fameux comportement des spineurs qui ne sont pas invariant sous une rotation de 360° mais bien 720°,rien que ça,à mon sens,cela justifie l'appelation.

Là non plus. Ce comportement est lié au fait que SO(3) n'est pas simplement connexe. C'est un problème purement topologique.

Enfin n'oublions pas que l'anti-commutateur de deux générateurs spinoriels de supersymétrie agissant sur un champ équivaut à l'action d'une translation !
D'où le terme de "racine carrée" de la géométrie pour la susy locale.

Là je veux bien, à la rigueur. Une opération de de supersymétrie c'est la racine d'une translation spatio-temporelle. C'est toutefois une manière bizarre et inutile pour décrire la composition de 2 opérations de groupe. Mais je ne voie pas dans ce contexte le rapport vecteur-spineur.
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Bilan: Je ne voie toujours pas ce que signifie:Un spineur est la racine carrée d'un vecteur!

[mtheory]

Je redonne le lien de wikipédia que j'avais donné:

http://en.wikipedia.org/wiki/Spinor

où l'on affirme bien le lien entre algèbre de Clifford et spineur et où l'on parle des spineurs comme racine carrée de vecteurs isotropes

cf isotropic vector
.....
Either choice of sign solves the system (1). Thus a spinor may be viewed as an isotropic vector, along with a choice of sign. Note that because of the logarithmic branching, it is impossible to choose a sign consistently so that (3) varies continuously along a full rotation among the coordinates x. In spite of this ambiguity of the representation of a rotation on a spinor, the rotations do act unambiguously on the ratio ξ1:ξ2 since one choice of sign in the solution (3) forces the choice of the second sign. In particular, the space of spinors is a projective representation of the orthogonal group.

As a consequence of this point of view, spinors may be regarded as a kind of "square root" of isotropic vectors. Specifically, introducing the matrix

.....

[invite69d38f86]

bonjour,

j' ai du mal à comprendre ce qu'implique une supersymérie.
Ainsi peut on "transformer" un faisceau lumineux laser cohérent en un analogue de Sphotons (fermions) ayant les memes proprietes?

Si le lien entre spin et statistique est toujours valable dans ce cadre, comment cela est il compatible avec le fait qu'une symétrie conserve les probabilites de transitions?

meilleurs voeux pour 2007

[mtheory]

bonjour,

j' ai du mal à comprendre ce qu'implique une supersymérie.
Ainsi peut on "transformer" un faisceau lumineux laser cohérent en un analogue de Sphotons (fermions) ayant les memes proprietes?

Bonjour,ça me semble exclu puisque les sphotons étant des fermions ils sont soumis au principe de Pauli,donc impossible de faire des lasers avec ça.
Sans quoi on ferait des 'laser' d'électrons au lieu de photons.
Si vous voulez,de même qu'un proton et un neutron sont deux états(isospin) d'une même particule,le nucléon,il y aurait une super particule pouvant se trouver dans deux états possibles.
L'un des états est de spin entier et l'autre demi entier.
Bien sûr la transition de l'un à l'autre est restreint par la conservation du moment cinétique au minimum.

[invite69d38f86]

bonjour MTHEORY,

j'avais pris cet exemple car il me semblait impossible à priori!

reste donc ma question, puisqu'on a une supersymétrie (qui conserve les probabilites par definition) quelles sont les proprietes conservées?

[mtheory]

bonjour MTHEORY,

j'avais pris cet exemple car il me semblait impossible à priori!

reste donc ma question, puisqu'on a une supersymétrie (qui conserve les probabilites par definition) quelles sont les proprietes conservées?

La charge si je me souviens bien et aussi certains autres nombres quantiques.
Mais là je suis pas au top,j'ai étudié essentiellement des choses sur la supergravité en liaison avec les trous noirs,pas avec le modèle standard et les champs de Yang Mills.

[inviteb5c686f6]

Bonjours je découvre le post et je dois dire que je ne comprends rien.
Cela n'est pas dût à un manque de logique mais je ne comprends pas les termes que vous employés. En l'occurrence celui d'algebre de lie.
D'ou la question, est-il possible que l'on m'explique avec les main ce qu'est l'algebre de lie avec un petit exemple simple.
Je connais la défintion d'une algebre mais celle de lie je sais pas.
G un niveau ingénieur, g des notions correct en mécaQ et relativité donc mais jamais je me suis intéresser a la question de comprendre l'algebre de lie.

[invite9c9b9968]

Salut,

Je n'ai pas le temps de m'attarder dessus ce soir, je te conseille la lecture de ceci pour commencer, c'est assez bien fait :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Algèbre_de_Lie

[mtheory]

Bonsoir,j'espère que Gwyddon ne m'en voudra pas mais je DETESTE cette façon d'introduire les groupes de Lie et les algèbres de Lie,la façon dont les mathématiciens modernes l'introduisent en fait.

Je préfère ne pas dire clairment ce que j'en pense,ça pourrait choquer.

Bien,pour moi rien de mieux que l'approche historique,qui de plus rend totalement évidente la théorie de la quantification de Dirac,sans rire!

Donc il faut absolument lire le début de ça:

http://cdl.library.cornell.edu/cgi-b...02920002&seq=5

[mtheory]

Même mieux,un fois qu'on a compris la définition classique des choses comme la quantification BRST,les condition D=0 ou Q =0 en susy deviennent évidentes,tout comme le rôle des opéateurs en MQ par ex...

[invite9c9b9968]

Ton côté physicien reprend le dessus

Pourquoi je t'en voudrais si tu exhibes une réf qui explique plus visuellement les choses ? Au contraire !

Mais il est vrai que pour moi la présentation matheuse me convenait. Mais je concède que pour débuter sur la chose, surtout pour quelqu'un qui approche la chose pour la première fois, c'est sans doute une erreur (un peu comme les tenseurs en fait)

[inviteb5c686f6]

L'approche mathématique est une approche trops formel idéal lorsque l'on a fait le tour de la question est que l'ont veut la cristalliser en symbole pour ensuite la developper de façon plus efficace.
Je commence toujours par une approche historique au moin en comprend les raisons qui ont pousser la création de l'objet étudier.

[mtheory]

Mais il est vrai que pour moi la présentation matheuse me convenait.

C'est normale,parce que tu as été entrainé à l'approche ensembliste et algébrique de maths et que tu es doué pour.
Conceptuelement,pour un physicien,la façon dont les mathématicien enseignent la théorie des groupes de Lie c'est du "abstract non sens" et je soutiens même que ça créer des dégats graves.

J'avais parlé de ça dans le fil suivant:

http://forums.futura-sciences.com/post681627-4.html

[mtheory]

C'est normale,parce que tu as été entrainé à l'approche ensembliste et algébrique de maths et que tu es doué pour.
Conceptuelement,pour un physicien,la façon dont les mathématicien enseignent la théorie des groupes de Lie c'est du "abstract non sens" et je soutiens même que ça créer des dégats graves.

J'avais parlé de ça dans le fil suivant:

http://forums.futura-sciences.com/post681627-4.html

Le fil est à lire au moins jusqu'à

http://forums.futura-sciences.com/post682053-18.html

[invite9c9b9968]

Je suis d'accord avec ton analyse sur moi
Puisque en effet j'ai suivi une formation qui était avant tout destiné aux mathématiciens purs et durs dans ma prépa (surtout lorsque tu t'amuses à faire des sujets ENS en maths filière MP...)

Et je suis d'accord avec le post que tu cites, pour moi aussi une particule n'est qu'une émergence de propriétés liées à des symétries. Par exemple le spin et la masse comme tu le dis pour une particule en relativité émergent de l'invariance de certaines quantitées sous le groupe de Poincaré (pour la masse c'est facile : il suffit de voir l'action d'une transfo de Lorentz sur le quadrivecteur impulsion)

Bref tu fais bien, et oublions wikipedia

[mtheory]

Maintenant quand tu as compris la théorie classique,tu comprends que la façon la plus simple/puissante et la plus générale de traiter abstraitement des groupes et Algébres de Lie ça devient affectivement d'oublier les notions d'équations différentielles et de se consacrer à la structure algébrique et topologique abstraite.
Pour un mathématicien avancé ça devient LA chose à faire absolument pour simplifier et généraliser les démonstrations/théorèmes.

Mais ça revient à enseigner l'Analyse au Lycée en partant de la théorie des espaces vectorielles topologique et de la mesure parce que c'est le cadre abstrait le plus puissant/simple générale pour l'analyse !

C'est ce qu'il font,selon moi, avec les groupes de Lie quand ils les parachutent à des physiciens sans préparations adéquates.

[mtheory]

Je reviens,une fois "digéré" ce que j'ai posté vous devriez comprendre ce que je vais dire.

Initialement,la quantification selon Bohr/Sommerfeld d'un système,revenait à calculer pour un système dans l'espace des phase (q,p) une intégrale curviligne que l'on égalait à un multiple de la constante de Planck.

En fait,comme Erenfest l'avait prouvé,cela revenait à considérer des invariants adiabatiques en liaison avec les équations différentielles du mouvement dans l'espace de phase du système mécanique.
Rappelons que la théorie Lie permet de classifier les équations différentielles par leur invariance sous un groupe de transformations données et leur adjoint des lois de conservations (ex Noether).
Si je cherche une fonction invariante par un groupe de transformation analytique alors il existe un nombre fini de fonctions de bases invariantes Ii par ce groupe déterminées par la condition d'être annulées par les générateurs infinitésimaux Ua des transformations.

Les solutions de l'équation différentielle sont alors des fonctionnelles des Ii et d'eux seules.

Donc si je veux déterminer une équations différentielles posédant des propriétés de symétrie et des lois conservées je pose des conditions:
Ua (Ii)=0
et automatiquement je sélectionne des classes d'équations invariantes.

Quantifier une équation d'un système mécanique c'est lui imposer d'avoir des quantités conservées quantique,des invariants adiabatique.
Or la théorie de Lie en mécanique Analytique c'est très directement liée aux crochets de Poisson et aux invariant canoniques!
Avoir un système mécanique invariant de Lorentz c'est donc aussi lui imposer des conditions avec les générateurs du groupe de Lorentz sous forme infinitésimal.Quand on ne sait pas quelles équations la nature à choisi comme équations de mouvement pour ses grandeurs fondamentale,la théorie de Lie nous permet AUTOMATIQUEMENT de poser des restrictions fortes à la forme des équations.

Dans le cas quantique les crochets de Poisson et les commutateur de Dirac-Heisenberg (qui sont des invariant canonique) ce sont donc bien les invariants adiabatique de Bhor Sommerfeld!.
La constante de Planck est donc une sorte d'invariant du système mécanique,pas étonnant que les commutateurs soient centraux pour la MQ!

Avec eux on est sûr d'avoir une quantification automatique d'une large classe de systèmes dynamiques pourvue que l'on ait une forme Hamiltonienne.

La théorie des groupes encore et toujours !

Chercher des Lagrangiens supersymétriques c'est trouver un supergroupes de Lie,ces générateurs infinitésimaux et hop le tour est joué!
On sait comment construire automatiquement toutes les équations différentielles respectant le principe de moindre action et l'invariance par SUSY.
Maintenant,si l'on veut des équations invariantes par plusieurs groupes et donnant lieux à des invariants adiabatiques quantique,il faut s'assurer que que cela soit possible.
La surprise est que ça réduit encore drastiquement la forme des équations possibles.
C'est ce qu'il ya derrière toute la théorie quantique des champs et toute la théorie des supercordes.
Et c'est pourquoi les fondements sont si "nécessaires" et naturels !

[mtheory]

Je vais donné une liste de liens puis après ceux qui me semblent les plus appropriés pour débuter et comme références.

http://web.mit.edu/redingtn/www/netadv/Xsusy.html

http://arxiv.org/PS_cache/hep-ph/pdf/9709/9709356.pdf

très complet et très bon !

[inviteb5c686f6]

Je comprend pas tout parce que je n'ais jamais fais de théorie de groupe juste un peu.
Pour ma part mes connaissance ce bornes dans une approximation des différents volumes de Landau-Lifshitz.

Je pensais que l'on expliquer tout uniquement a partir de la notion d'action qui amène la notion de fonction de lagrange
de nature indéterminer que l'on cherche à preciser avec la théorie des groupes et en l'occurence les groupes de lie.

puis la suite Mtheory la bien dit.... me suis-je tromper???
Mais c génial de tout reconstruire a partir d'un concept et de forme simple!!!!
De plus les physiciens explique bien mieu la théorie que les matheux ;

[invite9c9b9968]

Mais c génial de tout reconstruire a partir d'un concept et de forme simple!!!!

N'est-ce-pas

Théorie des groupes + principe de moindre action = Le bonheur en physique