supersymétrie,supergravité and all that

[mtheory]

J'ouvre un fil sur se sujet.
Cela comprendra l'historique,les signatures expérimentales,les connexions avec les cordes etc...

Pour l'historique on a déjà ça:

http://cerncourier.com/main/article/41/2/15/1
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[mtheory]

Je vais donné une liste de liens puis après ceux qui me semblent les plus appropriés pour débuter et comme références.

http://web.mit.edu/redingtn/www/netadv/Xsusy.html

[mariposa]

J'ouvre un fil sur se sujet.
Cela comprendra l'historique,les signatures expérimentales,les connexions avec les cordes etc...

Pour l'historique on a déjà ça:

http://cerncourier.com/main/article/41/2/15/1

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Bonne idée d'avoir ouvert un fil spécialisé.
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Je reformule une question en préalable.

Comment définit-on une algébre supersymétrique la plus générale (donc sans référence à un contexte physique particulier) et quelle est la différence essentielle avec l'algébre de Lie (avec un sens physique).
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ps: je dois m'absenter 1/2 heure

[mariposa]

Je vais donné une liste de liens puis après ceux qui me semblent les plus appropriés pour débuter et comme références.

http://web.mit.edu/redingtn/www/netadv/Xsusy.html

Il n'y a pas de quoi s'ennuyer avec ses références. Je vais les étudier consciencieusement et je reviendrais dans 10 ans pour poser des questions!
.
Plus sérieusement, il faudrait que tu établisses une hiérarchie là dedans, car je ne vois pas par quel bout commencer. Et je ne dois pas être le seul.

[A voir en vidéo sur Futura]

[mtheory]

Il n'y a pas de quoi s'ennuyer avec ses références. Je vais les étudier consciencieusement et je reviendrais dans 10 ans pour poser des questions!
.
Plus sérieusement, il faudrait que tu établisses une hiérarchie là dedans, car je ne vois pas par quel bout commencer. Et je ne dois pas être le seul.

J'en suis bien conscient,j'y travail là justement.
C'est ce que j'avais dit,je donne des liens complets pour références futures mais juste après je donnerai un choix pour débuter et répondre à des questions plus précises .

[Karibou Blanc]

Comment définit-on une algébre supersymétrique la plus générale (donc sans référence à un contexte physique particulier) et quelle est la différence essentielle avec l'algébre de Lie (avec un sens physique).

On définit grosso modo une algèbre supersymétrique de la même manière qu'une algébre de Lie classique, mais en remplacant les relations de commutations par des relations d'anti-commutation, et les generateurs de l'algebre deviennent des variables de Grassmann.

[mariposa]

On définit grosso modo une algèbre supersymétrique de la même manière qu'une algébre de Lie classique, mais en remplacant les relations de commutations par des relations d'anti-commutation, et les generateurs de l'algebre deviennent des variables de Grassmann.

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Ce n'est pas la définition que j'ai trouvé dans un livre (Antony Sudbery). Il y a à la fois des relations de commutation et d'anticommutation.
;
Une super-algébre de Lie L est la somme directe de 2 espaces L° + L1
.
1- Avec une application bilinéaire anti-symétrique L°*L° dans L° . Cad que L° est munie d'une algébre de Lie.

2- Avec une application bilinéaire symétrique L1*L1 dans L1. Là on a des anticommutateurs.
.
3- Avec une application bilinéaire (tout court) de L°*L1 dans L1
.
Il vaudrait se mettre d'accord sur ce qu'est une algèbre supersymétrique.

Au delà j'aimerais bien me faire une idée sur le sens physique de ces relations, si cela est possible.

[invite8ef897e4]

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Ce n'est pas la définition que j'ai trouvé dans un livre (Antony Sudbery). Il y a à la fois des relations de commutation et d'anticommutation.

C'est ce qui me semblait aussi. Si l'on n'a que des relations d'anticommutation, c'est une algebre de Grassmann justement. Non ?

Au delà j'aimerais bien me faire une idée sur le sens physique de ces relations, si cela est possible.

Le sens physique des relations de commutations/anti-commutations ? Ce sont les statistiques de bosons et fermions. Y a-t-il quelque chose de plus profond ?

[invite8ef897e4]

Ce sont les statistiques de bosons et fermions.

Je réalise que ceci n'est valable que pour les opérateurs de création et d'annihilation... mais vis-à-vis du formalisme canonique, on décompose toujours là-dessus (et on obtient les diagrammes de Feynman)

[mariposa]

C'est ce qui me semblait aussi. Si l'on n'a que des relations d'anticommutation, c'est une algebre de Grassmann justement. Non ?

Oui

Le sens physique des relations de commutations/anti-commutations ? Ce sont les statistiques de bosons et fermions. Y a-t-il quelque chose de plus profond ?

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Non, cela n'a rien à voir;

Quand on construit une algébre de lie a partir des opérateurs de création et destruction, que ce soit des bosons ou des fermions on obtiend toujours des relations de commutation.

Par exemple si on part des opérateurs création-destruction de neutrons protons et particule étrange on obtiend l'algébre de Lie SU(3). La raison est que le calcul fait intervenir des formes bilinéaires formées a partir des opérateurs de création et d'de destruction,.

[mariposa]

Il y a quelquechose sur la supersymétrie que l'on trouve dans les dossiers de Futura:

"Extension des propriétés de symétrie de l’espace-temps à l’aide d’algèbres hypercomplexes (comme Clifford et Grassmann). De même que les nombres complexes sont des outils puissants pour la géométrie et l’analyse, on peut étendre l’algèbre des nombres complexes pour tenir compte des notions d’espaces-temps à 4 dimensions (et plus). La ‘racine carré’ des vecteurs de l’espace-temps peut alors donner lieu à des objets que l’on nomme spineurs qui comme leur nom l’indique sont étroitement liés aux rotations dans l’espace-temps. Il en résulte une algèbre, une géométrie et une analyse généralisée telle que la supersymétrie est parfois appelée la ‘racine carré de la géométrie’".


Il est clairement écrit que la supersymétrie est la racine carré de la géométrie. il y a là une confusion manifeste avec l'algèbre de Clifford et l'algébre supersymétrique qui n'ont stictement aucun rapport entre eux. On peut trouver des variantes quant à la définition d'une algébre supersymétrique, mais là on est dans l'erreur absolue.
.
Quelqu'un pourrait rapporter une autre définition de celle que j'ai rapportée dans mon précedent post?

Hors sujet:

Il est également écrit:

"La ‘racine carré’ des vecteurs de l’espace-temps peut alors donner lieu à des objets que l’on nomme spineurs qui comme leur nom l’indique sont étroitement liés aux rotations dans l’espace-temps."

Cela ne veut rien dire et il n'y a rien à voir entre la racine carré des vecteurs et les spineurs, c'est complètement délirant. Je serais d'avis de supprimer ce dossier ou de l'amender fortement.

[invite8ef897e4]

Cela ne veut rien dire et il n'y a rien à voir entre la racine carré des vecteurs et les spineurs, c'est complètement délirant. Je serais d'avis de supprimer ce dossier ou de l'amender fortement.

D'un point de vue de mathématicien, il est sans doute incorrect d'affirmer une telle chose sans avoir défini "racine carré" dans ce contexte. Mais cet abus de langage, je l'ai trouvé dans des bouquins de théoriciens renommés, et pas des moindres. On peut vraiment écrire un vecteur arbitraire comme le "produit" d'un spineur par lui-même (son conjugué).

[mtheory]

La structure de super algèbre de Lie est effectivement une structure d'algèbre de Grassman si je me souviens bien,ce qui fait qu'il y a une relation avec toute la machinerie des espaces de p-formes différentielles sur une variété.
Witten a été le premier à pointé cela et c'est pourquoi des gens comme Bott et bien d'autres ont trouvé des liens profond avec la topologie des variétés différentiables.

Selon moi,on a une structure qui peut se connecter à des histoires de symétrie d'espace-temps et de théorie quantique des champs,et c'est historiquement comme ça que c'est apparue mais derrière ça il y a quelque chose qui mathématiquement n'a pas de relation absolu avec les groupes de Poincaré/Lorentz et la mécanique quantique.
Malgré tout,selon la lecture que j'en ai,les algébres de supersymétrie sont les algèbres d'extensions maximales des symétrie de l'espace-temps tout comme les nombres complexes et l'analyse complexe sont les extensions maximales de l'analyse réelle et des symétrie dans le plan (Au moins de façon analogue au sens qu'on donne aux extensions algébriques en mathématique).
C'est pourquoi leurs rôles dans des théorêmes pour la géométrie/topologie des variétés et l'analyse des champs quantiques relativistes sont si importants,surtout pour la supergravité où l'on dit souvent que la supersymétrie est la racine carré de la géométrie.
Dans ces cadres,j'ai l'impression que ne pas croire à la susy est un peu comme ne pas croire à l'existence de symétries conforme/de rotation dans l'analyse des équations de champs de vecteurs/scalaires dans le plan complexe.

[invite8ef897e4]

Par exemple si on part des opérateurs création-destruction de neutrons protons et particule étrange on obtiend l'algébre de Lie SU(3).

Mais la symétrie de saveur n'a effectivement rien a voir avec ça. Si je prends juste le champ de l'électron, tout seul, ses opérateurs de création et d'annihilation anti-commutent. Cela a bien à voir avec le spin et les propriétés de symétries sous l'échange de particules.

[mtheory]

Cela ne veut rien dire et il n'y a rien à voir entre la racine carré des vecteurs et les spineurs, c'est complètement délirant. Je serais d'avis de supprimer ce dossier ou de l'amender fortement.

Hum...il va falloir dire ça à John Wheeler.

Je vais vérifier les sources.

[mtheory]

Il y a quelquechose sur la supersymétrie que l'on trouve dans les dossiers de Futura:

"Extension des propriétés de symétrie de l’espace-temps à l’aide d’algèbres hypercomplexes (comme Clifford et Grassmann). De même que les nombres complexes sont des outils puissants pour la géométrie et l’analyse, on peut étendre l’algèbre des nombres complexes pour tenir compte des notions d’espaces-temps à 4 dimensions (et plus). La ‘racine carré’ des vecteurs de l’espace-temps peut alors donner lieu à des objets que l’on nomme spineurs qui comme leur nom l’indique sont étroitement liés aux rotations dans l’espace-temps. Il en résulte une algèbre, une géométrie et une analyse généralisée telle que la supersymétrie est parfois appelée la ‘racine carré de la géométrie’".


Il est clairement écrit que la supersymétrie est la racine carré de la géométrie. il y a là une confusion manifeste avec l'algèbre de Clifford et l'algébre supersymétrique qui n'ont stictement aucun rapport entre eux. On peut trouver des variantes quant à la définition d'une algébre supersymétrique, mais là on est dans l'erreur absolue.
.
Quelqu'un pourrait rapporter une autre définition de celle que j'ai rapportée dans mon précedent post?

Hors sujet:

Il est également écrit:

"La ‘racine carré’ des vecteurs de l’espace-temps peut alors donner lieu à des objets que l’on nomme spineurs qui comme leur nom l’indique sont étroitement liés aux rotations dans l’espace-temps."

Cela ne veut rien dire et il n'y a rien à voir entre la racine carré des vecteurs et les spineurs, c'est complètement délirant. Je serais d'avis de supprimer ce dossier ou de l'amender fortement.

Bon,franchement je ne vois pas le problème.

http://en.wikipedia.org/wiki/Spinor

Il est habituel de faire un lien entre spineurs et l'idée de "racine carré" de vecteur,de plus les spineurs sont incontestablement liés aux algèbres de Clifford et comme les générateurs de supersymétries sont des quantitées spinorielles je ne vois pas où il y a délire .

[mariposa]

La structure de super algèbre de Lie est effectivement une structure d'algèbre de Grassman si je me souviens bien,ce qui fait qu'il y a une relation avec toute la machinerie des espaces de p-formes différentielles sur une variété.
Witten a été le premier à pointé cela et c'est pourquoi des gens comme Bott et bien d'autres ont trouvé des liens profond avec la topologie des variétés différentiables.

J'ai trouvé dans un autre livre:Oxford guide to mathematics une définition voisine de celle que j'ai trouvé par ailleurs, mais avec des différences que je commenterais après.

Une superalgébre de Lie L est une somme directe L°+L1 avec:
.
1- u et v appartiennent à L° donne un vecteur de L°

2-u et v appartiennent à L1 donne un vecteur de L°

3- u appartient à L° et v appartient à L1 donne un vecteur de L1

Il y a 2 sortes de différences avec la précédente définition:

A Les "croisements" ne sont pas les mêmes.
B les formes bilinéaires ne subissent aucune restriction.
.
apres quoi il est dit que la superalgèbre est supercommutative lorsque:
.
Quand l'un des vecteurs appartiend à L° l'application bilinéaire est antisymétrique. Quand les 2 appartiennent à L1 l'application linéaire est symétrique.

enfin il est précisé que l'algébre de Grassmann est transformé en superalgébre supercommutative par la gradation:

...blablabla...


cad une expression que je ne comprends pas.


C'est quoi une gradation?

[mtheory]

A l'appui de mon poste,voilà ce que je cherchais pour vous depuis ce matin.
http://aps.arxiv.org/abs/hep-th/9811101
Dans le glossaire de Futura il n'est pas dit que l'algèbre de supersymétrie s'identifie avec l'algèbre de Clifford mais qu'elle repose dessus et qu'il s'agit d'une algèbre similaire aux constructions algébriques avancées qu'on appelle communément depuis au moins Van der Waerden,des algèbres hypercomplexes comme les quaternions et les algèbres de Grassman.

[mariposa]

Bon,franchement je ne vois pas le problème.

http://en.wikipedia.org/wiki/Spinor

Il est habituel de faire un lien entre spineurs et l'idée de "racine carré" de vecteur,de plus les spineurs sont incontestablement liés aux algèbres de Clifford et comme les générateurs de supersymétries sont des quantitées spinorielles je ne vois pas où il y a délire .

Entièrement d'accord pour rattacher la "racine carré" d'un vecteur à l'algébre de Clifford.
.
Dirac cherche à résoudre:

x2-t2 = (a.x + b.t)2

A gauche on a la valeur d'une forme quadratique définie sur Minskovski.
A droite un vecteur de Minkovski sur le quel est appliqué une transfomation linéaire (inconnue) et multiplié par lui-mêle. On a ainsi une multiplication entre vecteurs donc une algébre.
.
Le fait que l'on doit avoir égalité définit l'algébre de clifford.
.
Après quoi je ne comprends le lien avec les spineurs. La solution du problème de Clifford donne 4 champs. Le fait que le vecteur 4 composantes se décompose en 2 doublets de SU(2) ne me parait lié à la solution de Clifford, ça me parait 2 choses indépendantes à moins que quelquechose m'échappe complètement.

[mtheory]

Pour les notions d'algèbres graduées,ce que donne wikipédia me semble pas mal.

http://en.wikipedia.org/wiki/Graded_algebra

cela semble bien tout confirmer.

[mariposa]

Mais la symétrie de saveur n'a effectivement rien a voir avec ça. Si je prends juste le champ de l'électron, tout seul, ses opérateurs de création et d'annihilation anti-commutent. Cela a bien à voir avec le spin et les propriétés de symétries sous l'échange de particules.

c'est juste mais cela n'a rien à voir avec la création de l'algébre de Lie.

Pour pouvoir avoir une algébre de Lie minimale il faut 2 particules par exemple un neutron et un proton. Avec ceux-ci on peut former 4 produits d'opérateurs qui forment un espace vectoriel de dimension 4. par combinaison linéaire adhoc on obtiend l'algébre de Lie de SU(2). au passage il y a 1 dimension de trop que l'on élilmine. c'est ainsi que l'on montre rigoureusement l'isospin.

Bien entendu dans ce calcul les opérateurs individuels anticommutent.

[mtheory]

Entièrement d'accord pour rattacher la "racine carré" d'un vecteur à l'algébre de Clifford.
.

Après quoi je ne comprends le lien avec les spineurs. La solution du problème de Clifford donne 4 champs. Le fait que le vecteur 4 composantes se décompose en 2 doublets de SU(2) ne me parait lié à la solution de Clifford, ça me parait 2 choses indépendantes à moins que quelquechose m'échappe complètement.

Je ne comprends toujours pas votre problème,les spineurs ont une place naturelle dans les algèbres de Clifford et il existe un lien entre les quaternions et les spineurs/vecteurs.
Prendre la racine carré d'un quaternion ne pose pas de problème,tout comme la racine carré d'un vecteur dans le plan complexe.
Bien evidemment les spineurs sont plutôt liés a des vecteurs nuls de l'espace-temps à la base mais je ne vois pas ce qui empêche de considérer les spineurs comme des genres de racines carrées des vecteurs.
J'ai vu ça souvent sous la plume de John Wheeler et ailleurs.

[mtheory]

Pour les notions d'algèbres graduées,ce que donne wikipédia me semble pas mal.

http://en.wikipedia.org/wiki/Graded_algebra

cela semble bien tout confirmer.

On trouve d'ailleurs:

Examples:

A group naturally grades the corresponding group ring; similarly, monoid rings are graded by the corresponding monoid.
A superalgebra is another term for a Z2-graded algebra. Examples include Clifford algebras. Here the homogeneous elements are either of degree 0 (even) or 1 (odd).

La notion de graduation me semble liée à l'idée d'introduire des algèbres de Lie et leur généralisation en relation avec l'algèbre extérieur des formes différentielles.

[mtheory]

La notion de graduation me semble liée à l'idée d'introduire des algèbres de Lie et leur généralisation en relation avec l'algèbre extérieur des formes différentielles.

http://en.wikipedia.org/wiki/Graded_Lie_algebra

mais bon,je vois surtout ça de façon heuristique

[mariposa]

Je ne comprends toujours pas votre problème,les spineurs ont une place naturelle dans les algèbres de Clifford et il existe un lien entre les quaternions et les spineurs/vecteurs.
Prendre la racine carré d'un quaternion ne pose pas de problème,tout comme la racine carré d'un vecteur dans le plan complexe.
Bien evidemment les spineurs sont plutôt liés a des vecteurs nuls de l'espace-temps à la base mais je ne vois pas ce qui empêche de considérer les spineurs comme des genres de racines carrées des vecteurs.
J'ai vu ça souvent sous la plume de John Wheeler et ailleurs.

.
Il est hautement probable que quelquechose m'échappe:
.
Quand Dirac I cherche à trouver une équation du premier ordre en temps (et donc en espace) il résoud le problème en trouvant les fameuses matrices gamma définie par une algébre de clifford). Il obtiend donc sa fameuse équation.
.
Maintenant Dirac II doit résoudre cette équation à 4 composantes et donc trouver les 4 solutions dégénérés. Maintenant ces solutions doivent se classés suivant les reprsentations irréductibles du groupe de Lorentz et peutêtre de sous-groupe. Il trouve donc que le quadrivecteur se décompose en 2 doublets de sU(2).
.
C'est ainsi que je voie les choses et évidemment je ne peux pas établir le lien entre spineurs et algébre de Clifford. J'ai certainement une lacune quelquepart.

[mtheory]

Les algèbres de Clifford ont une représentation spinorielle,ça ne suffit pas pour établir un lien ?

[mariposa]

Les algèbres de Clifford ont une représentation spinorielle,ça ne suffit pas pour établir un lien ?

.
ah oui.....................

[Gwyddon]

Si je puis me permettre une petite (mais vraiment toute petite, après je m'en vais ) incursion ici :

Dans le livre de Julius Wess, il définit une algèbre supersymétrique en définissant les opération d'anticommutation et de commutation sur les opérateurs supersymétriques et les opérateurs d'impulsion où est un indice spinoriel, A un indice référent à l'algèbre supersymétrique (attention je n'y comprend pas grand chose encore...) et m un indice de Lorentz habituel.


Il dit que l'interêt mathématique de l'algèbre de Lie supersymétrique est que c'est l'unique algèbre de Lie graduée des symétries de la matrice S consistente avec la théorie quantique relativiste des champs (si certains veulent savoir le pourquoi de la supersymétrie, bah voilà...)

Ne m'en demandez pas plus

(Je commence à peine à jeter un oeil sur ce genre de truc...)

[mtheory]

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ah oui.....................

Mais je sais pas si ça suffira pour éclairer ce qui vous pose problème .
L'article de West me semble très complet sur plein de chose cependant:

http://aps.arxiv.org/abs/hep-th/9811101

[mtheory]

Il dit que l'interêt mathématique de l'algèbre de Lie supersymétrique est que c'est l'unique algèbre de Lie graduée des symétries de la matrice S consistente avec la théorie quantique relativiste des champs (si certains veulent savoir le pourquoi de la supersymétrie, bah voilà...)

En gros c'est effectivement le point clé pour l'introduction de la susy,si on cherche un groupe unifiant les symétrie d'espace-temps et les groupes de jauge des théorie de Yang-Mills alors il semblerait qu'au niveau de la matrice S on n'ait plus le choix.
C'est forcément un supergroupe et d'une certaine façon on a trouvé les types de symétries maximales possibles pour une théorie quantique des champs relativistes.
C'est un résultat trés impressionnant !
Du coup cela pose des restrictions très sévères sur les types d'équations relativistes et quantiques devant décrire la nature.