Relativité restreinte

[Thorin]

Bonjour,

je viens de finir ma MPSI (je précise histoire de pas être embarqué dans des trucs atrocement incompréhensibles à mon niveau ).


J'ai lu hier ceci : http://www.sciences.ch/htmlfr/cosmol...visteres01.php

Il y a néanmoins une question qui me reste : comment sait-on que les transformations de Lorentz doivent être linéaires ?
L'hypothèse que j'envisage intuitivement est que si elles ne le sont pas, on pourrait arriver, après changement de référentiel, à ce que le temps dans le nouveau référentiel ne soit plus "régulier" comme il l'était dans le référentiel d'origine, ce qui serait, je suppose, embêtant.

Toutefois, j'aimerais en avoir une explication (démonstration...) véritable de ceci.



Une autre chose : j'ai relativement facilement réussi à construire un schéma "expliquant" la dilatation du temps, à l'aide de pythagore, en revanche, je n'arrive à rien pour la contraction des longueurs : quelqu'un sait-il comment schématiser ce phénomène ?

Merci.

Thorin.
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[GrisBleu]

salut

si je me souviens bien, si tu prends des choses non lineaires, un mouvement uniformes devient non uniformes dans un autre refentiel inertiel.
Hors, le but des referentiels inertiels est, au moins, que ce ne se produise pas (sinon ils ne sont plus inertiels)
a+

[Thorin]

Tu en as la démonstration mathématique ?

[Karibou Blanc]

Tu en as la démonstration mathématique ?

Tu peux le voir simplement comme suit. Suppose que dans un référentiel inertiel R, un corps a un équation horaire de la forme : ou v est sa vitesse dans R, et on se limite à seulement une direction d'espace x, pour simplifier. (Note également ce corps constitue lui aussi un référentiel inertiel car il n'est pas accéléré ). Maintenant passons dans un autre référentiel inertiel R' se déplacant à la vitesse V par rapport à R. La loi horaire s'écrira dans ce nouveau référentiel comme x'(t') où x' et t' sont reliés à x et t par la transformation de Lorentz : et . Suppose maintenant que les fonctions f et g ne sont pas linéaire en x et t. Par exemple prenons la forme :
et , tu peux facilement montrer que l'équation horaire dans le référentiel R' sera de la forme : , ton corps initial se retrouve accéleré : . Or ce ne peux être le cas puisque ce corps constitue un référentiel inertiel et d'apres la relativité restreinte, un corps ne peut prendre une accélérateur en changeant de référentiel (inertiel) d'observation.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8ef897e4]

Bonjour,

la structure du groupe de Lorentz resulte entierement de la forme quadratique associee a la preservation de la vitesse de la lumiere. Autrement dit, la linearite resulte de la composition dans le groupe. On impose cela parce que l'on veut une loi qui respecte l'isotropie et l'homogeneite (autrement dit, invariance sous les rotations et les translations). D'ailleurs, une transformation de Lorentz n'est rien d'autre qu'une rotation a 4D.

edit
croisement avec Karibou blanc

[Thorin]

Par exemple prenons la forme :
et , tu peux facilement montrer que l'équation horaire dans le référentiel R' sera de la forme : , ton corps initial se retrouve accéleré : . Or ce ne peux être le cas puisque ce corps constitue un référentiel inertiel et d'apres la relativité restreinte, un corps ne peut prendre une accélérateur en changeant de référentiel (inertiel) d'observation.

Certes, mais ce n'est qu'un exemple, ça ne montre pas qu'aucune forme non linéaire ne convient.



humanino, peux-tu détailler le raisonnement qui démarre par les conditions à remplir par les transformations jusqu'à la conclusion qu'elles doivent être linéaires?
Je ne comprends pas très bien dans quel ordre tu chemines.

On veut une loi qui respecte homogénéité et isotropie, donc invariance par translation et rotation, ok...mais invariance par translation et rotation de quoi par rapport à quoi, exactement ?

que faut-il transformer, et avec quoi, et qui doit être invariant ?

Merci.

[invite8ef897e4]

que faut-il transformer, et avec quoi, et qui doit être invariant ?

En geometrie eculidienne, les rotations sont les seules isometries qui respectent la parite (ajouter les reflections pour perdre la parite). De ce point de vue, il est clairement trivial que les transformations de Lorentz seules peuvent respecter l'invariance de la vitesse de la lumiere. Il suffit de passe en euclidien et respecter la forme quadratique associee

[Thorin]

Il ne doit pas y avoir de "moins" qui se ballade, dans la forme quadratique ?


Et de toute façon, je ne comprends toujours pas :/ Déjà, je ne vois pas ce que c'est que "respecter la parité" pour une isométrie.
Et puis mathématiquement, si une application laisse invariant quelque chose, (ici, la célérité), il faut qu'un applique l'application à ce quelque chose...or, la transformation de Lorentz s'appliquer à des quadruplet, pas à une vitesse ^o).

Et je ne vois toujours pas ce que le rotations concernent précisément ici : on fait tourner quoi ? par rapport à quoi ? dans quoi ?

Bref, pour moi, c'est toujours pas clair.

[invite8ef897e4]

Il ne doit pas y avoir de "moins" qui se ballade, dans la forme quadratique ?

Si, dans la version Minkowski de l'espace-temps, mais dans la version euclidienne, en correspondance bi-univoque, la signature peut etre choisie definie positive.

Et de toute façon, je ne comprends toujours pas :/ Déjà, je ne vois pas ce que c'est que "respecter la parité" pour une isométrie.

Les angles orientes si tu veux.

Et puis mathématiquement, si une application laisse invariant quelque chose, (ici, la célérité), il faut qu'un applique l'application à ce quelque chose...or, la transformation de Lorentz s'appliquer à des quadruplet, pas à une vitesse ^o).

Note qu'il existe une 4-vitesse mais ce n'est pas pertinent ici. Tu prends un interalle defini par un quadruplet ordinaire, un 4-vecteur.

Et je ne vois toujours pas ce que le rotations concernent précisément ici : on fait tourner quoi ? par rapport à quoi ? dans quoi ?

On fait tourner un 4-vecteur, comme dans une rotation autour d'un axe spatial, et on generalise directement aux axes spatio-temporels.

[Karibou Blanc]

Certes, mais ce n'est qu'un exemple, ça ne montre pas qu'aucune forme non linéaire ne convient.

Mais tu peux écrire n'importe quelle forme non-linéaire et montrer que la loi horaire ne contient pas de terme en t^2 si et seulement si les non-linéarité sont nulles.

Apres, l'approche d'humanino est certainement mathématiquement plus propre.

[chaverondier]

Peux-tu détailler le raisonnement qui démarre par les conditions à remplir par les transformations jusqu'à la conclusion qu'elles doivent être linéaires?

Une fois définie (dans un cadre géométrique approprié) la notion de référentiel inertiel, on peut établir la linéarité des transformations permettant de passer d'un référentiel inertiel à un autre à partir de l'hypothèse physique selon laquelle un observateur en chute libre dans un référentiel inertiel est en chute libre aussi dans tout autre référentiel inertiel.

On veut une loi qui respecte homogénéité et isotropie, donc invariance par translation et rotation, ok...mais invariance par translation et rotation de quoi par rapport à quoi, exactement ? que faut-il transformer, et avec quoi, et qui doit être invariant ?

Je me suis efforcé de donner une réponse à ces questions dans "Special Relativity and possible Lorentz violations consistently coexist in Aristotle space-time" en http://arxiv.org/abs/0805.2417 . En effet, dans cet article, les transformations de Lorentz sont établies à partir du principe de relativité des lois de la physique (vis à vis de l'instant, de la position, de l'orientation et du mouvement à vitesse constante). Il s'agit d'ailleurs d'une démonstration de forme très classique au détail près qu'elle fait explicitement apparaître le rôle de l'espace-temps d'Aristote. En effet, dans la façon habituelle d'établir les transformation de Lorentz, il est fait implicitement appel à l'espace temps d'Aristote (mais ce point n'est pas signalé explicitement). La géométrie de cet espace-temps, est le groupe d'Aristote, cad le groupe de symétrie associé à la relativité des lois de la physique vis à vis de la position, de l'instant et de l'orientation spatiale. C'est un sous-groupe à 7 paramètres du groupe de Poincaré.

Pour ce qui est de la contraction de Lorentz des longueurs, le plus simple est de l'obtenir à partir des transformations de Lorentz. En général, la notion de "contraction de Lorentz des longueurs" n'est pas très aimée. On lui affecte d'ailleurs souvent le qualificatif d'illusion d'optique, qualificatif qui donne lieu à de nombreuses erreurs d'interprétation de la part de ceux qui n'ont pas compris bien cette notion. La mise en relief de la notion de contraction de Lorentz des longueurs n'est pas très aimée car elle suggère la métaphore de l'éther, cad l'interprétation de l'invariance relativiste comme présentant un caractère thermodynamique statistique et non le caractère de principe absolu. Contrairement au premier choix l'adoption du principe de relativité comme principe absolu coupe court à un tas de questions auxquelles on serait bien en peine de répondre, en tout cas à ce jour (à quelle échelle se manifesteraient de légères violations d'invariance relativiste ? Faut-il attendre l'échelle de Planck où cela est-il susceptible de se produire avant ?). C'est le principe d'économie ou rasoir d'Ockam. Adopter le principe de relativité comme principe aboslu s'avère suffisant pour servir de socle à la théorie de la relativité. Qui plus est, cela met en avant les principes de symétrie qui jouent un rôle considérable de principe guide en physique théorique.

Comme détaillé dans l'article cité ci-dessus, on peut établir les transformations de Lorentz à partir de l'hypothèse d'invariance des lois de la physique

• par translation spatiale
• par translation temporelle
• par rotation spatiale
• par changement de référentiel inertiel.

[Thorin]

chaverondier, merci beaucoup pour ton article qui met fin à mes interrogations.


Karibou Blanc, c'est ce que me disait mon intuition, mais ce qui m'intéresse, c'est le cas général.


humanino, merci de ton aide, mais il me fallait beaucoup plus de détail pour bien comprendre


Merci à tous.


Thorin.