Quadrivecteur impulsion-énergie

[EspritTordu]

Bonjour,

Dans Introduction à la relativité restreinte (Jean Hladik, Michel Chrysos, Dunod 2001), page 110, paragraphe 513, on présente le quadrivecteur impulsion-énergie.

Soit le quadrivecteur vitesse U (U1,U2,U3,U4)=(u,U4). On veut copier la quantité de mouvement classique p=mv, c'est pourquoi on multiplie les quatres composantes logiquement par m. Il est dit alors que mU4 n'a pas de signification physique? Ne s'agit-il pas d'une quantité de mouvement en kg.m.s-1 aussi? On continue en disant alors que si on multiplie en plus par c, vitesse limite dans l'espace temps, c'est-à-dire multiplier U par mc, on aboutit à la fameuse équation E=mc2. Bon... Pourquoi c? Il s'agit d'un raisonnement inductif partant de la volonté de retrouver des composantes dont les unités équivalentes à de celle de l'énergie? Ce n'est pas une déduction, non?
Quoi qu'il en soit, multipler U par mc, cela donne le quadrivecteur impulsion-énergie P (P1,P2,P3,P4)=(cp,mc2/(1-v2/c2)^0.5) avec p l'impulsion classique.

Les auteurs poursuivent dans le paragraphe suivant, en précisant que P4 c'est l'énergie.... mais en multipliant p par c, cela ne devient-il pas de l'énergie aussi : p=mu où u est en m.s-1 donc p est en kg.m.s-1 et donc pc est en kg.m2.s-2 : c'est la même unité que E=mc2. Cela signifie que P1, P2,P3 sont aussi de l'énergie. Quel est alors la signification de P4 alors? S'agit de l'énergie globale des trois dimensions tel que P^2=P4^2-(P1^2+P2^2+P3^2)?

On note : P4=mc2/(1-v2/c2)^0.5=mc2+ 1/2mv2...
Comment mathématiquement parlant passe de gauche à droite s'il vous plaît?

On retrouve l'énergie au repos E0=mc2, et l'énergie cinétique classique. On peut penser que E0 vaut une chose comme p*c où p=mc, cela signifie-t-il que la masse au repos à une "quantité de mouvement" par rapport à un référentiel absolu allant à c?

Merci d'avance d'éclairer ma lecture!
-----

[vaincent]

salut,

P4 est l'énergie totale. l'expression mc^2 + (mv^2)/2 + ... est obtenue gràce au developpement limité de (1+x)^a en x=0, a quelconque.

[EspritTordu]

Pouvez-vous expliquer ce développement limité s'il vous plaît?

[vaincent]

bonjour,

ok on y va !

un developpement limité quelconque provient du developpement de Taylor d'une fonction au voisinage d'un point donné. Ainsi le developpement d'une fonction (n+1) fois dérivable(cela signifie que existe) au rang n au voisinage d'un point a est définie par :



où l'on a utilisé la formule avec le reste intégral (de Laplace) :



Cette formule se montre relativement facilement par récurrence en considérant le fait que :

qui montre que la propriété est vrai au rang 0.

En utilisant ce résultat pour la fonction en 0 (le "a" de la première formule vaut 0), on obtient :



En ce qui nous concerne seul le developpement précédent à l'ordre 1 nous intéresse (et c'est d'ailleurs le cas la plupart du temps en physique ou à l'ordre de 2 à la limite). La fonction à considérer est :

Ici (v<<c, cas non-relativiste) et . On trouve au final :



Les développement limités sont d'une grande utilités en physique. On se place souvent dans des cas limites dans lesquels une approximation est possible. Les developpement limités permettent de dégager un comportement de la fonction dans ces cas limites.
Dans notre exemple , il est tout de même remarquable que la limite non-relativiste de l'énergie relativiste ne "masque" pas le terme nouveau mc².

[A voir en vidéo sur Futura]

[EspritTordu]

Merci. Développement de Taylor ça me parle mieux même si j'en avais qu'un souvenir vague.
Quoi qu'il en soit le résultat en est d'autant plus déroutant. Cela n'explique pas pourquoi on multiplie par mc le quadrivitesse?

Plus loin , on parle de rapidité ou paramètre de vitesse calculée en dérivant l'accélération propre. Comment la prend-t-on effectivement? En observant la variation de la vitesse d'un mobile par rapport à soi? Cela ne revient-il pas au jeu de référentiel propre et référentiel observateur, donc le mobile est contraint à ne pas aller plus vite que la lumière? On a donc une accélération qui plafonne à c/s?

[Thwarn]

Ton livre n'a pas l'air génial (je vois pas trop ce qu'ils essaient de faire...)
Tu devrait essayer le cours de JM Raymond qui est vraiment pas mal, la premiere partie est sur la RR.

[vaincent]

Merci. Développement de Taylor ça me parle mieux même si j'en avais qu'un souvenir vague.
Quoi qu'il en soit le résultat en est d'autant plus déroutant. Cela n'explique pas pourquoi on multiplie par mc le quadrivitesse?

Plus loin , on parle de rapidité ou paramètre de vitesse calculée en dérivant l'accélération propre. Comment la prend-t-on effectivement? En observant la variation de la vitesse d'un mobile par rapport à soi? Cela ne revient-il pas au jeu de référentiel propre et référentiel observateur, donc le mobile est contraint à ne pas aller plus vite que la lumière? On a donc une accélération qui plafonne à c/s?

en fait dans ton bouquin la quadrivitesse est définie de façon très confuse. Pour le faire plus intuitivement, il faut partir du 4-vecteur position(personnellement je préfère que varie de 0 à 3) :



déjà on remarque que la composante est ct et non t. Pourquoi ? On pourrait répondre par un argument dimensionnel, mais cela n'explique pas tout. Je n'est pas le temps de tout expliquer, et je dirai simplement que ce fait provient de l'invariance de la vitesse de la lumière dans n'importe quel référentiel galiléen et de la forme particulière de la métrique de Minkowski (à toi de creuser, si tu veux vraiment comprendre pourquoi x⁰=ct).

Ensuite on cherche à définir la 4-vitesse d'une particule relativiste. Il faut déjà se rappeler que décrit une ligne d'univers qui peut-être paramétrer par le paramètre arbitraire :



Bien entendu on peut toujours choisir et l'on retombe sur la forme usuelle :




(un caractère gras désigne un 3-vecteur). Une ligne d'univers est par définition du genre temps et donc le vecteur tangent à cette trajectoire :



doit forcément vérifier :



Etant tangent à la trajectoire définie la 4-vitesse, et de même on définie la 4-accélération comme :



Encore une fois le paramètre est arbitraire et n'a priori pas de signification physique. C'est là qu'entre en jeu l'intuition du physicien qui choisit un paramètrage possédant une signification physique : le temps propre invariant par changement de référentiel qui représente le temps d'un observateur en co-mouvement avec la particule de ligne d'univers . Dans un référentiel quelconque R de temps absolu t, on montre que(dilatation du temps) :



On en déduit la 4-vitesse dans R :



La déduction du 4-vecteur impulsion-énergie est loin d'être trivial et il ne suffit pas de simplement multiplié la 4-vitesse par la masse pour le définir et l'interpréter correctement, comme souvent cela est présenté dans certains cours qui veulent faire court justement !

En physique non-relativiste, l'énergie mécanique et la quantité de mouvement (l'impulsion) son des grandeurs conservées au cours du temps. On sait que ce fait est lié à l'homogénéité de l'espace et de l'uniformité du temps(à ne pas confondre avec un temps absolu), propriétés également vraies dans l'espace de Minkowski. Par contre ces lois de conservations ne peuvent pas être transposées telles quelles car l'énergie cinétique par exemple et l'impulsion classique n'ont plus la même forme après une transformation de Lorentz. La seule chose dont on est sûr qu'elle ne va ne pas changer lorsque l'on passe au cas relativiste est la conservation, autrement dit le fait que l'énergie et l'impulsion sont des intégrales premières du mouvement. La seule quantité dont on dispose qui est une dérivé première du temps est la 4-vitesse. Il existe donc un rapport de proportionalité entre le 4-vecteur impulsion-énergie et la 4-vitesse :



Reste à déterminer la signification physique du facteur . Developpons la partie spatiale de la 4-impulsion lorsque v<<c à l'ordre 0 :

. On interprète donc comme la masse .
Developpons également la partie "temporelle" à l'ordre 1 :



On reconnait l'énergie cinétique divisée pas c en 2ème terme, et si on multiplie l'expression précédente par c on obtient :



Cela confirme le fait que et surtout que p⁰c correspond à l'énergie totale E de la particule considérer. On écrira ainsi :

. J'èspère que les choses sont claires maintenant en ce qui concerne le 4-vecteur impulsion-énergie !
Pour la rapidité, c'est simplement la quantité relativiste qui permet en quelque sorte de rétablir l'addition des vitesses "à la Galilée". Elle est lié au fait que l'addition des angles hyperboliques de 2 transformations de Lorentz est toujours une transformation de Lorentz. La rapidité se manipule simplement donc. Elle exprime bien entendu la rapidité entre deux référentiels en mouvement relatif.

[EspritTordu]

Ton livre n'a pas l'air génial (je vois pas trop ce qu'ils essaient de faire...)
Tu devrait essayer le cours de JM Raymond qui est vraiment pas mal, la premiere partie est sur la RR.

Merci pour le lien thwarn.

Je ne comprends pas très bien pourquoi la conservation de l'énergie et de l'impulsion entend une relation de proportionnalité entre le quadrivecteur vitesse et impulsion-énergie.
Je vois un peu mieux d'où sort le c alors. Reste que lorsque on développe la partie temporelle P0, multipliée par m, il y a un mc qui apparaît ; il a bien la dimension d'une quantité de mouvement classique...
En relativité, est-il possible de retrouver une quantité de mouvement classique style p=mv si v <<c? Car on trouve que des p=mvc?

[gatsu]

En relativité, est-il possible de retrouver une quantité de mouvement classique style p=mv si v <<c? Car on trouve que des p=mvc?

Bien sûr en RR l'impulsion s'écrit
où .
Tu vois bien que lorsque , et donc

[vaincent]

Merci pour le lien thwarn.

Je ne comprends pas très bien pourquoi la conservation de l'énergie et de l'impulsion entend une relation de proportionnalité entre le quadrivecteur vitesse et impulsion-énergie.
Je vois un peu mieux d'où sort le c alors. Reste que lorsque on développe la partie temporelle P0, multipliée par m, il y a un mc qui apparaît ; il a bien la dimension d'une quantité de mouvement classique...
En relativité, est-il possible de retrouver une quantité de mouvement classique style p=mv si v <<c? Car on trouve que des p=mvc?

pour ta première question, si par exemple on avait p=mv³ on peut montrer que cet quantité ne serait pas conservée au cours du temps. On peut donc montrer que pour que la quantité de mouvement(totale) soit conservée il faut forcément qu'elle soit proportionnelle à la vitesse.
Pour la 2ème questions tu interprètes mal le terme "mc" qui en effet a la dimension d'une impulsion mais n'a aucune signification physique. Ce serait l'impulsion classique d'une particule de masse m se déplaçant à la vitesse de la lumière ! Impossible, ça n'a aucun sens. Par contre lorsqu'on le multiplie par c, j'ai montré dans mon post précédent que cette terme (mc²) s'interprète (en particulier) comme une énergie puisque p⁰c s'interprète également comme une énergie.
J'avait aussi répondu à ta troisième question, c'était l'équation :



et je montrais que s'interprétait comme la masse lorsque l'on compare avec la mécanique classique. Par contre il n'y aucun terme de la forme p=mvc ! dimensionnellement déjà c'est faux...

[EspritTordu]

merci gatsu, if suffit de rajouter le gamma(v) et on relativise!
Mais j'ai du mal en partant du quadrivecteur impulsion-énergie à retomber sur l'impulsion classique.
Je me pose une question, si on n'avait pas distinguer l'énergie cinétique classique après avoir multiplié le quadrivecteur par mc, pourrions accepter théoriquement parlant (sans parler de faits expérimentaux confirmant e=mc2) que mc2, c'est l'énergie d'une particule au repos : avouez que ces derniers sont choquants tout de même, c'est presque un oxymore!

La seule chose dont on est sûr qu'elle ne va ne pas changer lorsque l'on passe au cas relativiste est la conservation, autrement dit le fait que l'énergie et l'impulsion sont des intégrales premières du mouvement

J'ai vraiment du mal à comprendre le raisonnement; en classique, la quantité de mouvement et l'énergie se conserve selon Emmy Noether, en relativité, on généralise en faisant de la conservation, celui du couple quantité de mouvement et énergie. Mais pourquoi faut-il une intégrale première et pourquoi p=mV3 ne se conserve pas dans le temps?

J'ai du mal à accepter l'idée de la rapidité qui se construit sur le fait de détecter une accélération propre : comment détecte-t-on une accélération propre? Ne s'agit-il pas au fond de détecter la vitesse d'un mobile, donc cela revient à l'exercice initial, à savoir les reférentiel observateur et propre, donc la vitesse du mobile est bien limité par c pour l'observateur , d'où aussi l'accélération perçue, non?

[vaincent]

merci gatsu, if suffit de rajouter le gamma(v) et on relativise!
Mais j'ai du mal en partant du quadrivecteur impulsion-énergie à retomber sur l'impulsion classique.
Je me pose une question, si on n'avait pas distinguer l'énergie cinétique classique après avoir multiplié le quadrivecteur par mc, pourrions accepter théoriquement parlant (sans parler de faits expérimentaux confirmant e=mc2) que mc2, c'est l'énergie d'une particule au repos : avouez que ces derniers sont choquants tout de même, c'est presque un oxymore!

ça n'a rien de contradictoire. Lorsque l'on cré une théorie qui généralise certains concepts on vérifie toujours que dans le cas limite où l'on reconstruit les conditions non-généralisées (par exemple ici v<<c, ou c-> infini) on retombe bien sur la théorie classique. Et c'est le cas ici, on retrouve p=mv, Ec=mv²/2 mais en plus on a une énergie au repos ! La relativité fixe le "zéro" de l'énergie.

J'ai vraiment du mal à comprendre le raisonnement; en classique, la quantité de mouvement et l'énergie se conserve selon Emmy Noether, en relativité, on généralise en faisant de la conservation, celui du couple quantité de mouvement et énergie

(tu dis deux fois la même chose !) La relativité montre très clairement que la généralisation des concepts d'espace et de temps en un "espace-temps" amène également à généraliser les concepts d'impulsion et d'énergie en une "impulsion-énergie". Je pense que tu devrais reviser ta physique classique et savoir ce qu'est réellement une intégrale première dans cette théorie. C'est avant tout un résultat mathématique, dont la portée ne se limite pas à la physique classique.

J'ai du mal à accepter l'idée de la rapidité qui se construit sur le fait de détecter une accélération propre : comment détecte-t-on une accélération propre? Ne s'agit-il pas au fond de détecter la vitesse d'un mobile, donc cela revient à l'exercice initial, à savoir les reférentiel observateur et propre, donc la vitesse du mobile est bien limité par c pour l'observateur , d'où aussi l'accélération perçue, non?

là tu n'a vraiment pas compris ! la rapidité n'a rien à voir avec une accélération propre, d'ailleurs l'accélération propre est toujours nulle si tu entends par le "propre" que l'on suit la particule. Oublie cela de toute urgence.
Peut-être que dans ton livre les choses ne sont vraiment pas bien expliquées ce qui accentue les confusions dont tu fais preuve.

Lorsque l'on désire passer d'un référentiel(R) à un autre(R') en mouvement relatif par rapport au premier (disons d'une vitesse v selon l'axe des x) on applique une transformation de Lorentz(L). Si l'on tient compte juste du temps et de l'axe des x, une L est une matrice 2x2(d'élements ligne 1 : l₀₀, l₀₁, ligne 2 : l₁₀, l₁₁), et la métrique de Minkowski se réduit à (matrice diagonale dont les autres éléments sont nuls).
On veut qu'une L conserve la métrique(historiquement, cela à été fait d'en l'autre sens), ce qui s'écrit en notation matricielle:



en imposant la condition supplémentaire l₀₀>0 (qui signifie que le temps va du passé vers le futur et non l'inverse), on montre que l'on obtient les relations :







On a donc toute la liberté de choisir le paramétrage suivant :



puisque on a la relation bien connue :

l'angle est un angle hyperbolique, il va de - l'infini à + l'infini. Lorsqu'il est > 0 le référentiel R' se déplace à v dans les sens des x positif, et lorqu'il est < 0, R' se déplace à -v (toujours dans les sens des x positifs, ou à v dans les sens des x négatifs)

On montre aisément que :



Lorsque l'on étudie cette fonction, on remarque que v-> (-)c lorsque -> (-)infini. C'est donc un paramètre qui peut se substituer à la vitesse. De plus on remarque que si un 3ème référentiel se déplace à v' par rappot à R' (ce qui correspond à une "rotation" hyperbolique de l'angle ) on a :



ce qui rétablit une additivité simple comme en mécanique galiléenne (je vais à V1 par rapport au train, le train va à V2 par rapport au sol, donc je vais à V1 + V2 par rapport au sol).
On appel la rapidité. Non seulement, comme on vient de le voir elle est très simple à manipuler, elle peut se substituer à la vitesse et en plus son signe nous dit que le référentiel R' en mouvement est soit dans les x négatifs soit dans les x positifs du référentiel R.
Voilà ce qu'est concrètement la rapidité et à quoi elle sert. Elle est notamment très utilisée dans les collisionneur type LHC car elle est le paramètre choisit pour déterminer à quelle "vitesse" se situe les particules à gauche et à droite de la collision initiale. Par exemple : dans la tranche en rapidité 3->4 nous avons détecté n1 particules de telle nature, et dans la tranche -3->-4 n2 de la même nature, etc...

[invité576543]

Bonsoir,

Une remarque qui va peut-être plus troubler Esprittordu que le contraire, mais l'énergie-impulsion n'est pas exactement obtenue comme m fois la 4-vitesse. C'est plus compliqué que cela.

Un exemple : si on travaille en non homogène, ce qui est un choix possible la 4-vitesse unitaire c'est (γ, γv) et l'énergie-impulsion (E, p). Mais si on veut rendre la vitesse homogène, en procédant à un changement d'unité, alors ils deviennent (γc, γv) et (E/c, p). Pour la vitesse on a multiplié le terme temporel par c, mais pour l'énergie-impulsion on a divisé le terme temporel par c.

La raison en est que le produit naturel (et non le produit scalaire) de (E,p) par (dx, dt), Edt+p.dx, qui a la dimension d'une action, doit être indépendant du référentiel ou du système d'unité; donc si on multiplie dt par c (pour obtenir une longueur), il faut diviser E par c (pour obtenir une "quantité de mouvement"). (On notera au passage que cette transformation, souvent exigée par horreur des vecteurs inhomogène, fait perdre la signification physique des termes temporels.)

Donc la "proportionalité" n'est obtenue que pour un choix particulier de base et d'unités. Elle n'est pas intrinsèque.

En mécanique classique la proportionalité est aussi un artefact, mais "invisible" à cause de la symétrie entre les trois composantes spatiales. Néanmoins, on peut rapprocher l'idée du cas d'un solide en rotation : le moment cinétique n'est pas, en règle général, colinéaire au "vecteur" rotation.

Cordialement,

[EspritTordu]

Pour la rapidité : prenons un cas concret : dans un missile, on mesure les accélérations à l'intérieur de la boîte sans savoir ce qu'il y a à l'extérieur (d'ailleurs un objet en repos n'a plus de sens ici), on intègre la valeur pour retomber sur un résultat ayant la nature d'une vitesse, la rapidité. Comment mesure-t-on l'accélération ici : en mesurant un solide en mouvement dans l'accéléromètre, non?


Je trouve choquant qu'on multiplie par mc, sans de réelles raisons physiques déductives pour moi, et qu'on s'étonne de trouver ensuite un terme comme E=mc2 après...

le "zéro" de l'énergie

hummmm Pour avoir Zéro en énergie, la relativité nous apprend qu'il faut soit m=0 et p=0, soit p=mc où p=-mc, ces deux derniers résultats étant impossibles je crois.

Dans l'équation E2=M2C4-P2C2, où place-t-on la gravitation? Peut-on la considérer dans cette équation? Ou seulement sa conséquence en l'occurence une impulsion me semble-t-il?

Ce serait l'impulsion classique d'une particule de masse m se déplaçant à la vitesse de la lumière ! Impossible, ça n'a aucun sens

On considère toujours la lumière comme ayant une vitesse c et nous pauvre masses éperdues, une vitesse nulle. Peut-on penser l'inverse, à savoir que nous, masses, allons vite et la lumière fait du sur place?

[invité576543]

[quote=EspritTordu;2043306]
Je trouve choquant qu'on multiplie par mc, sans de réelles raisons physiques déductives pour moi, et qu'on s'étonne de trouver ensuite un terme comme E=mc2 après...[/QUOTE

Tu as raison d'être choqué, mon message précédent était sensé aider pour comprendre le fond.

Dans l'équation E2=M2C4-P2C2, où place-t-on la gravitation? Peut-on la considérer dans cette équation? Ou seulement sa conséquence en l'occurence une impulsion me semble-t-il?

Ni l'un ni l'autre. La gravitation ne se "place pas" dans cette formule, pas plus que l'électromagnétisme par exemple

D'une certaine manière, l'équation n'est que la définition de la masse, sous la forme M²C4 = E² -P²C² (avec la correction sur le signe...)

On considère toujours la lumière comme ayant une vitesse c et nous pauvre masses éperdues, une vitesse nulle. Peut-on penser l'inverse, à savoir que nous, masses, allons vite et la lumière fait du sur place?

Il y aurait un problème d'isotropie. La lumière est à vitesse de module c dans toutes les directions.

Si on prends le CMB par exemple, on peut définir la vitesse d'une masse par rapport au CMB et ainsi définir une notion de "sur place" relative au CMB (notion d'observateur comobile), mais comme le CMB est isotrope il est difficile de voir l'ensemble des photons le constituant faisant du sur place et les masses aller vite.

Cordialement,

[vaincent]

Tu as raison d'être choqué, mon message précédent était sensé aider pour comprendre le fond.

raison, raison....euh....il m'avait pourtant semblé avoir été clair sur ce point ! Maintenant, peut-être est-ce moi qui a une vision trop simpliste des choses, pourtant après avoir fait le tour des cours de relativité restreinte que je possède, on en revient toujours au même :
4-vitesse, seule dérivé première de la théorie ---> proportionnalité avec la 4-impulsion. Etude en v<<c pour p_i, i=1,2,3 ----> la masse est le facteur de proportionnalité. Etude en v<<c pour p₀ -----> nécessité de multiplier par c pour interpréter p₀c comme une énergie (dû au terme cinétique)---> la relativité restreinte fixe l'énergie minimum(le "zéro" dont je parlais et que espritTordu a pris au pied de la lettre) d'une particule de masse m (contrairement à la mécanique classique). La masse est l'énergie au repos.

Si tu(espritTordu) ne vois pas de réelles raisons physique déductive dans ce raisonnement, c'est moi qui vais être choqué !

On considère toujours la lumière comme ayant une vitesse c et nous pauvre masses éperdues, une vitesse nulle. Peut-on penser l'inverse, à savoir que nous, masses, allons vite et la lumière fait du sur place?

c'est une vision classique des choses et non relativiste ! Si tu veux comprendre la relativité oublis tes réflexes classique et pense relativement ! Il a été établie lors de l'expérience de Michelson et Morley que la vitesse de la lumière est la même dans tout les référentiels d'inertie (galiléen). Ce qui montre qu'il est impossible de trouver un référentiel où la lumière ferait du "sur place" comme tu dis. Même si tu arrivais à te déplacer à la vitesse de la lumière,( ce qui est impossible puisque il y a équivalence entre masse nulle <--->vitesse de la lumière ) la lumière irai toujours à c. (pour le montrer utilise la composition des vitesses en relativité).

[invité576543]

raison, raison....euh....il m'avait pourtant semblé avoir été clair sur ce point !

Tu avais été clair dans l'exposition de ce que tu penses du sujet.

Maintenant, peut-être est-ce moi qui a une vision trop simpliste des choses, pourtant après avoir fait le tour des cours de relativité restreinte que je possède,

Je sais bien, mais ce n'est pas suffisant pour que l'approche soit satisfaisante!

4-vitesse, seule dérivé première de la théorie ---> proportionnalité avec la 4-impulsion

Non. Juste la 4-impulsion est une fonction linéaire de la 4-vitesse. Ce qui voudrait dire proportionnalité si la 4-impulsion est vue comme un vecteur. On y arrive avec une acrobatie consistant à exhiber une base particulière qui marche. Le problème c'est que ça ne marche pas pour tout changement de base (pas covariant si on prend des changements non unitaires -objection dont on peut se débarrasser en imposant l'unitarité, mais ce n'est pas ça la covariance générale-). L'autre approche qui marche est de prendre la 4-impulsion pour ce qu'elle est, une 1-forme en dimension 4. Et là tout baigne. On a bien une fonction linéaire, et c'est covariant.

-----

Développons un peu, même si cela sort du niveau auquel devrait se tenir cette discussion.

Formellement on a l'égalité tensorielle covariante



Le choix des unités est alors celui qu'on veut. Par exemple avec les bases donnant comme dimensions (énergie, quantité de mouvement) d'un côté et (1, vitesse) de l'autre côté, le tenseur "masse" a pour composantes



et donc




Et on change de manière covariante les composantes si on veut d'autres unités, parce qu'un changement d'unité est un changement de base. Par exemple un changement de base particulier donne à partir de la formule au-dessus



Un autre donnera



Les trois formulations sont équivalentes, obtenues les unes des autres par transformation covariante. Et une seule des trois donne la proportionalité par mc.

Je sais bien que cette vision n'est pas la courante, mais elle justifie le malaise exprimé par EspritTordu (malaise que j'ai ressenti de même dans le temps) et permet une vision cohérente. Et surtout totalement covariante, une nécessité pour la RG.

Maintenant, pour ce que j'en dis... Si tu ne partages pas le malaise de EspritTordu, la présentation usuelle doit être satisfaisante.

Cordialement,

[invité576543]

Plus le temps de corriger, mais il y a quelques fautes dans les formules, désolé. Bon exercice de les repérer

Cordialement,

[EspritTordu]

nécessité de multiplier par c pour interpréter p0c comme une énergie (dû au terme cinétique)

Votre raisonnement est très clair et merci beaucoup, il est plus explicite que sur le livre, mais pour moi il reste mathématique : c'est parce qu'on voit ce qu'on connaît que l'on va s'arranger pour le mettre en évidence, c'est un peu inductif... Pour moi, il n'y pas une raison physique évidente qui vous pousse à faire la manipulation de la multiplication par c dès le départ à partir du 4-vitesse.

Ni l'un ni l'autre. La gravitation ne se "place pas" dans cette formule, pas plus que l'électromagnétisme par exemple

D'une certaine manière, l'équation n'est que la définition de la masse, sous la forme M²C4 = E² -P²C² (avec la correction sur le signe...)

Vu comme ça, cela donne un sacré coup de réduction au potentiel de cette équation et de la relativité restreinte! Au fond, il est vrai que la relativité restreinte est un modèle physique pour parler des masses, la plupart des équations, à cause du facteur gamma de mise à niveau, ne sont pas mathématiquement résolvable lorsque on atteint c. L'impulsion de la lumière que je trouve dans le livre P=E/c issue de Ev=pc2, n'est en fait qu'un bidouillage qui donne un résultat hors notion de masse, juste parce que le terme qui pose problème à résoudre est annulé...
La relativité générale introduit,elle, la gravitation, non? Mais toujours pas l'électrostatique et la magnétostatique?

Il y aurait un problème d'isotropie. La lumière est à vitesse de module c dans toutes les directions.

Si on prends le CMB par exemple, on peut définir la vitesse d'une masse par rapport au CMB et ainsi définir une notion de "sur place" relative au CMB (notion d'observateur comobile), mais comme le CMB est isotrope il est difficile de voir l'ensemble des photons le constituant faisant du sur place et les masses aller vite.

Je ne vous suis pas...

c'est une vision classique des choses et non relativiste ! Si tu veux comprendre la relativité oublis tes réflexes classique et pense relativement ! Il a été établie lors de l'expérience de Michelson et Morley que la vitesse de la lumière est la même dans tout les référentiels d'inertie (galiléen). Ce qui montre qu'il est impossible de trouver un référentiel où la lumière ferait du "sur place" comme tu dis. Même si tu arrivais à te déplacer à la vitesse de la lumière,( ce qui est impossible puisque il y a équivalence entre masse nulle <--->vitesse de la lumière ) la lumière irai toujours à c. (pour le montrer utilise la composition des vitesses en relativité).

Pourquoi la lumière irai toujours à c???
Peut-on choisir la lumière comme référentiel ou non parce que les masses que l'on regarderait iraient à la vitesse de la lumière (ce qui est massivement impossible!)?

Lorsque deux particules de matière et d'antimatière s'entrechoquent, toute la masse est convertie en impulsion pure, en lumière. L'inverse est aussi vrai... Lorsque on "percute" deux faisceaux de lumière, on produit par exemple positron et électron, particules massives. En classique..., avec absorption, cela donne l'idée que l'on "stoppe l'impulsion des deux faisceaux"?

[mach3]

Pourquoi la lumière irai toujours à c???

c'est un fait expérimental

Peut-on choisir la lumière comme référentiel ou non parce que les masses que l'on regarderait iraient à la vitesse de la lumière (ce qui est massivement impossible!)?

non, car ce choix est inconsistant. Il suffit d'écrire les transformation de Lorentz pour un référentiel se mouvant à c par rapport à un autre puis celle pour un troisième referentiel se mouvant par rapport à ce référentiel se mouvant à c pour après quelques lignes de calcul se retrouver avec 1=2. On a déjà beaucoup parler de ce problème sur le forum, fait une recherche.

Lorsque deux particules de matière et d'antimatière s'entrechoquent, toute la masse est convertie en impulsion pure, en lumière.

non, cela est faux, lorsqu'une particule et une antiparticules s'annihilent, deux photons sont émis dans deux directions opposés, et le système formé par ces deux photons à une masse contrairement à ce qu'on pourrait croire. La masse n'est pas additive. En effet si on calcule la pseudonorme du quadrivecteur énergie impulsion (qui n'est autre que la masse à quelque chose près) de ce système de deux photons, on obtient:



on a également parler de ça plusieurs fois dans le forum.



on peut introduire l'electromagnétisme directement dans la RR. Il y a dans ce cas un termes d'énergie potentielle à prendre en compte dans l'équation de l'énergie. E²=p²c²+m²c⁴ ne prend pas en compte cette énergie potentielle.

m@ch3

[invité576543]

Pour moi, il n'y pas une raison physique évidente qui vous pousse à faire la manipulation de la multiplication par c dès le départ à partir du 4-vitesse.

Je vais réessayer mon explication autrement.

Si on mesure une durée comme une longueur, qui est ce qu'on fait en utilisant les coordonnées (ct, x, y, z), alors l'énergie se mesure comme une composante de quantité de mouvement, γmc, et il faut multiplier par c pour retrouver de l'énergie "usuelle". Et on passe de la 4-vitesse à (E, p) en multipliant par m.

Si on mesure une longueur comme une durée, qui est ce qu'on fait en utilisant les coordonnées (t, x/c, y/c, z/c), alors une composante de quantité de mouvement se mesure comme une énergie,et il faut la diviser par c pour retrouver une composante "usuelle" de quantité de mouvement. Et on passe de la 4-vitesse à (E, p) en multipliant par mc².

dans

.
Developpons également la partie "temporelle" à l'ordre 1 :

L'expression s'interprète bien physiquement comme une "énergie", parce qu'on est parti de (ct, x, y, z). Mesurer les durées comme des longueurs implique que mc a la bonne dimension pour une "énergie".

On reconnait l'énergie cinétique divisée pas c en 2ème terme, et si on multiplie l'expression précédente par c on obtient :

La multiplication par c permet de revenir en unités "usuelles", c'est le pendant de la transformation ct --> t, qui permet de revenir aux unités usuelles en partant d'une durée mesurée comme une longueur.

Etude en v<<c pour p0 -----> nécessité de multiplier par c pour interpréter p0c comme une énergie

Cette multiplication par c n'a pas besoin d'être justifiée ainsi. Interpréter p₀c comme une énergie est normal dans le contexte, c'est une conséquence du choix originel de prendre comme coordonnées (ct, x, y, z), plutôt qu'autre chose, (t, x/c, y/c, z/c) par exemple.

Cordialement,

[Thwarn]

Mesurer les durées comme des longueurs implique que mc a la bonne dimension pour une "énergie".

Mesurer les durées comme des longueurs correpond à poser c=1, ce qui simplifie tout probleme, je suis d'accord
On peut aussi poser des le depart (cad changer de notation) p₀=E/c (où E à la dimension d'une énergie) et verifier a posteriori que la pseudonorme donne le resultat bien connu pour E².

[invité576543]

Mesurer les durées comme des longueurs correpond à poser c=1, ce qui simplifie tout probleme, je suis d'accord

Oui, c=1, c'est comme mettre les balayures sous le tapis. Ca simplifie le problème en le cachant...

On peut aussi poser des le depart (cad changer de notation) p0=E/c (où E à la dimension d'une énergie) et verifier a posteriori que la pseudonorme donne le resultat bien connu pour E².

Bien sûr. C'est un autre exemple de "tripatouillage" pour retrouver ce qu'on veut retrouver, et de justification a posteriori.

Mais j'aime bien comprendre ce qui est derrière tous ces tripatouillages, et il se trouve qu'il y a une manière de voir qui rend compte de tous ces tripatouillages, ce qui est plus satisfaisant que de donner une justification ad-hoc pour chaque tripatouillage indépendamment des autres.

Disons plus satisfaisant pour moi; après, comme je l'ai déjà écrit, à chacun de juger ce qui le satisfait ou non.

Cordialement,

[EspritTordu]

c'est un fait expérimental

Facile, mais la question complète est pourquoi la lumière continuerait-elle à aller à c si on va à c ou presque, nous observateur ; ce ne peut-être un fait expérimental, non?

non, cela est faux, lorsqu'une particule et une antiparticules s'annihilent, deux photons sont émis dans deux directions opposés, et le système formé par ces deux photons à une masse contrairement à ce qu'on pourrait croire. La masse n'est pas additive. En effet si on calcule la pseudonorme du quadrivecteur énergie impulsion (qui n'est autre que la masse à quelque chose près) de ce système de deux photons, on obtient:

histoire de noyer le poisson! Je ne sais plus quoi penser : on parle de lumière, on parle de masse lumineuse alors????

Lorsqu'on parle de masse d'électron me, doit on aussi considérer le champ électrique de la particule aussi?

Peut-on dire que E dans E2=m2C4-p2C2 serait une Em, énergie mécanique seulement?

[EspritTordu]

Si on mesure une durée comme une longueur, qui est ce qu'on fait en utilisant les coordonnées (ct, x, y, z),

Ah bon? Je crois que j'ai sauté une chose alors.

[mach3]

Facile, mais la question complète est pourquoi la lumière continuerait-elle à aller à c si on va à c ou presque, nous observateur ; ce ne peut-être un fait expérimental, non?

si, car on peut toujours trouvé un référentiel qui bouge très vite par rapport à nous et les photons qu'émettent les objets de ce référentiel nous arrivent bien à c.
De toutes façons après c'est une histoire de cohérence interne. Il n'y a pas de vitesse absolue au sens ou on est toujours en mouvement par rapport à un autre référentiel valide choisi arbitrairement. Comme tout les résultats expérimentaux sont conformes à la théorie, cela confirme que la lumière se déplace à c dans le vide quelque soit le référentiel considéré.

histoire de noyer le poisson! Je ne sais plus quoi penser : on parle de lumière, on parle de masse lumineuse alors????

non, on parle de la masse d'un système composite. La masse d'un système n'est pas la somme des masses des constituants.
Reprenons système à deux photons identiques se déplaçant dans une direction opposée. L'énergie totale du système est et la quantité de mouvement totale est nulle car les deux photons ont une quantité de mouvement exactement opposée.
On a donc:

Peut-on dire que E dans E2=m2C4-p2C2 serait une Em, énergie mécanique seulement?

E n'est ici que l'énergie cinétique et l'énergie de masse. Il manque l'énergie potentielle (ce n'est donc une énergie mécanique que si il n'y a pas de champ de potentiel).

m@ch3

[mariposa]

Facile, mais la question complète est pourquoi la lumière continuerait-elle à aller à c si on va à c ou presque, nous observateur ; ce ne peut-être un fait expérimental, non?

C'est justement un fait expérimental et c'est bien toute la bizarerie de la RR (qui échappe à toute intuition). En particulier la loi de compositions des vitesses usuelles (cad galiléenne) ne fonctionne pas.

Si un train va a presque c par rapport à une gare et qu'un physicien accèlere une particule à presque c la particule par rapport à la gare va à presque c et non presque 2.c.!!!!

histoire de noyer le poisson! Je ne sais plus quoi penser : on parle de lumière, on parle de masse lumineuse alors????

Où cà?

Lorsqu'on parle de masse d'électron me, doit on aussi considérer le champ électrique de la particule aussi?

La réponse est non. Le fond de la question renvoie au groupe de renormalisation en QED

Peut-on dire que E dans E2=m2C4 +p2C2 serait une Em, énergie mécanique seulement?

Le premier terme est l'énergie de masse. le deuxième une énergie cinétique.

[invité576543]

Ah bon? Je crois que j'ai sauté une chose alors.

Je rephrase : choisir comme coordonnées temporo-spatiales (x₀, x₁, x₂, x₃) avec x₀=ct revient à prendre x₀ comme coordonnée temporelle de l'espace-temps , c'est à dire une longueur. Autrement dit l'axe des temps est indexé par x₀, une longueur.

Et ce choix a des conséquences sur les calculs que l'on fait avec un tel système de coordonnées, comme j'ai essayé (vainement?) de l'expliquer.

Cordialement,

[vaincent]

Facile, mais la question complète est pourquoi la lumière continuerait-elle à aller à c si on va à c ou presque, nous observateur ; ce ne peut-être un fait expérimental, non?

Et bien si ! ou du moins indirectement. L'expérience de Michelson et Morley à été déterminante, et c'est sur elle que c'est basé Einstein pour élaborer la relativité restreinte ( en rassemblant et en interprétant judicieusement dans une même théorie les résultats de Lorentz et Poincaré). "La vitesse de la lumière est invariante selon les référentiels galiléens ? Ok voyons ce que cela change quant à la structure de l'espace et du temps, et lorsque la vitesse d'un objet s'en rapproche" (citation imaginaire !)

Imagine que tu te déplaces à tranquillement à c et à un moment tu croises un photon qui va bien sur lui aussi à c. La composition des vitesses classique te dis que tu vas le voir passer à 2c. Mais puisque l'expérience nous dit que la vitesse de la lumière est c dans tout les référentiels galiléens, on en déduit que la composition des vitesses en RR s'écrit :



donc si v et u sont égales à c on obtient w=c, qui est la vitesse à laquelle tu verras passer le photon (c'est d'ailleurs également le cas même si tu ne vas pas à c !)

on a donc :

cette masse effective n'a pas sens physique et n'est jamais utilisée, et il ne faudrait surtout pas induire EspritTordu en erreur, en lui faisant croire que les photons ont une masse lorsqu'il sont 2 !
D'ailleurs lorsqu'on l'applique à un seul des 2 photons (E=pc), la masse est nulle.

[vaincent]

je rectifie ce que j'ai dit, parfois on utilise cette masse effective en tant qu'une celle d'une "quasi-particule" mais ce n'est qu'un calcul intermédiaire et l'on retombe sur nos pieds à la fin du calcul de la cinématique.