Problème de vitesse

[parousky]

Je voulais résoudre un problème concernant la vitesse des corps. Soit un corps A placé dans un champ de pesanteur crée par un corps B. Comment puis-je calculer la vitesse du corps A en fonction de la distance entre les deux centres de gravité des corps A et B, et de la masse des corps A et B ?
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[Wainzee]

Bonsoir,

Considère tu que l'un des corps à une masse "assez négligeable" pour appliquer la 2nd loi de Newton au centre de l'un des corps?
Par exemple Ma >>> Mb.

Si c'est le cas alors je pense que tu peux appliquer la formule Forces ext = mv²/R.

Sinon faut calculer le centre de masse...

Wainzee.

[calculair]

bonjour,

La force d'attractionentre les 2 coprs A et B est

F = G Ma Mb / R² ou

G est la constante de gravitation
Ma la masse du coprs A
Mb est la masse du corps B

R est la distance des centre de gravite

Ensuite connaissant la force il faut appliquer

F = Ma d²R/dt² tu auras la vitesse du corps A par rapport au corps B ( qui dans ce repère est consideré comme une reference des coordonnées

[calculair]

re bonjour

J'ai un doute dans mon raisonnement

Je pense qu'il faut raisonner par rapport au centre de masse; Ce point est immobile par rapport aux 2 massses

[A voir en vidéo sur Futura]

[Universus]

Je pense qu'il faut raisonner par rapport au centre de masse; Ce point est immobile par rapport aux 2 masses

Oui, mais ta méthode donne en très bonne approximation la vitesse relative du corps A au corps B si m_b >>> m_a. Bien sûr, ta méthode est bonne si les deux corps sont initialement au repos. Dans ce cas, la méthode de wainzee (somme des forces = mv^2/R) n'est pas bonne, puisque que correspondant à un mouvement de rotation circulaire de A autour de B.

Cette discussion se rapproche beaucoup d'une discussion récente ''gravité'' de fbault, discussion dans laquelle, si je ne me suis pas trompé dans mes calculs, on peut utiliser la conservation de l'énergie (qui est l'artillerie lourde ) au système composé des corps A et B pour obtenir :



D étant la distance séparant les centres de gravité des deux corps et v(D) la vitesse relative de ces deux corps lorsque séparés par la distance D.

Edit : calculair, juste dire que F = m d^2 R/dt^2, a égalant d^2 R/dt^2. Je pense bien qu'il ne s'agit qu'une faute de frappe ^^.

[verdifre]

bonjour,
je crois qu'il s'agit du celebre probleme à 3 corps . celui ci aurait une solution analytique connue
http://www.astrosurf.com/rondi/3c/theorie.htm
et d'une facon générale
http://fr.wikipedia.org/wiki/Probl%C...%C3%A0_N_corps
c'est plutot de haut vol comme résolution...
fred

[verdifre]

oups j'avais mal lu c'est le probleme à deux corps, tu trouveras des liens dans les sites que j'ai donné
fred

[Wainzee]

Ne peut on pas simplement trouver le centre de masse, appliquer la seconde loi de newton avec le premier, puis le second corps ( en approx ) et soustraire les vitesses pour obtenir la vitesse de M1 par rapport à M2 ( sans tenir compte de la relativité ).

@verdifre: t'inquiete pas, moi j'aime bien quand il y a pleins de corps

Wainzee.

[invite5e5dd00d]

re bonjour

J'ai un doute dans mon raisonnement

Je pense qu'il faut raisonner par rapport au centre de masse; Ce point est immobile par rapport aux 2 masses

Effectivement, si on considère que les deux masses sont d'ordre comparable.
Dans ce cas, perso, je ferais comme ça. Dans le centre de masse :
A de masse ma est située en ua = mb*R/(ma+mb)
tandis que B de masse mb est située en ub = -ma*R(ma+mb)
par rapport au centre de masse qui lui est fixe.

Et alors, on peut tout simplement appliquer le principe fondamental de la dynamique au corps A :
ma*d²ua/dt²=G*ma*mb/R²
<=> d²ua/dt²=G*mb/R² <=> d²(mb*R)/dt²=G*mb/R²*(ma+mb)
<=> d²R/dt² = G(ma+mb)/R²
Voilà une équation différentielle relativement simple à résoudre.
On obtient R(t).
Il ne reste plus qu'à remplacer R dans ua et ub, à dériver ces deux dernières expressions en fonction du temps (on connait R(t)).
On finit par obtenir la vitesse des deux corps dans le CM en fonction de t, ou de R (au choix...). On soustrait les deux vitesses, on obtient la vitesse relative

A+
Sig.

[Universus]

La seconde loi de Newton te permet de trouver, connaissant l'expression de la force gravitationnelle entre deux objets, l'accélération de chacun d'eux par rapport au centre de masse du système (qui ne bouge jamais durant toute la situation si les deux masses sont initialement au repos). Néanmoins, la question qui se pose est comment trouver la vitesse. Si tu parviens à trouver la vitesse de chacun par rapport au centre de masse du système, tu pourras effectivement procéder comme tu l'as dit pour trouver la vitesse relative. Néanmoins, tu as avec la seconde loi de Newton une expression de l'accélération qui est dépendante implicitement du temps à travers la distance D séparant les deux corps. Or, tu ne connais pas la fonction D(t), alors intégrer a (l'accélération) par rapport à t est difficile... Mais tu ne veux qu'une expression de la vitesse en fonction de la disposition spatiale des deux astres, chose qui se fait tout naturellement en étudiant les différentes énergies du système. Tu obtiendras ainsi l'expression que je t'aie donnée (si bien sûr je ne me suis pas trompé, d'où l'importance de vérifier).

Amicalement

Edit : ah, bien on dirait que je me suis trompé en lisant rapidement Sigmar, ça se fait! Sinon calculair, je viens de comprendre ta notation ma, j'avais pris a pour l'accélération ; milles excuses!

[invite5e5dd00d]

Edit : ah, bien on dirait que je me suis trompé en lisant rapidement Sigmar, ça se fait!

Bien sûr que ça se fait . C'est un problème à 2 corps en mécanique classique.
Après, il faut avoir les conditions initiales pour résoudre proprement l'équa diff...
Mais ce genre de problème est toujours pénible à poser sur le papier...
Je ne suis pas à l'abri d'une erreur :s

[Universus]

Non, c'est que j'ai souvent cherché à trouver une équation horaire du cas général d'un corps en chute libre. Dans mes tentatives, je suis tombé sur l'expression (plus ou moins satisfaisante en vu de mon but premier) donnée ci-dessus. Je me suis aussi cassé la tête sur des intégrales et tout, j'ai essayé de voir ce que donnait mes calculs avec des logiciels (pour voir si mes calculs n'étaient pas erronés) pour me rendre compte que je m'attaquais à quelque chose de plus complexe que je ne l'aurais cru. Là, tu me dis que dans toutes mes tentatives, j'étais à un cheveu de l'expression que je recherchais, il m'aurait juste fallu penser 2e loi et centre de masse ensemble au lieu de centre de masse et énergie ensemble, 2e loi a part. Enfin... C'est peut-être aussi dû au fait que je ne m'y connais pas en équations différentielles, celle que tu proposes n'étant pas encore résolue de mon côté ^^.

[invite5e5dd00d]

Et j'ai bien l'impression de m'être planté...
La solution existante pour l'équa diff est assez compliquée, on la trouve ici : http://forums.futura-sciences.com/ma...2nd-ordre.html
Mais j'ai bien l'impression que malgré cela, on se retrouve avec un problème : je n'ai pas fait le calcul sur le plan, mais seulement sur un axe. Ce qui veut dire, qu'il faudra principalement rebidouiller le calcul pour que ça marche...

[Universus]

Quand on regarde le lien donné par Gilgamesh, pour une équation différentielle non-linéaire de second ordre de la forme (où pour nous y = R(t) et x=t, f = GM_syst/R^2), on a comme solution :



Il s'agit exactement d'une équation que j'avais obtenue en considérant l'énergie du système, C_1 étant l'énergie mécanique du système et C_2 étant nul. L'équation que j'obtenais était insoluble en R, faisant intervenir des radicaux dans des logarithmes avec des radicaux hors logarithmes, enfin... Après recherches, mais je ne suis pas certain si je ne me suis pas trompé, la solution serait une fonction elliptique de Weierstrass. Quand j'ai vu ça, disons que j'ai oublié de trouver une solution 'simple'...

Seulement, toujours dans le lien de Gilgamesh, il y a l'équation d'Emdem-Fowler qui, dans notre cas, donnerait pour solution (toujours si je ne me trompe pas ; il s'agit de ce qu'ils ont fait dans le fil) :



avec M_s = m_A+m_B et , C étant déterminé grâce aux conditions initiales. Cette solution est quand même étonnamment plus simple que ce que j'obtenais... Je me demande s'il n'y aurait pas erreur, bien que je ne puisse pas remettre en doute une seconde les sources du site.

[triall]

Bonsoir
Alors , il me semble que dans le cas particulier où une masse m , attirée par M part de l'infini , sa vitesse , à tout moment est donnée par , v la vitesse de m dans un repère absolu G constante de gravitation r distance entre les centres de gravité de m et M . Théorème de l'énergie cinétique/ énergie potentielle

Je pensais qu'avec ça, on pourait avoir la vitesse de chute pour un objet partant de n'importe quelle hauteur r (r<ro) en enlevant la vitesse
et donc

Bon on a la vitesse en fonction de r , mais...
Où est-ce que je me plante ?

[Universus]

d²R/dt² = G(ma+mb)/R²

J'ai refait le calcul et j'obtiens plutôt, par la même démarche que toi :



De là, on utilise l'équation d'Emdem-Fowler et on trouve, après simplification :

(1)

où avec R₀ la distance initiale entre les deux astres.

Cette solution me paraissait plutôt simple, mais on peut se rentre compte de sa validité (au moins s'en donner une certaine justification) en la développant sous forme de série autour de t=0 (C'est plutôt laid comme expression):



avec

Si on considère des R(t) de l'ordre de R(0), alors on peut négliger les termes associés à k supérieurs à 2, donnant :



où v_lib(R₀) désigne la vitesse de libération du système (disons, de séparation complète des deux masses) et g(R₀) est l'accélération gravitationnelle relative des deux masses. On se rend donc compte, à part la vitesse initiale qui n'est plus arbitraire, qu'on a sensiblement la même formule que celle pour g constant.

Néanmoins, cela est normal, car l'expression (1) divergeant à l'infini tandis que sa dérivée tend vers 0 à l'infini indique que ces équations correspondent au cas où la vitesse initiale relative des masses permet au système de se disperser complètement (v_0 = v_lib).

Bon on a la vitesse en fonction de r , mais...
Où est-ce que je me plante ?

Ce que tu insinues, c'est que peu importe la vitesse du corps lorsqu'il franchit un certain point r₀ (donc, peu importe de quelle distance il est parti immobile), il gagnera une quantité d'énergie cinétique donnée entre le point r₀ et r (r<r₀), puisque perdant une quantité d'énergie potentielle ne dépendant que de ces points. Cela est vrai. Néanmoins, tu déduis de cela que cela implique que le gain en vitesse entre ces deux points est indépendant de la vitesse en l'un de ces points, ce qui est faux, étant donné que l'énergie cinétique n'est pas linéaire selon la vitesse.

[triall]

La vitesse en ro est nulle, ro c'est la hauteur de chute de la masse m1 ...

Pour ce qui est de vos équations je n'ai pas le niveau, je ne sais ce que c'est l'équation d'Emdem Fowler ..
Mais que représente C ,la vitesse relative des 2 astres ? Il faut le préciser , car ça change tout .
Je parle de vitesse absolu par rapport à un repère fixe dans l'univers !Cette vitesse ne dépend clairement que de l'autre masse . On le voit dans l'équation fondamentale :
m1g1=Gm1.m2/D² ......g1=Gm2/d² l'accélération de m1( g1) sur m2 ne dépend que de m2 et de la distance.. et inversement

Normalement, alors vous calculez la vitesse relative des 2 masses , il faut le dire !

Franchement , je trouve mon équation bizarement trop simple. Le raisonnement part de l'équation d'une masse partant de l'infini, arrivée à ro, elle a une vitesse vo , pour obtenir la vitesse de cette masse en partant de ro sans vitesse j'enlève simplement vo à l'équation , trop simple !!!
C'est une vitesse par rapport à un repère fixe (étoile), car la masse m2 est attirée elle aussi vers m1 avec une certaine vitesse qui normalement doit être .
vitesse de la masse m2 attirée par m1

Pour la vitesse relative, on soustrait les 2 (v(r)-v2(r) et cela ne ressemble pas à ce que vous obtenez non plus !


Essayez d'indiquer, pour la compréhension, à quoi correspond C, ...
Bonne soirée

[Universus]

La vitesse en ro est nulle, ro c'est la hauteur de chute de la masse m1 ...

Nous sommes tous d'accord sur cette définition de r₀ (ou R₀). Néanmoins, le message initial de parousky ne contient aucune précision quant à la vitesse initiale de chacune des deux masses. On part du principe que des vitesses initiales nulles simplifient le problème tout en permettant une bonne compréhension du problème, mais un cas général ne serait-il toujours pas plus idéal?

Il est indiscutable que le problème initial se résout naturellement en considérant l'énergie mécanique du système, qui est constante en tout temps vu que le système est hypothétiquement considéré libre (i.e. dans un potentiel partout constant). Ainsi, soit E l'énergie du système défini par les corps A et B, nous avons:

(1)

Ainsi, l'état du système est parfaitement déterminé par les conditions initiales i.e. par , et . Si nous ne sommes pas intéressés par la façon dont les vitesses et la distance entre les deux corps varient dans le temps, comme c'est le cas dans le message initial de ce fil, on peut ne pas considérer les temps et on peut donc chercher à exprimer les vitesses en fonction de la distance R entre les deux corps. L'équation ci-dessus s'appliquant certainement dans le référentiel ayant pour origine le centre de masse du système, comme je l'ai mentionné dans le fil 'Gravité', on peut exprimer facilement en fonction de et vice versa : . En injectant ce résultat de façon appropriée dans (1), on peut trouver les relations recherchées pour les deux vitesses dans le référentiel du CM du système, la norme de la vitesse relative des deux corps correspondant à la valeur absolue de la différence de ces deux vitesses :

2

Dans les cas où une des deux vitesses serait initialement nulle (impliquant de fait la nullité de la seconde vitesse, étant donné la condition donnée dans le paragraphe précédent), on retrouve pour la relation que j'ai donnée dans le message #5 de ce fil. Les équations ci-dessus représentent fidèlement le mouvement unidimensionnel d'un système à 2 corps soumis uniquement à leur interaction gravitationnel et répondent aux demandes initiales du fil.

Néanmoins, les différentes interventions ont mené à chercher une approche passant par le second principe de la dynamique, F=ma. Sachant que la force gravitationnelle que chaque corps exerce sur l'autre vaut, en norme, , on en déduit évidemment que les accélérations de A et de B sont respectivement, en norme, égales à et . Ces accélérations sont valides dans le référentiel lié au centre de masse du système. Ainsi, afin de déterminer la vitesse de chacun des corps dans le référentiel du CM, il faut intégrer chacune de ces deux accélérations par rapport au temps. Et là le problème : on fait directement intervenir la connaissance (pas triviale du tout) de comment la distance R entre les deux corps varie dans le temps. Si cela était connu, il suffirait de dériver l'expression R(t) pour obtenir R'(t) = v_rel(t) qui chercher finalement à voir comment on peut exprimer v_rel en fonction de R sans faire intervenir le temps davantage. On veut donc trouver quelque chose de compliqué pour finalement trouver un résultat qui s'obtient plutôt simplement par des considérations énergétiques.

Sigmar a donné une expression de l'accélération relative des deux corps, soit où M_s est la masse du système. Cette équation différentielle non-linéaire du second ordre est de la forme plus générale , A étant une constante (-GM_s ici), x la variable indépendante (t ici) et y la variable dépendante (R ici). Cette équation différentielle plus générale s'appelle, selon le lien suivant que l'on peut trouver en cliquant sur le lien donné plus haut par Sigmar, l'équation d'Emden-Fowler. Pour nous, n=0 et m=-2. Selon ce site, l'équation d'Emden-Fowler a donc pour solution :

3

Néanmoins, cette forme de la solution de permet pas de trouver une distance initiale non nulle, la distance initiale devant pourtant être arbitraire. Je me suis donc inspiré du message de Gilmagesh que l'on retrouve dans le fil indiqué par Sigmar pour avoir plutôt que t², C étant une constante à déterminer (ce qui se fait en considérant les conditions initiales) ayant, on le voit, les dimensions de l'inverse d'un temps i.e. [C] = [T]^-1 . On se rend compte qu'un tel changement d'argument satisfait toujours l'équation différentielle. La solution que l'on obtient pour l'équation différentielle peut se mettre sous la forme (cela se vérifie en voyant ce que vaut C ; voir mon message précédent) :

4

On a ainsi atteint notre objectif : trouver une expression de la vitesse (ici relative) des deux corps en fonction de leur distance. On se rend compte qu'on peut trouver la vitesse de chaque corps selon le CM du système en utilisant la définition de la vitesse relative donnée plus haut et la formule reliant les vitesses 'absolues' (par absolues, on entend par rapport au CM du système) donnée aussi plus haut.

Seulement, a-t-on à faire à une solution générale du problème? Une petite analyse (voir mon message précédent) indique que cette solution correspond à un système dont les vitesses de chaque corps sont en tout point égale à la vitesse de libération de ces corps. Autrement dit, cette solution correspond implicitement au cas d'un système de deux masses au départ immobiles et infiniment loin l'une de l'autre qui se rapprocheraient progressivement sous l'effet de leur interaction gravitationnelle. Dans cette optique, C peut s'interpréter comme l'inverse du temps qu'il faut pour que les objets passent d'une distance R₀ à une distance nulle (on voit qu'on considère ici les deux corps comme ponctuels). Tout ceci nous permet de constater que les expressions des vitesses données en (4) correspondent effectivement aux expressions données en (2) pour des v₀ nuls et R₀ infini. Néanmoins, (4) n'est pas une solution générale, montrant que la substitution (t+C^-1)² au lieu de t² n'est pas suffisant pour englober tout le problème sous cette approche. Le problème actuel de ce fil serait donc de trouver une solution générale à R(t), permettant de trouver v_rel(t), donc v_rel(R) et donc éventuellement les vitesses 'absolues' des deux corps en fonction de R (les équations non horaires des vitesses devant correspondre à l'ensemble (2)).

Je parle de vitesse absolu par rapport à un repère fixe dans l'univers !Cette vitesse ne dépend clairement que de l'autre masse . On le voit dans l'équation fondamentale :
m1g1=Gm1.m2/D² ......g1=Gm2/d² l'accélération de m1( g1) sur m2 ne dépend que de m2 et de la distance.. et inversement

Ceci est malheureusement faux. Tu dis que la vitesse 'absolue' d'un des deux corps ne dépend que de la masse de l'autre corps (et donc pas de sa propre masse) et pour justifier cela, tu montres l'expression de l'accélération du corps, pas de sa vitesse. Ta justification n'en est donc pas une, mais cela n'implique pas a priori que ton énoncé est faux. Malheureusement, la vitesse de n'importe quel des corps dépend de la masse des deux corps, non pas d'une seule. Pour s'en convaincre, il faut comprendre que bien que l'accélération individuelle d'un corps par rapport au CM du système ne dépend que de la masse de l'autre corps, cela implique que les corps s'accélèrent mutuellement l'un vers l'autre en même temps, l'accélération relative étant donc croissante avec la masse du système (ce que dit l'équation différentielle donnée en début de mon message précédent). Ainsi, les masses se rapprochent d'autant plus rapidement que la masse du système est grande, cela impliquant aussi que la vitesse 'absolu' de chacun des corps augmente avec la masse du système.

Franchement , je trouve mon équation bizarement trop simple. Le raisonnement part de l'équation d'une masse partant de l'infini, arrivée à ro, elle a une vitesse vo , pour obtenir la vitesse de cette masse en partant de ro sans vitesse j'enlève simplement vo à l'équation , trop simple !!!

C'est que la relation (ou la vitesse de A en permutant les indices A et B) est bonne, mais tu l'obtiens en appliquant la conservation de l'énergie mécanique comme je l'ai faite en début de ce message, ce qui est aussi une bonne méthode pour procéder. L'ennui est, comme j'essayais de le dire à la fin de mon précédent message, que tu soustrais la vitesse de B en R par la vitesse de B en R₀ quand B vient de l'infini (B a une énergie mécanique nulle) pour dire que cela correspond à la vitesse de B en R quand B vient de R₀ où B était immobile (R<R₀). En fait, tu considères que le gain de vitesse de B entre ces deux points est indépendant d'où B provient ou, de façon équivalente, est indépendant de la vitesse de B en R₀ (ou R, cela revient du pareil au même). Cela est faux! Le gain en énergie cinétique est le même entre ces deux points indépendamment de la situation (car la perte d'énergie potentielle associée ne dépend pas de la vitesse de B, mais uniquement de la mesure de ces deux points, donc est indépendante des conditions initiales de la situation), mais pas le gain de vitesse. Pour s'en convaincre, posons que B se trouve en R₀ avec une vitesse v₀ et se trouve en R avec une vitesse . D'après ce que l'on a dit, le gain en énergie cinétique est indépendant de v₀. Si on développe l'expression de , on obtient :



doit être indépendant de v₀, ce qui implique selon la dernière égalité que est grossièrement inversement proportionnel à v₀. Ainsi, le gain de vitesse entre les deux points dépend de la situation, contrairement à la démarche que tu as suivie.

Amicalement

[triall]

Nous sommes tous d'accord sur cette définition de r₀ (ou R₀). Il est indiscutable que le problème initial se résout naturellement en considérant l'énergie mécanique du système, qui est constante en tout temps vu que le système est hypothétiquement considéré libre (i.e. dans un potentiel partout constant). Ainsi, soit E l'énergie du système défini par les corps A et B, nous avons:

(1)

Ainsi, l'état du système est parfaitement déterminé par les conditions initiales i.e. par , et . Si nous ne sommes pas intéressés par la façon dont les vitesses et la distance entre les deux corps varient dans le temps, comme c'est le cas dans le message initial de ce fil, on peut ne pas considérer les temps et on peut donc chercher à exprimer les vitesses en fonction de la distance R entre les deux corps. L'équation ci-dessus s'appliquant certainement dans le référentiel ayant pour origine le centre de masse du système, comme je l'ai mentionné dans le fil 'Gravité', on peut exprimer facilement en fonction de et vice versa : . En injectant ce résultat de façon appropriée dans (1), on peut trouver les relations recherchées pour les deux vitesses dans le référentiel du CM du système, la norme de la vitesse relative des deux corps correspondant à la valeur absolue de la différence de ces deux vitesses :

2

Amicalement

Bonjour , cette équation m'avait échappée dans le message 5 , elle est parfaitement symétrique, on a bien mA.VA=mBVB elle est magnifique , c'est elle . Super .je ne sais pas qu'est-ce que j'ai été à cherché avec m1 à l'infini !

Merci pour mettre le paquet dans les explications pour soustraire la vitesse de B en r.... ne me sont pas apparues ce matin 9 h comme compréhensible pour moi .Ce devrait venir dans la journée, après éclaircissement des brumes nocturnes . je fais mes virées à vélo trop tard (trop chaud avant) ces temps ci, et je dors très mal !

Au réveil, la seule erreur qui m'est apparue c'est qu'il fallait aussi soustraire la vitesse de l'autre masse , et ainsi, ce que je trouve ressemble bougrement à ton équation .


Néammoins ta méthode est de loin plus fiable dans tous les cas..

Pour la suite, j'ai aussi compris la démarche d'ajouter les accélérations relatives , puis je bloque avec Emden-Fowler , et j 'essaie de vérifier en dérivant le résultat de R(t) 2 fois par rapport à t, ça me fait un bon exercice, mais rien que ça déja , sur 2 tentatives, je ne vois pour l'instant rien de ressemblant, mais comme je reprends le calcul doucement (ça s'oublie, c'est pas comme le vélo) il va me falloir au moins 5 tentatives...je te dis si cette intégration est correcte, je dois arriver à dériver 2 fois tout de même !

Quant aux bémols de la fin, avec les expressions données en 4 et en 2 , je crois que tu as oublié de les nommer ..
Bravo, en tout cas, putain pour 19 ans... j'avais , moi , souvenir d'une exponentielle mais je peux confondre et Lpfr (le grand) sur ce site m'a lâché une cycloïde paramétrée dont je ne savais que faire , mais qui effectivement semblait correspondre à une solution.
http://forums.futura-sciences.com/ph...gravite-2.html

Quelquefois , il vaut mieux contourner un problème que de sortir de suite l'artillerie lourde, mais là....

Bonne journée

[triall]

Sigmar a donné une expression de l'accélération relative des deux corps, soit où M_s est la masse du système. Cette équation différentielle non-linéaire du second ordre est de la forme plus générale , A étant une constante (-GM_s ici), x la variable indépendante (t ici) et y la variable dépendante (R ici). Cette équation différentielle plus générale

Mais il n' y a pas une grosse coquille ici !!! en mettant avec la même écriture que R la distance de l'autre côté de l'équation, , et en concluant


Donc en confondant y l'accélération avec y de l'autre côté qui est en fait la distance il y a erreur il me semble!!!
Je me méfie de Sigmar, il croit que la lumière se propage dans le vide ! (?) ... , et il est trop sûr de lui !!! Faites chauffer le goudron et les plumes !!

[invite5e5dd00d]

Je me méfie de Sigmar, il croit que la lumière se propage dans le vide ! (?) ... , et il est trop sûr de lui !!! Faites chauffer le goudron et les plumes !!

???
La lumière se propage dans le vide !!! Sinon comment expliquer qu'elle nous arrive en venant du Soleil ???

Il n'y pas d'erreur d'écriture sur l'équa diff à l'origine. C'est Universus qui interprète d2R/dt2 comme une acceleration (il en a le droit, pour ce qui est de l'inteprétation physique, je lui laisse). Par contre, il peut y avoir une erreur de raisonnement en amont de ma part. Comme je l'ai dit avant, je n'ai pas tenu compte du mouvement possiblement plan, alors je ne suis pas sûr du résultat. Pour le reste, ce n'est pas moi qui ait résolu l'équation...

[Universus]

Salut à tous,

Mais il n' y a pas une grosse coquille ici !!!

Je pense qu'il n'y en a aucune La démarche pour trouver cette équation différentielle est présentée par Sigmar au message #9, à ceci près qu'il n'obtient pas (sûrement une erreur de calcul) le facteur -1 que j'ai obtenu en effectuant son moi aussi (cette erreur, que je n'avais pas vue sur le coup, explique pourquoi j'obtenais une valeur imaginaire pour C à mon message #14). Bref, sa démarche montre que le R de chaque côté de l'égalité est le même, soit la distance entre les centres des deux corps.

Pour la suite, j'ai aussi compris la démarche d'ajouter les accélérations relatives , puis je bloque avec Emden-Fowler , et j 'essaie de vérifier en dérivant le résultat de R(t) 2 fois par rapport à t, ça me fait un bon exercice, mais rien que ça déja , sur 2 tentatives, je ne vois pour l'instant rien de ressemblant, mais comme je reprends le calcul doucement (ça s'oublie, c'est pas comme le vélo) il va me falloir au moins 5 tentatives...je te dis si cette intégration est correcte, je dois arriver à dériver 2 fois tout de même !

D'après mes vérifications, l'équation D'Emden-Fowler est bien solution de l'équation différentielle. Si tu ne parviens pas à le montrer après de nouvelles tentatives, je te propose de jeter un oeil à mon calcul ci-dessous.

 Cliquez pour afficher

On satisfait alors bien l'équation différentielle d'Emden-Fowler. Remplacer t par t+C^-1 demeure une solution.

C'est Universus qui interprète d2R/dt2 comme une acceleration

Si on ne considère que les accélérations de chaque corps dans le référentiel du centre de masse du système et que de cela on veut trouver l'accélération relative des deux corps, on obtient ton équation différentielle (et du coup l'interprétation physique de ). Il s'agit donc d'une autre façon de parvenir à ton résultat sans passer explicitement par la définition du centre de masse.

Sinon, pour expliciter un peu plus la méthode que je disais avoir déjà envisagée en début du message #14 (la méthode liée à la double intégrale), il s'agit de prendre par exemple l'expression de la vitesse de A donnée en (2) de mon message précédent (il en va de même pour v_B) que l'on peut écrire plus simplement en regroupant les termes indépendants de R en deux constantes et (constantes qui ne sont pas les mêmes pour les deux corps, on s'en rend compte) :



Cette dernière expression est utilisée par LPFR dans le message #29 du fil que tu as indiqué triall dans ton avant-dernier message (à l'erreur de la puissance -1 près qui est constatée un peu plus loin dans le fil). À partir de cette relation, il suffit d'intégrer des deux côtés pour obtenir une expression de t en fonction de R et donc possiblement de trouver une réciproque . Néanmoins, il me semble que LPFR a fait une erreur dans cette étape au message #31 du fil 'Allure gravité', disant qu'on pouvait retirer partiellement la variable R de la racine pour le mettre au numérateur avec une puissance 1. Il me semble plutôt que c'est possible avec une puissance 1/2, chose qui nous donne une primitive bien plus complexe qui ne se résout pas à ma connaissance analytiquement :



Dans notre problème, x correspond à R et toute cette primitive correspond à un moment. On se rend donc compte qu'il est difficile de trouver, du moins en procédant de cette façon (ou en utilisant la double intégrale de mon message #14 qui redonne la même intégrande après une intégration que celle ci-haut), de pouvoir trouver une expression pour R(t).

Le problème générale donc de trouver une expression de R(t) (ou l'équation horaire d'une variable qui est liée à R) n'est pas simple.

[triall]

Autant pour moi, je suis en train de boire le goudron en infusion pour ma punition .(ssssllrrrp bââaah)

Voilà, il faut que je dérive quoi en fait cela fait 15 ans que je ne pratique plus ! J'ai un an pour me remettre à peu près au niveau.

Merci pour tous ces calculs et appréciations, le travail est bien mâché .

Je vais m'y pencher dessus et bosser .En fait mon pb c'est que je n'ai pas d'échéance ..A la retraite (dans un ans )je compte m'y remettre sérieusement en attendant je me remets un peu à niveau par ci par là, c'est un peu confus, ça paiera un jour, et j'ai surtout besoin de tout vérifier ..Vous allez trop vite pour moi, par exemple avec le centre de masse , j'ai du réécrire m1 GA +m2G2=0 pour me rendre compte qu 'il n'y avait pas d'erreur de votre part ... Quant aux intégrations , à part les simples, pourtant .. j'avais acquis une bonne dextérité là dessus , plus de pratique...il faut que je refasse du solfège de base

Pour Sigmar , ce que je voulais dire c'était que le vide n'était pas vide, voir aussi la radiation Unruh , cousine de la radiation d'Hawking, qui provoque la détection de particules du vide pour tout objet en accélération, dans un univers classique ,non courbé.L'observateur accéléré se retrouverait dans un environnement chaud à une température T , entouré d'un rayonnement, fonction de son accélération.
http://lpsc.in2p3.fr/ams/gaelle/these/node175.html
J'ai une connaissance qui travaille entre autre là dessus avec les lasers attosecondes http://cerncourier.com/cws/article/cern/37860
publié par le CERN; on me demande de traduire, (j'ai traduit la moitié) mais malheureusement je ne comprends que les 3/4 , ce n'est déjà pas si mal. .(ssssllrrrp bââaaah) pas terrible ce goudron chaud!
Amicalement. Merci

[parousky]

Je vois dans toutes vos relations des distances R et Ro, avec toujours une différence entre ces deux valeurs. Ce qui signifie que si R = Ro, la vitesse est nulle, logique, le corps considéré touche le sol. Mais prenons l'exemple de la Terre avec Ro = Rt, le rayon de la Terre, et imaginons que le corps considéré puisse passer à travers toute la matière. Si R = Rt, sa vitesse est non nulle. Il me faudrait une relation en fonction de la distance entre les deux centres de gravité, et non en fonction de l'altitude. Existe t-il une telle relation ?

[invite5e5dd00d]

Salut,

Pour Sigmar , ce que je voulais dire c'était que le vide n'était pas vide, voir aussi la radiation Unruh , cousine de la radiation d'Hawking, qui provoque la détection de particules du vide pour tout objet en accélération, dans un univers classique ,non courbé.L'observateur accéléré se retrouverait dans un environnement chaud à une température T , entouré d'un rayonnement, fonction de son accélération.
http://lpsc.in2p3.fr/ams/gaelle/these/node175.html
J'ai une connaissance qui travaille entre autre là dessus avec les lasers attosecondes http://cerncourier.com/cws/article/cern/37860
publié par le CERN; on me demande de traduire, (j'ai traduit la moitié) mais malheureusement je ne comprends que les 3/4 , ce n'est déjà pas si mal. .(ssssllrrrp bââaaah) pas terrible ce goudron chaud!

Encore une fois, il faut savoir de quel vide on parle.
Quand on parle de vide, usuellement, c'est pour parler du vide de matière ordinaire : pas de fermions réels.
Vous, et je ne le conteste pas, vous parlez de particules dans le vide. Ces particules ne sont pas réelles mais virtuelles. Et donc le vide dans le sens physique du terme représente un endroit où il n'y a pas de particules réelles.
Mais peu importe au bout du compte, car ce n'est pas ces particules virtuelles qui permettent aux photons de se propager. Ils se déplaceraient, selon ce que je crois savoir, même dans un hypothétique vide quantique (cad RIEN, aucune particule réelles ou virtuelles).
J'espère que ça éclaircit votre impression.

A+
Sig.

[Universus]

Je vois dans toutes vos relations des distances R et Ro, avec toujours une différence entre ces deux valeurs. Ce qui signifie que si R = Ro, la vitesse est nulle, logique, le corps considéré touche le sol. Mais prenons l'exemple de la Terre avec Ro = Rt, le rayon de la Terre, et imaginons que le corps considéré puisse passer à travers toute la matière. Si R = Rt, sa vitesse est non nulle. Il me faudrait une relation en fonction de la distance entre les deux centres de gravité, et non en fonction de l'altitude. Existe t-il une telle relation ?

Je ne comprends pas trop ce que tu veux dire, surtout dans les passages du type 'R_i = R_j, la vitesse est quelque chose'. À date, ce que nous avons considéré, c'est comment calculer la vitesse de chacun des deux corps (tant relativement l'un à l'autre que la vitesse de chacun dans le référentiel du centre de masse du système qu'ils forment) en fonction de la distance R les séparants. Les v_0 et R_0 représentent un ensemble de données que nous devons posséder afin de résoudre le problème que tu poses, il peut donc s'agir des conditions initiales du système (il faut comprendre que condition initiale n'implique pas vitesse nulle). Alors les équations que tu cherches, dans le cas où les deux masses ne se 'chevauchent' pas, ont déjà été données dans le fil (voir l'ensemble d'équations (2) du message #18).

Mais là, si tu veux le cas d'une masse qui 'traverserait' la Terre, ce n'est plus du tout la même chose... La situation demande davantage d'informations sur les corps (du type de la taille, de la répartition de la masse au sein des corps, etc.). Bref, où veux-tu en venir avec tout ça?

[parousky]

Je voulais simplement avoir la vitesse d'un corps en fonction de la force qui s'applique sur lui.

[Universus]

Dans ce cas, ...

[parousky]

Universus, peux-tu expliquer ta dernière relation ? Tu décris une force en fonction d'un temps ?

[Universus]

La dernière relation est presque la relation la plus générale donnant la vitesse d'un corps (de masse m) à un moment t soumis à chaque instant par une certaine force.

Tu pars de la définition d'une accélération : , puis, en substituant l'accélération par son équivalent (équivalent donné par la seconde loi de Newton), tu as . Dans le cas qui t'intéresses, on peut dire sans trop d'erreurs que m est constante dans le temps, ce qui explique pourquoi je n'ai pas mis d'argument t à la masse dans mon message précédent (ce qui donne une relation moins générale). En mécanique classique, la relation ci-dessus est une relation toujours vraie. Néanmoins, le problème est souvent de trouver explicitement comment varie v ou F dans le temps et ça, dans le cas de la gravité, c'est pas gagné...