Groupe de Poincaré et relativité restreinte

[Seirios]

Bonjour à tous,

J'aimerais savoir ce qu'apporte l'étude du groupe de Poincaré à la relativité restreinte, ou autrement dit : A quoi sert le groupe de Poincaré en relativité restreinte ?

Merci d'avance,
Phys2
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[mariposa]

Bonjour à tous,

J'aimerais savoir ce qu'apporte l'étude du groupe de Poincaré à la relativité restreinte, ou autrement dit : A quoi sert le groupe de Poincaré en relativité restreinte ?

Merci d'avance,
Phys2

Bonsoir,

En termes d'utilité, ce n'est pas directement le groupe de Poincaré qui est utile, mais ses représentations linéaires et surtout celles de ces sous-groupes, par exemple le groupe de Lorentz.

Cela permet de construire toutes les équations physiques possibles compatibles avec les symétries du groupe de Lorentz.

Bien entendu c'est le cas des équations de Maxwell qui sont à la source de la RR, mais c'est, par exemple, la découverte "logique" de l'équation de Dirac des électrons et des positrons et de la valeur du spin 1/2 des électrons.

Autre exemple célèbre: La construction du modèle standard découle:

1- Du groupe de Poincaré.
2- Des groupes de jauge U(1), SU(2) et SU(3)

en bref les groupes de symétries structurent toute la physique théorique.

[invite6754323456711]

Bonjour à tous,

J'aimerais savoir ce qu'apporte l'étude du groupe de Poincaré à la relativité restreinte, ou autrement dit : A quoi sert le groupe de Poincaré en relativité restreinte ?

Merci d'avance,
Phys2

Un premier élément de réponse http://www.jmsouriau.com/Publication...sEtGeo1982.pdf

Patrick

[Seirios]

En termes d'utilité, ce n'est pas directement le groupe de Poincaré qui est utile, mais ses représentations linéaires et surtout celles de ces sous-groupes, par exemple le groupe de Lorentz.

Cela permet de construire toutes les équations physiques possibles compatibles avec les symétries du groupe de Lorentz.

La connaissance du groupe de Poincaré permet-elle de construire la théorie de la relativité restreinte elle-même ? J'ai vu qu'en mécanique classique, il y avait le groupe de Galilée, dans quel contexte l'utilise-t-on ?

Bien entendu c'est le cas des équations de Maxwell qui sont à la source de la RR

On peut donc retrouver les équations de Maxwell à partir du groupe de Poincaré ? Je suppose que cela utilise le formalisme tensoriel ?

Un premier élément de réponse http://www.jmsouriau.com/Publication...sEtGeo1982.pdf

J'ai commencé à lire ce document, et il semble que la géométrie différentielle joue un rôle primordial. Est-ce uniquement par ce biais que l'on trouve le lien entre groupe et physique ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[mariposa]

La connaissance du groupe de Poincaré permet-elle de construire la théorie de la relativité restreinte elle-même ? J'ai vu qu'en mécanique classique, il y avait le groupe de Galilée, dans quel contexte l'utilise-t-on ?

Oui,

Le groupe de Poincaré c'est l'ensemble des transformations qui laissent invariant la distance de Minskovski ds2 = c2.dt2 -(dx2 + dy2 + dz2).

Cette distance provient de l'analyse de équations de Maxwell.

On peut donc retrouver les équations de Maxwell à partir du groupe de Poincaré ? Je suppose que cela utilise le formalisme tensoriel ?

Oui. en effet si tu prends comme axiome la définition du groupe de Poincaré alors tu peux restaurer non seulement les équations de Maxwell mais aussi l'équation de Dirac et beaucoup plus.

J'ai commencé à lire ce document, et il semble que la géométrie différentielle joue un rôle primordial. Est-ce uniquement par ce biais que l'on trouve le lien entre groupe et physique ?

Non, pas directement. Le lien entre groupes et physique se fait par la TRG (Théorie de Représentations des Groupes) qui permet de construire des lois physiques contraintes par des considérations de physique. la géométrie différentielle sous la forme de la théories des variétés fibrés est une extension de la TRG qui joue un rôle fondamental dans la physique théorique.

[invité576543]

La connaissance du groupe de Poincaré permet-elle de construire la théorie de la relativité restreinte elle-même ?

D'une certaine manière on peut dire que le groupe de Poincaré et la RR, c'est pareil. Et on peut rajouter l'invariant ds². Ce sont trois manières de parler de la même chose, c'est à dire d'une symétrie de l'espace-temps.

J'ai vu qu'en mécanique classique, il y avait le groupe de Galilée, dans quel contexte l'utilise-t-on ?

Pareil, c'est une autre manière de présenter les symétries de l'espace et du temps qui sont sous-jacentes à la mécanique classique. L'invariant correspondant est le couple (dt², dx²).

On peut donc retrouver les équations de Maxwell à partir du groupe de Poincaré ?

C'est assez subtil. Cela dépend de ce qu'on appelle "équations de Maxwell". Il y a un formalisme (algèbre extérieure) permettant de les exprimer d'une manière indépendante de la RR (et donc non dérivable de la RR). Les équations de Maxwell sont "plus symétriques" que la RR.

Par contre l'expression usuelle explicitant le temps et l'espace fait explicitement intervenir les symétries de la RR.

La relation entre RR et équations de Maxwell est donc plutôt dans l'autre sens : les équations de Maxwell exprimées en temps et espace (i.e., comme relation entre des observables exprimées en temps et espace) n'étant pas compatibles avec la mécanique classique (= pas invariantes par le groupe de Galilée), il a fallu trouver une autre symétrie entre espace et temps avec laquelle les équations de Maxwell étaient compatibles, cela a été la RR.

Je suppose que cela utilise le formalisme tensoriel ?

On peut le dire comme cela. Les équations de Maxwell s'expriment très bien avec le formalisme tensoriel 4D, y compris pour l'expression dans le cadre de l'algèbre extérieure (il y a alors deux équations). L'expression usuelle (en quatre équations) en découle en prenant une base (t, x, y, z) au sens de la RR et en passant en 1D+3D.

Cordialement,

[Seirios]

D'une certaine manière on peut dire que le groupe de Poincaré et la RR, c'est pareil. Et on peut rajouter l'invariant ds². Ce sont trois manières de parler de la même chose, c'est à dire d'une symétrie de l'espace-temps.

J'ai du mal à comprendre que toute la relativité restreinte puisse être contenue dans le groupe de Poincaré, qui n'est autre que l'ensemble des transformations laissant invariant, je ne vois pas vraiment le lien entre les deux...

[invite6754323456711]

L
J'ai commencé à lire ce document, et il semble que la géométrie différentielle joue un rôle primordial. Est-ce uniquement par ce biais que l'on trouve le lien entre groupe et physique ?

C'est un premier contact sur l'intérêt de l'usage de la géométrie en physique dans lequel il aborde au chapitre 5 le groupe de Poincaré. En ce qui me concerne Il m'a donné envie d'aller plus loin et m'intéresser à Hermann Weyl

“ Un principe directeur des mathématiques modernes tient en cette leçon : lorsque vous avez affaire à une entité S munie d’une certaine structure, essayez de déterminer son groupe d’automorphismes, le groupe des transformations de ses éléments qui préservent les relations structurales. Vous pouvez espérer gagner une profonde compréhension de la constitution de S de cette manière.” Hermann Weyl .

Il fait lien entre un groupe (d'automorphismes) et une structure.

Patrick

[mariposa]

J'ai du mal à comprendre que toute la relativité restreinte puisse être contenue dans le groupe de Poincaré, qui n'est autre que l'ensemble des transformations laissant invariant, je ne vois pas vraiment le lien entre les deux...

Toute la relativité restreinte et toutes les lois physiques se construisent à partir des représentations linéaires du groupe de Poincaré.

En termes simples une representation linéaire d'un groupe c'est un homorphisme vers un groupe de matrices qui agissent dans un espace vectoriel V (au choix).

sur un exemple simple à partir de la physique que tu connais (tu as commencé la MQ je crois):

Pour un atome le groupe c'est O(3).

Un hamiltonien c'est un opérateur invariant selon les transformations O(3) alors on peut construire tous les hamiltoniens possibles à partir des représentations irréductibles du groupe O(3).

Par exemple:

Un produit L.S produit de l'opérateur moment orbital par opérateur moment de spin est un opérateur invariant (c'est en fait le couplage spin-orbite).

Le produit B.S où B est le vecteur champ magnétique et S l'opérateur de spin est un invariant et représente l'effet Zeemann.

Le couplage de 2 moments cinétiques J1 et J2 donnent des moments cinétiques qui vont de |J1-J2| à J1 + J2

Quand en MQ tu écris un élément de matrice <A|O|B> c'est un nombre et donc un invariant. On démontre que cet élement de matrice est non nul si la décomposition du produit tensoriel des vecteurs |A> et |B> en représentations irréductibles contient la représentation de l'opérateur de O.

Ce genre de gymnastique tout azimuths s'appelle la TRG et est en quelque sorte une forme de généralisation des tenseurs.

C'est ainsi qu'a partir du groupe de Poincaré on montre qu'une particule a 2 nombres quantiques qui sous-tendent les représentations irréductibles du groupe de Poincaré. La masse et le spin. Si la masse est nulle il n'y a pas de spin mais quelque chose qui lui ressemble et qui s'appelle l'hélicité.

C'est également à partir de l'analyse du groupe de Poincaré que l'on va construite les groupes supersymétriques dont on déduit toutes les théories supersymétriques.

[invite6754323456711]

J'ai du mal à comprendre que toute la relativité restreinte puisse être contenue dans le groupe de Poincaré, qui n'est autre que l'ensemble des transformations laissant invariant, je ne vois pas vraiment le lien entre les deux...

Peut être que cet article t'aidera à voir plus clair.

Les propriété de la nature sont bien souvent lié au types de symétries qui y règnent. La théorie des groupes permet d'explorer ces symétries.

Patrick

[invite6754323456711]

Les propriété de la nature sont bien souvent lié au types de symétries qui y règnent. La théorie des groupes permet d'explorer ces symétries.

Il me semble que ce qui est fondamental de comprendre c'est pas tant le concept géométrique de symétrie sous ces différentes formes (translation, rotation, ...), mais l'idée générale, base de toutes ces formes particulières, qui est celle de l'invariance d'une configuration d'éléments pour un groupe de transformations automorphiques.

Le lien entre l'invariance et la symétrie découle de ce qu'il y a de commun à toutes ces symétries qui est que "l'objet" (distance spatio-temporelle ici) restent invariant sous les transformations (translation, rotation, ...)

Le principe de relativité n'est qu'un exemple parmis d'autres de principe de symétrie. Le principe de symétrie sous translation temporelle et spatiale stipule qu'aucune expérience de physique ne permet de distinguer un point de l'espace d'un autre ou un instant d'un autre. Le principe de symétrie sous rotation stipule qu'aucune expérience de physique ne permet de distinguer une direction d'une autre.
Le principe de symétrie sous reflexion dans un miroir stipule qu'aucune expérience de physique ne permet de distinguer le comportement des objets gauchers et droitiers (leurs évolutions sont symétriques par réflexion) etc...jusqu'au principe de relativité qui, nous venons de le voir, stipule qu'aucun expérience de physique ne permet de distinguer une vitesse d'une autre dans l'univers. Tous ces principes sont d'une extrême importance car ils restreignent énormément les équations susceptibles de les satisfaire i.e d'être invariantes sous les multiples transformations correspondantes. A tel point qu'ils sont un outil très efficace pour trouver les bonnes équations de la physique en complément des données expérimentales comme la suite du cours se propose de le montrer. Notons que les expériences de physique permettent facilement de mettre en évidence le fait qu'un référentiel est accéléré par rapport aux référentiels Galiléens. Il n'y a donc pas de principe de symétrie sous accélération. Pourtant comme nous l'avons déjà évoqué il est possible de trouver des équations invariantes sous accélérations, par exemple celles de la Relativité Générale.

Patrick

[invité576543]

J'ai du mal à comprendre que toute la relativité restreinte puisse être contenue dans le groupe de Poincaré, qui n'est autre que l'ensemble des transformations laissant invariant, je ne vois pas vraiment le lien entre les deux...

Un lien est simple : la relativité restreinte exprime l'idée que les lois de la physique s'expriment de manière similaire quand on y applique une transformation du groupe de Poincaré.

La relativité restreinte postule qu'il existe un ensemble particulier de référentiels, les référentiels inertiels, dans lesquels les lois de la physique s'expriment de manière simple, et formellement identique dans tous ces référentiels là.

Il y a donc deux aspects distincts : la possibilité d'exprimer la physique de manière simple, et l'équivalence (indistinguabilité par les lois de la physique) entre référentiels inertiels.

La première idée est physique, et a des implications dans tous les domaines de la physique. La seconde est "chrono-géométrique", elle concerne l'espace-temps, et plus précisément le modèle mathématique de l'espace-temps.

La théorie des groupe et le groupe de Poincaré n'ont rien à faire dans la notion d'expression simple de la physique, dans la notion de référentiel inertiel. Mais elle et il s'appliquent pour formaliser la notion d'équivalence entre référentiels inertiels.

Une équivalence et une symétrie, c'est à peu près la même chose en mathématiques. Dans ce cas précis, l'équivalence se concrétise par un groupe de transformations permettant de passer d'un référentiel inertiel à un autre référentiel inertiel. C'est le groupe de Poincaré. L'équivalence se traduit aussi par l'existence de quantités "absolues", qualitatif défini dans le contexte comme "qui ne dépendent pas du choix du référentiel inertiel", comme ds². (Mais pas seulement ; un 4-vecteur est aussi quelque chose d'absolu...)

L'expression mathématique de l'équivalence entre référentiels inertiels peut donc prendre diverses formes, dont le groupe de Poincaré ; ou la linéarité + la conservation de ds² (la linéarité est aussi exprimable par un groupe ou par une conservation, celles des relations linéaires).

Bref, la relation entre groupe et invariants est mathématique, très générale. La RR postule une symétrie, donc un groupe et des invariants.

Mais la RR en tant que théorie physique fait peu plus que cela, en postulant que les lois prennent une forme simple dans certains référentiels. L'exemple clé est la conservation de l'énergie-quantité de mouvement pour un système isolé. Ce n'est pas inclus dans la notion de symétrie de l'espace-temps. C'est une conséquence d'une part d'observations amenant à conceptualiser l'énergie et la quantité de mouvement. La RR n'intervient là non pas pour introduire le concept, mais pour le contraindre : l'expression "conservation de l'énergie-quantité de mouvement pour un système isolé" doit être valide dans tous les référentiels inertiels. A contrario, la RR interdit de voir la conservation de l'énergie et la conservation de la quantité de mouvement comme indépendantes.

Cordialement,

Note : Ne pas oublier que la RR est une théorie réfutée. La RG dit que la RR est seulement une bonne approximation locale, quand la courbure de l'espace-temps peut être approchée par les formules de la gravitation de Newton appliquées dans un modèle d'espace-temps plat localement tangent. La notion de groupe de Poincaré est alors un peu abusive : si les "rotations" (groupe de Lorentz) peuvent garder une structure de groupe, ce n'est pas le cas pour les translations "locales" (i.e., petites).

[ordage]

1- La connaissance du groupe de Poincaré permet-elle de construire la théorie de la relativité restreinte elle-même ?
2-J'ai vu qu'en mécanique classique, il y avait le groupe de Galilée, dans quel contexte l'utilise-t-on ?

Salut
1- la réponse est oui. La RR et le groupe de Poincaré ont les mêmes symétries. L'espace de Minkowski qui est l'espace temps associé à la RR, possède le groupe de Poincaré comme groupe de symétrie:10 transformations continues: 3 rotations spatiales, 3 rotations spatio temporelles (ou boosts), 4 translations.

Si on considère l'élément métrique ds² = -dt² + dx²+dy²+dz²,on voit qu' il existe aussi des transformations discrètes (symétries t en -t et x, y,z en -x, -y, -z) qui ont également ds structures de groupe (finis).

On parle moins de ces symétries discrètes, sont elles une conséquence du groupe de Poincaré, sont elles indépendantes et liées à la structure de l'élément métrique ds², (je crois que cela introduit la notion de feuillets, utile en MQ), quelqu'un aurait il quelques lumières là dessus?

2- Il existe plusieurs relativités (galilée,RR) voir la description très claire de T. Damour là dessus.

http://www-cosmosaf.iap.fr/RELATIVIT...20Thibault.htm

[mariposa]

[QUOTE=Michel (mmy);2984402]


Bonjour,

Bref, la relation entre groupe et invariants est mathématique, très générale. La RR postule une symétrie, donc un groupe et des invariants.

La RR ne postule pas une symétrie car celle-ci est extraite de l'expérience. L'expérience c'est ici les équations de Maxwell. Les transformations sont les transformations de Poincaré et surtout les transformations de Lorentz (le sous-groupe) qui laissent invariant la métrique de Minskovski.

Le problème en physique commence justement face à travers un ensemble d'expériences à trouver le groupe pertinent. Tous les groupes proviennent de l'expérience. Pour prendre l'exemple des particules élémentaires, le groupe SU(3) provient de la classification des hadrons et mésons.

Mais la RR en tant que théorie physique fait peu plus que cela, en postulant que les lois prennent une forme simple dans certains référentiels. L'exemple clé est la conservation de l'énergie-quantité de mouvement pour un système isolé. Ce n'est pas inclus dans la notion de symétrie de l'espace-temps.

Pas du tout: la donnée ou l'identification du groupe permet de tout construire, c'est l'objet justement de la TRG (Théorie des Représentations des Groupes). Ici c'est encore très simple.

Si on regarde l'espace de Minskowski comme un espace affine. Les 4 coordonnées dé"finissent un vecteur (tenseur 1,0) que l'on considère contravariant.

Consèquence: les dérivées partielles forment un vecteur covariant (tenseur (0,1).

Les générateurs de translations temporelles E et transformations spatiales Px sont de la forme i.d/dt et i.d/dx.

Donc:

Les 4 opérateurs

E, Px, Py, Pz forment un opérateur vectoriel covariant.

Et de même pour les valeurs propres de ces opérateurs soient:

e, px, py, pz

Donc l'invariance de t2 -(x2 + y2 + z2) je prend c= 1

Se transforme en

e2 - (px2 + py2 + pz2)

Comme il s'agit d'un produit scalaire et que le groupe de Poincaré est abélien l'invariant vaut m (la masse qui supporte une des représentations irréductibles de Poincaré).

Avec la même démarche (abstraction faites de la technicité) on peut écrire l'équation de Dirac.

De même la seule donnée du groupe de Poincaré et d'un groupe de jauge, par exemple SU(3) permet de construire les équations fondamentales de la chromodynamique quantique et prédit ainsi 8 bosons de jauge et en plus chargés de couleurs.

Autrement dit:

Groupe de Poincaré + Groupe SU(3) = chromodynamique quantique.

C'est pourquoi je dis et répète que la TRG c'est (presque) toute la physique théorique.

[invite6754323456711]

Salut

On parle moins de ces symétries discrètes, sont elles une conséquence du groupe de Poincaré, sont elles indépendantes et liées à la structure de l'élément métrique ds², (je crois que cela introduit la notion de feuillets, utile en MQ), quelqu'un aurait il quelques lumières là dessus?

D'après Wiki c'est inclus dans le groupe de Poincaré http://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_...sformations%29

Il y aurait-il aussi plusieurs définitions du groupe de Poincaré ?

Patrick

[mariposa]

D'après Wiki c'est inclus dans le groupe de Poincaré http://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_...sformations%29

Il y aurait-il aussi plusieurs définitions du groupe de Poincaré ?

Patrick

Bonjour,

Je ne vois pas comment on peut avoir plusieurs définitions (en restant dans l'esprit d' Erlangen) sauf à le définir comme un sous-groupe H d'un groupe G. le groupe de Poincaré est un groupe d'isométrie, cad que les éléments du groupe sont les transformations qui laissent invariantes la distance entre 2 points que l'on peut écrire comme çà:

d[A,B] = d [g(A), g(B)]

d est la distance et g est un élément du groupe de Poincaré.

La distance est la distance de Minkowski (que je n'écris plus).

[invité576543]

On parle moins de ces symétries discrètes, sont elles une conséquence du groupe de Poincaré

J'ai plutôt retenu que le groupe de Poincaré est le groupe complet, et est composé de quatre composantes connexes (ce qui est autre manière de parler des transformations discrètes).

Elles ont toutes un sens physique, en les combinant avec la symétrie C.

Mais il y a effectivement un risque d'ambiguïté entre le groupe de Poincaré complet et la composante connexe de l'identité, qui est bien un groupe lui-même. Pas évident que l'usage du vocabulaire soit cohérent.

Cordialement,

[mariposa]

J'ai plutôt retenu que le groupe de Poincaré est le groupe complet, et est composé de quatre composantes connexes (ce qui est autre manière de parler des transformations discrètes).

Le groupe de Poincaré est bien ce que tu appelles le groupe "complet".

par contre le fait que le groupe de Poincaré ne soit pas simplement connexe n'est pas lié au directement aux transformations discrètes (même si cela semble intuitif).

Il est facile de prendre un exemple lié au groupe de Poincaré qui est le groupe SO(3), un sous groupe de Poincaré. Ce groupe ne possède pas de transformations discrètes et pourtant il n'est pas simplement connexe, son groupe de recouvrement, c'est SU(2).

Elles ont toutes un sens physique, en les combinant avec la symétrie C.

La symétrie C (conjugaison de charge) n'est pas concernée par les transformations de Poincaré. Là il faut voir du coté des représentations du groupe.

Mais il y a effectivement un risque d'ambiguïté entre le groupe de Poincaré complet et la composante connexe de l'identité, qui est bien un groupe lui-même. Pas évident que l'usage du vocabulaire soit cohérent.
Cordialement,

il n'y a aucune ambiguïté de ce coté là pour la simple raison qu'a la base des groupes de Lie on construit l'algébre de ces générateurs (cad son algébre de Lie) qui est le DL on voisinage de l'opération identité. Ceci pouvant être regardé géométriquement comme l'espace tangent à la varièté de Lie.

En bref le groupe de Poincaré c'est le groupe de Poincaré.

La composante connexe du groupe c'est l'exponenation de son algébre de Lie.

[invité576543]

"Connexe" et "simplement connexe" sont deux notions différentes.

[mariposa]

"Connexe" et "simplement connexe" sont deux notions différentes.

Absolument

La sphére S2 est simplement connexe (toutes les boucles peuvent se contracter en un point) tandis que le Tore T2 ne l'est visiblement pas.

[invité576543]

Absolument

Ce qui rend la contradiction dans le message de 13h00 totalement inappropriée, pour ne rien dire de plus fort.

[ordage]

D'après Wiki c'est inclus dans le groupe de Poincaré http://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_...sformations%29

Il y aurait-il aussi plusieurs définitions du groupe de Poincaré ?

Patrick

Merci pour le lien et aux autres intervenants pour les précisions.
Pour poursuivre sur le sujet de ce groupe, je lis qu'on précise aussi que selon le déterminant de la matrice de transformation (qui vaut +1 ou -1) on distingue les transformations qui peuvent être reliées continuement à la relation unitaire via une séquence de transformations infinitésimales (det +1) (comme le sous groupe orthochrone de Lorentz) et celle de déterminant -1 (comme la réflexion) qui ne peuvent pas.
Par ailleurs on distingue aussi les transformations homogènes (les 6 rotations de Lorentz) et les transformations inhomogènes (4 translations).

Je trouve tout cela assez complexe et si la structure de ce groupe, avec ses sous groupes, résulte sans ambiguité de sa définition (conservation du ds²) il ne me semble pas facile à représenter géométriquement tant il inclut d'élements (apparamment?) disparates.

Y a t'il une description géométrique explicite ou doit on simplement s'en tenir à la définition formelle?
Cordialement

[invité576543]

on distingue les transformations qui peuvent être reliées continuement à la relation unitaire via une séquence de transformations infinitésimales

Ca, c'est une définition de la "composante connexe de l'unité"

(det +1) (comme le sous groupe orthochrone de Lorentz)

Lorentz et Poincaré sont deux groupes différents, mais pour les composantes connexes, c'est pareil.

Le sous-groupe orthochrone n'est pas une composante connexe : il a lui-même deux composantes connexes.

La composante connexe de l'identité est orthochrone et propre. Elle respecte aussi bien l'orientation de l'espace que celle du temps.

et celle de déterminant -1 (comme la réflexion) qui ne peuvent pas.

Là encore, c'est constitué de deux composantes connexes, total 4, comme je l'avais indiqué.

Et en relation avec les symétries discrètes que sont l'inversion du temps (T), en relation avec l'orthochronie (surprise!) et l'inversion de l'espace (P). Toutes deux d'ordre 2, et 2 fois 2 égal 4.

Cela se combine en 3 sous-groupes déterminés par les symétries discrètes pour le groupe de Lorentz: O+(1,3), orthochrones, SO(1,3) propres, et SO+(1,3), la composante connexe de l'identité, orthochrones et propres.

Par ailleurs on distingue aussi les transformations homogènes (les 6 rotations de Lorentz) et les transformations inhomogènes (4 translations).

On revient à Poincaré là ! Oui, mais c'est indépendant du découpage en composants connexes.

Cordialement,

[invité576543]

PS : Et pour les déterminants, je ne pense pas que c'est ce qu'indique Ordage... A vérifier.

[invité576543]

Après vérification, le signe du déterminant est lié à la notion de "propre".

[invité576543]

Je réalise du coup qu'il y a nécessairement un quatrième sous-groupe intéressant, celui des transformations respectant P, conséquence de la symétrie ternaire du groupe de Klein qu'est {1, T, P, PT}. Je ne connais pas son nom...

[Seirios]

Quelqu'un aurait-il un document avec un chapitre consacré au groupe de Poincaré ?

J'aimerais également savoir si l'on pouvait me donner un exemple d'utilisation du groupe de Galilée en mécanique classique ?

[mariposa]

Ce qui rend la contradiction dans le message de 13h00 totalement inappropriée, pour ne rien dire de plus fort.

Pas du tout, ce que tu écris est faux

Je t'ai expliqué que le caractère simplement connexe n'est pas lié au caractère discret en général.

Exemple : SO(3) ne possède pas de transformation et discrète et pourtant il n'est pas simplement connexe.

[mariposa]

Je trouve tout cela assez complexe et si la structure de ce groupe, avec ses sous groupes, résulte sans ambiguité de sa définition (conservation du ds²) il ne me semble pas facile à représenter géométriquement tant il inclut d'élements (apparamment?) disparates.

Y a t'il une description géométrique explicite ou doit on simplement s'en tenir à la définition formelle?
Cordialement

Le groupe de Poincaré est assez facile à comprendre car c'est à peu prêt la même chose que le groupe des transformations de la géométrie Euclidienne.

Le groupes E des transformations de la géométrique Euclidienne ce sont le groupe des rotations O(3) et le groupe des translations T3 qui laissent invariantes la distance euclidienne.

On peut écrire E = O(3)*T3

Le symbole * désigne le produit (semi-directe).

Quand tu passes du groupe de la géométrie euclidienne au groupe de Poincaré tu augmentes d'une dimension (celle du temps) et tu remplaces la distance euclidienne par la distance de Minkowski.

[invité576543]

Je t'ai expliqué que le caractère simplement connexe n'est pas lié au caractère discret en général.

1) Je n'ai en général que faire de tes explications, et en particulier dans le domaine de la topologie.

2) Cela était évoqué, à tort, en réponse à un texte sur la connexité, et non sur la simple connexité.

Exemple : SO(3) ne possède pas de transformation et
discrète et pourtant il n'est pas simplement connexe.

Et alors? Quel rapport avec l'existence ou non de plusieurs composantes connexes?

SO(3) ne possède pas de symétrie discrète et il est connexe.

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L'ambiance de ce fil devient incompatible avec ma présence, je le quitte. Je reste disponible par MP pour ceux qu'échanger avec moi intéresse.

Bye.