Chute libre d'une petite pierre

[invite827409f8]

Bonsoir

Je suis en train de faire un exercice sur la chute d’une pierre, j’avais plutôt bien avancé l’exercice et maintenant j’ai du mal à trouver la suite, voici ce que j’ai déjà rédigé :

(Je suis désolée le message est long, c’est parce que j’ai répondu à quelques questions dans l’exercice …)

On lâche une pierre du haut d’une falaise de hauteur h(h=30m). Pour l’ensemble des questions posées on négligera la force de frottement, on donnera d’abord l’expression littérale, on vérifiera l’homogénéité (dimension) de la solution proposée puis on réalisera l’application numérique.

1) Calculer les équations horaires pour a(t), v(t) et x(t)

La pierre est soumise à son poids P
P(->) = ma(->)
mg = ma
a = g (a > 0 car la pierre tombe)

a(t) = g

v(t) est la primitive de a(t)
donc v(t) = gt

et x(t) est la primitive de v(t)
donc x(t) = 1/2g.t²

2) Calculer la durée de la chute ainsi que la vitesse juste avant impact
J’ai h = 30m

Je prends x(t) = 1/2g.t²
=> 30 = 1/2g.t²
=> 30 = 1/2x9,81xt²
=> t² = 30/4,905
=> t = 2,47 s

Ainsi v(t juste avant impact) = gxt
v(t) = 9,81 x 2,47
v(t) = 24,26 m/s

3) Mêmes questions en tenant compte de la hauteur de la personne lançant la pierre (l = 1,80)
Ainsi h = 30 + l

Je fais exactement la même chose en remplaçant h = 30 m par h = 31,8 m

Je trouve t = 2,55s et v(t) = 24,98 m/s

J’aimerais savoir dans un premier temps si mes résultats sont justes…

Ensuite la question 4) introduit une condition initiale… vo = 2m/s La pierre est lancée vers le bas avec une vitesse vo

Alors pour les équations je trouve

a(t) = g
v(t) = gt + vo
x(t) = ½ gt² + vot

Ensuite pour la durée de la chute… j’ai essayé de calculer le discriminant de x(t) afin de trouver t1 et t2, j’ai voulu soustraire pour trouver la durée mais ça me semble incohérent… sinon je ne vois pas trop
Merci pour votre aide
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[calculair]

bonjour,

je n'ai pas refait les calculs, mais cela me semble correct

Pour la dernière question seule la solution avec t>0 est à retenir


Tu aurais pu pour une augmentation de h de 2% faire des approximations.

dh = gt dt ou
dh = 1,8
gt = V= 24,26 m/s

dt etant le temps de chute supplementaire.


Cela revient à dire que les derniers 1,8 m de chute sont parcourus à la vitesse finale precedente. Ce n'est pas tout à fait exacte, mais cela peut être consideré comme une approximation raisonnable.

[Etrange]

Salut,

Tes premières réponses sont justes.
En fait il faut que tu fasses attention lorsque tu calcules les équations horaires. Déjà il faut veiller à mettre les bon signes. Normalement tu devrait avoir a = -g car l'accélération se fait dans le sens des z négatifs (si z est l'altitude). Ensuite il ne faut pas oublier la constante additive après intégration. Ta position en fonction du temps devrait contenir l'altitude initiale. Ainsi tu devrait avoir x(0) = 30 car tu lâche la pierre avec une altitude de 30mètres. Pour les premières questions ça n'a pas faussé les résultats mais c'est pour cette raison que tu ne peux pas trouver les bonnes valeurs maintenant.
Il te suffit de mettre la constante additive pour l'altitude initiale et de mettre les bons signes pour trouver la réponse à la question 3.

@+

[invite827409f8]

D'accord... mais je croyais que si la pierre tombe a >0
Enfin bref, je trouve
x(t) = -1/2gt² + vot + h
x(t) = -4,905t² + 2t + 30

Mais ensuite comme puis-je utiliser cette formule? Je dois calculer le discriminant???
Si j'utilise cette méthode je trouve t1 = -2,69s et t2 = 2,28s
t2 - t1 = 4,96 s

Est-ce comme cela qu'on peut faire??sinon je ne vois PAS du tout...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Etrange]

Re.

En fait la norme de l'accélération est positive (|a|>0) mais l'accélération est vers le bas donc dans le sens des z (ou x tout dépend de tes axes) négatif. C'est ça qui est important, il faut toujours se repérer par rapport aux axes ! Il y a encore une erreur car la vitesse initiale est elle aussi vers le bas, donc il faut mettre un "-" aussi devant le terme 2t. Pour résumer, l'accélération est vers le bas, la vitesse initiale est aussi vers le bas, seule la position initiale est positive (+30).
Une fois que ton polynôme est correct, tu n'as plus qu'a trouver les racines en calculant le discriminant. Les racines correspondent aux temps pour lesquels l'altitude du solide s'annule.

@+

[invite827409f8]

d'accord je trouve t = 2,28 s
avec x(t) = -1/2 x 9,81t² - 2t + 30

[Etrange]

Re.

Oui je pense que c'est bon, je tombe sur 2.2776s.

@+